Himmelsgesetze der Bewegung/ Superposition

Superposition allgemein

Superposition bedeutet etwas wie Kombination. In der Mathematik wird der Begriff bei Probleme benutzt, wenn eine sogenannte lineare Kombination der Lösungen auch ein Lösung des Problems ist. Das bedeutet, dass wenn A und B Lösungen des Problems ist, dann sollte auch C=m⋅A+n⋅B eine Lösung des Problems sein (wobei m und n irgendwelche Konstanten sind).

Das Prinzip der Superposition findet Anwendung in vielen Bereichen der Physik, wie in der Wellentheorie (und daher in allen Bereichen, die mit Wellen zu tun haben, wie in den mechanischen Wellen, in Elektromagnetik, in der Optik und in der Akustik und in der Quantenmechanik), und bei Kräften in der klassischen Mechanik. Die mathematischen Gesetze, die in diesen Bereichen gelten, sind dann in der Regel lineare Differentialgleichungen. Besonders die Gesetze der Quantenmechanik sind statistischer Natur (man kann also nur mit einer bestimmte Wahrscheinlichkeit die Stelle oder die Geschwindigkeit eines Teilchens sagen). Wenn man also die Anfangsbedingungen (also Stelle und Geschwindigkeit) kennt, kann man nicht genau sagen, wo das Teilchen später sein wird, wie wir hier es im Buch manchmal schon gemacht haben. Das ist ein Grund, warum man sagen kann, dass das Universum "unberechenbar" ist!

In diesem Buch haben wir uns kurz mit der Superposition von Kräften in der Form von Vektoren (Vektoraddition und Skalarmultiplikation) beschäftigt, der Rest ist nicht Thema des Buches. Außerdem werden wir hier auch den schiefen Wurf beschreiben, der auch mit Superposition (von Bewegungen) zu tun hat.

Superposition in der Mathematik

Im Abschnitt über der Definition der linearen Funktionen haben wir erwähnt, dass eine in der Schulmathematik „lineare“ genannte Funktion nach mathematischen Definitionen nur dann tatsächlich „linear“ ist, wenn sie bestimmte Voraussetzungen erfüllt. Es muss gelten, dass f(a·x)=a·f(x) und f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂). Das ist im Fall einer Funktion der Form y=f(x)=ax+b nur dann der Fall, wenn der y-Achsenabschnitt (hier b) null ist (also für lineare Funktionen der Form f(x)=k·x, direkte Proportionalität). Nehmen wir ein solches Beispiel

f(x)= 3·x

Dann sind L₁(2|6) und L₂(3|9) Lösungen dieser Gleichung (also für x=2 ist y=f(2)=3·2=6 und für x=3 ist y=f(3)=3·3=9)

Nehmen wir jetzt irgendeine lineare Kombination dieser Lösungen:

5·L₁+L₂=5·(2|6)+(3|9)=(10|30)+(3|9)=(13|39)

Hier haben wir die Regeln der Multiplikation mit einem Skalar und der Addition von Vektoren benutzt. Wie man leicht feststellen kann, ist das Ergebnis auch eine Lösung der Funktion f(x)= 3·x (39=3·13)!

Das ist genau das Superpositionsprinzip. Das Superpositionsprinzip gilt, wenn jede lineare Kombination zwei oder mehreren Lösungen eines mathematischen Problems immer auch eine Lösung desselben Problems ist. Mit lineare Kombination der Lösungen ist hier jeder Kombination der Form f(a·L₁+b·L₂) gemeint. Das Superpositionsprinzip besagt daher:

f(a·L₁+b·L₂)=a·f(L₁)+b·f(L₂)

wobei L₁ und L₂ Lösungen des Problems sind und a,b konstanten.

Das Superpositionsprinzip kommt in Bereichen der Mathematik wie die lineare Differentialgleichungen vor. Diese Spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Daher ist das Superpositionsprinzip ein grundsätzliches Element der Physik.

Superposition von Kräften

(aus Wikipedia übernommen und erweitert)

In Newtons Werk wird das Prinzip der ungestörten Überlagerung oder Superpositionsprinzip der Mechanik als Zusatz zu den Bewegungsgesetzen beschrieben.

„Wirken auf einen Punkt mehrere Kräfte ${\vec {F_{1}}},{\vec {F_{2}}},\dotsc ,{\vec {F_{n}}}$, so addieren sich diese vektoriell zu einer resultierenden Kraft ${\vec {F}}$ auf.“

${\vec {F_{\text{res}}}}={\vec {F_{1}}}+{\vec {F_{2}}}+\dotsb +{\vec {F_{n}}}$

Später wurde dieses Superpositionsprinzip auch als lex quarta, als viertes newtonsches Gesetz bezeichnet.

Laut Definition der Kraft ist sie eine vektorielle Größe. Auf eine Ebene kann man eine Kraft mit einem Zahlenpaar beschreiben. Sehen wir dann ein Beispiel für das Superpositionsprinzip der Mechanik. Wirken auf einen Körper zwei Kräfte F₁(3|2) und F₂(2|-1) (die im Bild mit  ${\vec {u}}$  und  ${\vec {v}}$  dargestellt werden), dann haben sie die gleiche Wirkung, wie ihre vektorielle Summe  ${\vec {u}}+{\vec {v}}=$  (5|1).

Schiefer Wurf

Bild 1

Ein schiefer Wurf ist, was das Wort besagt, also wenn ich etwas in schiefer Richtung werfe. Allerdings ist es in Schulaufgaben der Idealfall gedacht, bei dem es keinen Luftwiderstand gibt. Wie man im Bild sieht, gibt es eine Anfangsgeschwindigkeit v₀, und die Fallbeschleunigung g (also die Gravitationskraft, die die Fallbeschleunigung bewirkt; wie wir schon gelernt haben, ist diese Beschleunigung von der Masse des fallenden Objekts unabhängig). Wie kann man herausfinden, wie hoch das Objekt gelangt und wie weit es auf die Oberfläche wieder fällt?

Bild 2

Hier ist die Idee der Superposition anzuwenden. Man kann die Bewegung als Kombination von zwei völlig unabhängigen Bewegungen sehen (und das genau weil hier die oben erwähnte Linearität gilt). Man zerlegt den Anfangsgeschwindigkeitsvektor in zwei Komponenten, ein senkrechtes Komponent v_0y und ein waagerechtes Komponent v_0x, wie im Bild 2. Auf der y-Achse macht das Objekt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit negativer Beschleunigung g und auf der x-Achse eine gleichförmige Bewegung (da auf dieser Achse keine Kraft wirkt, also es gilt ΣF=0) mit (konstanter) Geschwindigkeit v_0x.

Das Wasser eines Springbrunnens folgt der Form einer Wurfparabel.

Bild 3

Wann erreicht das Objekt seine höchsten Punkt? Wie man im Bild 5 sehen kann, ist die Geschwindigkeit auf der y-Achse am höchsten Punkt 0. Das macht doch Sinn. An diesem Punkt hört das Objekt auf, nach oben zu fliegen und fängt gerade an nach unten zu fallen. Da wir hier eine beschleunigte Bewegung haben, gilt für die Geschwindigkeit:

v_y=v_0y-gt

Am höchsten Punkt gilt v_y=0 also

0=v_0y-gt

also der höchste Punkt wird nach folgender Zeit erreicht:

$t={\frac {v_{0y}}{g}}$

Die Höhe an diesem Zeitpunkt kann man mit der Formel aus der gleichmäßig beschleunigten Bewegung finden:

h=v_0y⋅t-½g⋅t², was für $t={\frac {v_{0y}}{g}}$

$h={\frac {v_{0y}^{2}}{2g}}$ ergibt.

Bild 4

Wie weit fliegt das Objekt? Das ist auch leicht zu berechnen, wenn man daran denkt, dass die Höhe in diesem Fall null ist. Wenn man wieder die Formel für die Höhe benutzt, dann:

0=v_0y⋅t-½g⋅t² also

t·(v_0y-½g⋅t)=0

Bild 5

Letzteres kann gelten, wenn t=0 ist, also am Anfang der Bewegung (was ja logisch ist) oder wenn:

v_0y-½g⋅t=0 ist, also wenn $t={\frac {v_{0y}}{g}}$

Für die gleichförmige Bewegung auf der x_Achse gilt:

s=v_0x⋅t also

$s={\frac {2\cdot v_{0x}\cdot v_{0y}}{g}}$

Das Ganze kann man im Bild 5 zusammenfassen. Die Bahn, die bei einer solcher Bewegung entsteht nennt man Parabel. Diese Form sieht man auch bei den Springbrunnen oben.