Formelsammlung Mathematik: Mengenlehre

Formelsammlung Mathematik
Mächtigkeiten

DefinitionenBearbeiten

Aufzählende Angabe
 
Beschreibende Angabe, unbeschränkt
 
Beschreibende Angabe, beschränkt
 
Beschreibende Angabe, Kurzschreibweise für Bildmengen
 
Teilmenge
 
Gleichheit
 
Vereinigungsmenge
 
 
Schnittmenge
 
 
Differenzmenge (relatives Komplement)
 
Komplementärmenge
 
 : Grundmenge
Symmetrische Differenz
 
Kartesisches Produkt
 
Potenzmenge
 
Disjunkte Vereinigung
 
 

Boolesche AlgebraBearbeiten

Schnitt Vereinigung
    Kommutativgesetze
    Assoziativgesetze
    Idempotenzgesetze
    Neutralitätsgesetze
    Extremalgesetze
    Komplementärgesetze
    De Morgansche Gesetze
    Absorptionsgesetze

 : Grundmenge

Distributivgesetze:

  1.  
  2.  

Involution:

 

Zweistellige MengenoperationenBearbeiten

A B Wert
0 0 a
0 1 b
1 0 c
1 1 d
Nr. dcba Mengenoperation Venn-Diagramm logische Funktion Relation
0 0000  
(leere Menge)
   
(Kontradiktion)
 
1 0001      
(NOR)
 
2 0010        
3 0011        
4 0100  
(Differenz)
     
5 0101        
6 0110  
(symmetrische
Differenz)
   
(Kontravalenz)
 
7 0111      
(NAND)
 
8 1000  
(Schnitt)
   
(Konjunktion)
 
9 1001      
(Äquivalenz)
 
10 1010  
(Projektion)
   
(Projektion)
 
11 1011      
(Implikation)
 
12 1100  
(Projektion)
   
(Projektion)
 
13 1101        
14 1110  
(Vereinigung)
   
(Disjunktion)
 
15 1111  
(Grundmenge)
   
(Tautologie)
 

Die Spalten dieser Tabelle hängen wie folgt zusammen. Sei   die Nr. der Zeile. Es gibt je Zeile eine Mengenoperation  , eine logische Funktion   und eine Relation  . Dabei gilt

 

und

 

Außerdem gilt

 

Die Binärzahl kodiert die Wertetabelle der logischen Funktion und kodiert außerdem die Partition von   in die disjunkten Bereiche

 

Eine Stelle der Binärzahl gibt dabei an, ob der dazugehörige Bereich im Venn-Diagramm rot ausgefüllt ist.

TeilmengenrelationBearbeiten

Zerlegung der Gleichheit:

 

Umschreibung der Teilmengenrelation:

 

Kontraposition:

 

Kontraposition bei Gleichheit:

 

Vereinigung und SchnittBearbeiten

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13.  

Verallgemeinerte De Morgansche Gesetze:

  1.  
  2.  

Verallgemeinerte Distributivgesetze:

  1.  
  2.  

Verallgemeinerte Idempotenzgesetze:

  1.  
  2.  

DifferenzmengeBearbeiten

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  

Distributivgesetze:

  1.  
  2.  

Pseudo-Distributivgesetze:

  1.  
  2.  

Symmetrische DifferenzBearbeiten

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Distributivgesetz:

 

Kartesisches ProduktBearbeiten

Distributivgesetze:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Weiterhin gilt:

  1.  
  2.  
  3.  

Endliche MengenBearbeiten

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  

Prinzip von Inklusion und Exklusion:

  1.  
  2.