Formelsammlung Mathematik: Mächtigkeiten

Formelsammlung Mathematik

Definitionen Bearbeiten

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Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation.

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Eine Menge   heißt endlich, wenn   gilt.

Eine Menge   heißt abzählbar unendlich, wenn   gilt.

Eine Menge   heißt überabzählbar, wenn   gilt.

Eine Menge   heißt unendlich,   gilt.

Eine Abzählung der Menge   ist eine Surjektion  .

Gesetzmäßigkeiten Bearbeiten

Reflexivität:

Es gilt  .

Transitivität:

Aus   und   folgt  .

Antisymmetrie (Satz von Cantor-Bernstein):

Aus   und   folgt  .

Totalität (Vergleichbarkeitssatz):

Es gilt  . Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

D. h.: Die Kardinalzahlen sind total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist höchstens gleichmächtig zu Repräsentant der zweiten Zahl«.

Bzw.: Die Kardinalzahlen sind steng total geordnet bezüglich »Repräsentant der ersten Zahl ist weniger mächtig als Repräsentant der zweiten Zahl«.

Hilberts Hotel.

Ist   eine endliche Menge und   unendlich, dann gilt   und  .

Reißverschlussargument.

Sind   abzählbar unendlich, dann ist auch   abzählbar unendlich.

Cantors erstes Diagonalargument.

Sind   abzählbar unendlich, dann ist auch   abzählbar unendlich.

Cantors zweites Diagonalargument.

Es gilt  .

Satz von Cantor.

Es gilt  .

Kardinalität kartesischer Potenzen unendlicher Mengen.

Für unendliche Mengen gilt  . Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom.

Es gilt

 

Es gilt