Ing Mathematik: Funktionen mehrerer Veränderlicher


ZusammenfassungBearbeiten

Betrachtet man Funktionen, die von mehreren Ortskoordinaten abhängen, so kann man sie nach jeder dieser Ortskoordinaten ableiten und das ggfs. auch mehrfach. Einige Linearkombinationen solcher Ableitungen werden besonders häufig verwendet, z. B der Gradient, die Divergenz, der Laplace-Operator oder der Drehimpulsoperator. Zusammenfassend bezeichnet man diese als Differentialoperatoren. Man kann Ortskoordinaten in verschiedenen Koordinatensystemen angeben. Häufig verwendet werden kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Betrachtet man dieselbe Funktion dargestellt in unterschiedlichen Koordinatensystemen, so sieht die Funktionsgleichung meist sehr unterschiedlich aus, jenachdem, in welchem Koordinatensystem man sie darstellt. Genauso sehen die Differentialoperatoren in unterschiedlichen Koordinatensystem unterschiedlich aus. Im folgenden geben wir an, wie einige Differentialoperatoren in verschiedenen Koordinatensystem aussehen und anschließend rechnen wir die angegebenen Formeln nach.

DivergenzBearbeiten

Wir betrachten eine Funktion  . In Komponentenschreibweise ist   gegeben durch:

 

Es ist zu beachten, dass wir   fett (bold) gesetzt haben, wobei wir   normal (regular) gesetzt haben. Hierdurch drückt man in der Regel aus, dass   in einen mehrdimensionalen Vektorraum abbildet, bzw, dass   mehr als eine Komponente hat oder, anders ausgedrückt,   eine vektorwertige Funktion ist. Hingegen wird   normal gesetzt, weil es nur genau eine Komponente hat. Eine andere Möglichkeit, die Vektorwertigkeit einer Funktion auszudrücken, ist ein Pfeil über dem Funktionssymbol:

 

Eine weitere Möglichkeit der Komponentenschreibweise ist:

 

Abkürzend hierfür schreibt man auch:

 

Hierbei haben wir alle drei Komponenten der Funktion   zusammenfassend durch das Symbol   ausgedrückt. Hierbei fällt auf, dass der Index   im Symbol   kursiv gesetzt wurde. Hingegen wurde der Index   im Symbol   normal gesetzt. Auch dies ist eine Konvention. Die Vektorwertigkeit von   wird durch die Kursivschrift des   ausgedrückt.

Die Divergenz in kartesischen Koordinaten ist definiert durch:

 

Eine alternative Schreibweise ist:

 

Diese kann man noch weiter verkürzen zu:

 

ZylinderkoordinatenBearbeiten

Umrechnung von Zylinderkoordinaten in kartesische KoordinatenBearbeiten

Die Zylinderkoordinaten werden durch folgende Gleichungen definiert:

 

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in ZylinderkoordinatenBearbeiten

Aus den Definitionsgleichungen erhält man:

 

Ableitungen der Zylinderkoordinaten nach den kartesischen KoordinatenBearbeiten

Leitet man die obigen Gleichungen ab, so erhält man:

 

 

 

 

Ableitung einer Funktion in Zylinderkoordinaten nach kartesichen KoordinatenBearbeiten

Will man eine Funktion in Zylinderkoordinaten nach kartesischen Koordinaten ableiten so muss man die (mehrdimensionale) Kettenregel berücksichtigen und erhällt:

 

 

Ableitungen der kartesischen Koordinaten nach den ZylinderkoordinatenBearbeiten

 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Sphärische KoordinatenBearbeiten