Himmelsgesetze der Bewegung/ Rotation: Winkelgeschwindigkeit, Frequenz und Bahngeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit

In den Kapiteln "Geradlinige Bewegung" bis "Leben eines Sterns" haben wir uns mit der sogenannten Translation beschäftigt. Zur Erinnerung: Translation ist, wenn alle Teile eines Körpers sich in die gleiche Richtung und mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Kreisen die Teile des Körpers um einen Punkt herum, spricht man über Rotation. In diesem Kapitel, "Stern-und Planetenbewegung", haben wir angefangen, uns mit Rotation zu beschäftigen, die man auch Kreisbewegung nennen kann. Bisher haben wir uns nur mit der Bahngeschwindigkeit beschäftigt. Es gibt aber andere Größen, die für eine Rotation geeigneter sind.

Eine charakteristische Größe in Kreisteilen ist der Winkel, die Größe, die dem Abstand einer Tranlation bei einer Rotation entspricht. Das Symbol für den Winkel in einer Rotation ist in der Regel φ (man kann aber auch andere Symbole benutzen). Entsprechend wie man die mittlere Geschwindigkeit definiert (zurücklegte Strecke durch dafür benötigte Zeit), definiert dann man auch die Winkelgeschwindigkeit (Symbol: ω, sprich Omega): sie ist der „zurückgelegte“ Winkel (Δφ) durch die dafür benötigte Zeit (Δt):

$\omega ={\frac {\Delta \phi }{\Delta t}}$

Bei der Berechnung der Winkelgeschwindigkeit misst man den Winkel unbedingt in rad (Radiants). π rads sind 180° (genauso wie z.B. 3 Meilen ca. 4,83 km sind). Radiants ist das sogenannte Bogenmaß für Winkel. Die Winkelgeschwindigkeit hat daher die Einheit rad/s (Radiants pro Sekunde).

Die Winkelgeschwindigkeit ist die zur Geschwindigkeit entsprechende Größe bei einer Rotation.

Winkelgeschwindigkeit und Frequenz

Die Winkelgeschwindigkeit ist sehr stark zur Frequenz f verbunden:

ω = 2 · π · f

Bei einer Drehung, also innerhalb von einer Periode, überstreicht der Radius einen Winkel von 2π rads, also

$\omega ={\frac {\Delta \phi }{\Delta t}}={\frac {2\cdot \pi }{T}}=2\cdot \pi \cdot f$

da die frequenz der Kehrwert der Periode ist:   $f={\frac {1}{T}}$   (Periode und Frequenz).

Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit

Die zurückgelegte Strecke in einer Periode T ist:

Δs=U = 2πR

also der Umfang U des Kreises. Das macht schon Sinn, da die Periode die Zeit für eine Wiederholung, also eine Umdrehung, ist.

Die mittlere Geschwindigkeit ist daher:

${\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {2\cdot \pi \cdot R}{T}}={\frac {2\cdot \pi }{T}}\cdot R=2\cdot \pi \cdot f\cdot R=\omega \cdot R$

v = ω · R

(Formel, die Winkel- und Bahngeschwindigkeit verbindet)

Bahngeschwindigkeit, Winkelgeschwindigkeit und Beschleunigung der Zentripetalkraft bei einer regelmäßigen Kreisbewegung

Bildliche Darstellung

Vektorielle Berechnung der Zentripetalkraft

Lass uns versuchen zu zeigen, wie die Formel für die Beschleunigung bei einer regelmäßigen Kreisbewegung entsteht. Mit regelmäßiger Kreisbewegung ist hier gemeint, dass die Bahngeschwindigkeit konstant bleibt. An einem gewissen Zeitpunkt befindet sich der Körper am Punkt A des Kreises und kurz danach (nach Δt) am Punkt B. Im Bild sieht man auch die Sehne s (also die Strecke zwischen A und B), den Kreisbogen b (also den Teil des Kreises zwischen A und B), den Mittelpunkt M des Kreises, den Winkel Δφ zwischen den beiden Radien MA=MB=R, die Vektoren der Geschwindigkeiten v_A und v_B jeweils an den Punkten A und B. Am Ende des Vektors v_B sieht man auch den Vektor -v_A. Dadurch wird auch die Vektordifferenz $\Delta {\vec {v}}$ = ${\vec {v}}_{B}$ - ${\vec {v}}_{A}$ gezeigt (-v_A ist am Ende des Vektors v_B angehängt, ist parallel und hat die Gegenrichtung zum Vektor v_A, der wiederum am Punkt A angehängt ist). Dazu sieht man das Verhältnis (Bruch Mitte links) vom Bogen b zur Sehne s, je nachdem wo sich der Punkt A gerade befindet (siehe darauf folgende Animation). Dargestellt wird auch das Verhältnis zwischen ${\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$ und Beschleunigung a, das auch von der Stelle des Punktes A abhängt. Das ist die Zahl in der Formel unten links.

Zentripetalbeschl 01

Schauen wir jetzt an, was passiert, wenn der Punkt A immer näher am Punkt B rückt. Der Bogen b und die Sehne s kommen immer näher und werden fast gleich, daher ist ihr Verhältnis am Ende, wenn Punkte A und B zusammenfallen, gleich 1 (Formel Mittel links). Gleiches gilt für das Verhältnis zwischen ${\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$ und a (Formel unten links). Außerdem rückt der Vektor $\Delta {\vec {v}}$ immer mehr Richtung Kreismittelpunkt M.

Mathematische Berechnung

Um die Beschleunigung a zu berechnen muss man ihre Formel benutzen (diesmal aber mit Vektoren!).

${\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}$ $={\frac {{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}}{\Delta t}}=$${\frac {{\omega \cdot {\vec {R}}}_{B}-{\omega \cdot {\vec {R}}}_{A}}{\Delta t}}=$ $\omega \cdot {\frac {{\vec {R}}_{B}-{\vec {R}}_{A}}{\Delta t}}=$ $\omega \cdot {\frac {\Delta {\vec {R}}}{\Delta t}}$

${\vec {a}}=\omega \cdot {\frac {s}{\Delta t}}\,\,\qquad (1)$        

Wir wollen eigentlich die momentane Beschleunigung berechnen. Wir müssen also uns vorstellen, dass A ganz nah zum B ist. Wie wir in der Animation gesehen haben, ist dann die Länge der Sehne s fast gleich so viel wie der Bogen b (ihr Verhältnis ist 1, im Bild Mitte links:   ${\frac {b}{s}}$). Um die Länge des Bogens zu berechnen, kann man Schlussrechnung benutzen: die Länge des ganzen Umfangs ist 2πR und entspricht einem Winkel von 2π rads (oder 360°). Welcher Bogenlänge AB=b entspricht dann einer Winkel mit Δφ rad?

Bogenlänge 2πR	entspricht	2π rads
Bogenlänge b	entspricht	Δφ rads

also

$b=2\cdot \pi \cdot R\cdot {\frac {\Delta \phi }{2\cdot \pi }}$

$b=R\cdot \Delta \phi$         Zusammenhang zwischen Bogen- und Sehnenlänge

In der Formel ist zu betonen, dass der Winkel in Bogenmaß gegeben sein muss!

Für einen ganz kleinen Winkel ist der Bogen b gleich der Sehne s (s≈b). Wir können also in (1) statt s die Formel für den Bogen b einsetzen.

${\vec {a}}=\omega \cdot {\frac {b}{\Delta t}}=$ $\omega \cdot {\frac {R\cdot \Delta \phi }{\Delta t}}=$$\omega \cdot R\cdot {\frac {\Delta \phi }{\Delta t}}$ ${\vec {a}}=\omega ^{2}\cdot R$

weil   ${\frac {\Delta \phi }{\Delta t}}=\omega$   ist.

Es gilt aber auch, dass v = ω · R ist, und daher ω = v/R. Setzten wir das in die letzte Formel ein, ergibt sich

$a={\frac {v^{2}}{R}}$

Das ist die Formel, die wir bei der Berechnung der Zentripetalbeschleunigung ohne Beweis eingeführt haben. Der Vorgang in diesem Absatz hier ist zwar kein strenger Beweis, gibt aber eine Idee dafür, wie der Beweis tatsächlich aussieht.

Die Richtung der Zentripetalbeschleunigung

Über die Richtung der Beschleunigung kann man Vektorsubtraktion der Geschwindigkeiten benutzen (siehe Animation). Wie man sehen kann, je näher Punkte A und B zusammenrücken, desto mehr in Richtung Kreismittelpunkt dreht sich der Vektor Δv. Wenn die beide Punkte zusammenfallen, zeigt der Vektor tatsächlich den Mittelpunkt. Da die Zentripetalbeschleunigung als Verhältnis der vektoriellen Differenz Δv der momentane Geschwindigkeiten durch ein Zeitintervall Δt fast gleich null definiert wird, hat sie auch eine Richtung gegen Kreismittelpunkt.