Ing Mathematik: Funktionen mehrerer Veränderlicher


Zusammenfassung

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Betrachtet man Funktionen, die von mehreren Ortskoordinaten abhängen, so kann man sie nach jeder dieser Ortskoordinaten ableiten und das ggfs. auch mehrfach. Einige Linearkombinationen solcher Ableitungen werden besonders häufig verwendet, z. B der Gradient, die Divergenz, der Laplace-Operator oder der Drehimpulsoperator. Zusammenfassend bezeichnet man diese als Differentialoperatoren. Man kann Ortskoordinaten in verschiedenen Koordinatensystemen angeben. Häufig verwendet werden kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Betrachtet man dieselbe Funktion dargestellt in unterschiedlichen Koordinatensystemen, so sieht die Funktionsgleichung meist sehr unterschiedlich aus, je nachdem, in welchem Koordinatensystem man sie darstellt. Genauso sehen die Differentialoperatoren in unterschiedlichen Koordinatensystem unterschiedlich aus. Im Folgenden geben wir an, wie einige Differentialoperatoren in verschiedenen Koordinatensystemen aussehen und anschließend rechnen wir die angegebenen Formeln nach.

Partielle Ableitung

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Siehe Ing Mathematik: Differenziation im Rn und   Partielle Ableitung.

 

Übungen:

  • Sei  . Berechne   und  
  • Sei  . Berechne  ,   und  

Satz von Schwarz:

 
Hermann Amandus Schwarz (1843-1921), deutscher Mathematiker
Der Satz von Schwarz besagt, dass bei mehrfach stetig differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen die Reihenfolge, in der die partiellen Differentiationen (Ableitungen) nach den einzelnen Variablen durchgeführt werden, nicht entscheidend für das Ergebnis ist (von   Satz von Schwarz zitiert). D.h.  . Ist die Funktion nicht stetig, so muss das nicht gelten (siehe z.B.   Satz_von_Schwarz#Gegenbeispiel)!

Übungen:

  • Sei  . Berechne   und  .
  • Sei  . Berechne   und  .

Gradient

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In kartesischen Koordinaten ist der Gradient folgendermaßen definiert:

 

Übung: Sei  . Berechne  .

Das totale Differenzial lautet:

  mit  

Der Nabla-Operator sei:

 

Da der Nabla-Operator ein symbolischer Vektor ist, wird er manchmal auch fett oder mit einem Pfeil geschrieben:  . Eingeführt wurde er von Hamilton.

 
Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865) irischer Mathematiker und Physiker

Gradient und Nabla-Operator hängen somit folgendermaßen zusammen

 

 
Pierre-Simon Laplace (1749-1827) französischer Mathematiker und Physiker

Der Laplace-Operator sei

 

Divergenz

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Wir betrachten eine Funktion  . In Komponentenschreibweise ist   gegeben durch:

 

Es ist zu beachten, dass wir   fett (bold) gesetzt haben, wobei wir   normal (regular) gesetzt haben. Hierdurch drückt man in der Regel aus, dass   in einen mehrdimensionalen Vektorraum abbildet, bzw, dass   mehr als eine Komponente hat oder, anders ausgedrückt,   eine vektorwertige Funktion ist. Hingegen wird   normal gesetzt, weil es nur genau eine Komponente hat. Man beachte auch, dass hier mit   nicht die partielle Ableitung gemeint ist. Diese wird auch oft als   geschrieben. Eine andere Möglichkeit, die Vektorwertigkeit einer Funktion auszudrücken, ist ein Pfeil über dem Funktionssymbol:

 

Eine weitere Möglichkeit der Komponentenschreibweise ist:

 

Abkürzend hierfür schreibt man auch:

 

Hierbei haben wir alle drei Komponenten der Funktion   zusammenfassend durch das Symbol   ausgedrückt. Hierbei fällt auf, dass der Index   im Symbol   kursiv gesetzt wurde. Hingegen wurde der Index   im Symbol   normal gesetzt. Auch dies ist eine Konvention. Die Vektorwertigkeit von   wird durch die Kursivschrift des   ausgedrückt.

Die Divergenz in kartesischen Koordinaten ist definiert durch:

 

Eine alternative Schreibweise ist:

 

Diese kann man noch weiter verkürzen zu:

 

Übung: Sei  . Berechne  .

Zylinderkoordinaten

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Umrechnung von Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten

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Die Zylinderkoordinaten werden durch folgende Gleichungen definiert:

 

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten

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Aus den Definitionsgleichungen erhält man:

 

Übung: Leiten Sie die Formeln für   und   her.

Ableitungen der Zylinderkoordinaten nach den kartesischen Koordinaten

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Leitet man die obigen Gleichungen ab, so erhält man:

 

 

 

 

Ableitung einer Funktion in Zylinderkoordinaten nach kartesischen Koordinaten

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Will man eine Funktion in Zylinderkoordinaten nach kartesischen Koordinaten ableiten, so muss man die (mehrdimensionale) Kettenregel berücksichtigen und erhält:

 

 

Ableitungen der kartesischen Koordinaten nach den Zylinderkoordinaten

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Normiert:

 

 

 

Gradient:

 

Divergenz:

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Sphärische Koordinaten

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