Formelsammlung Mathematik: Gruppentheorie

Formelsammlung Mathematik

GrundbegriffeBearbeiten

GruppenBearbeiten

Definition. Gruppe.

Ein Paar   heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

Abgeschlossenheit
Es ist  . D. h. die binäre Operation   führt nicht aus   heraus.
Assoziativität
Für alle   gilt  .
Existenz eines neutralen Elements
Es gibt ein  , so dass   für alle   gilt.
Inverse Elemente
Zu jedem   gibt es ein  , so dass   gilt. Man schreibt  .


Definition. Kommutative Gruppe.

Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, wenn für alle   gilt:

 

Anstelle von   schreibt man meistens  .

In der additiven Schreibweise schreibt man   anstelle von   und   anstelle von  . Die additive Schreibweise findet bevorzugt bei abelschen Gruppen Verwendung.

UntergruppenBearbeiten

Definition. Untergruppe.

Ist   eine Gruppe, so wird eine Teilmenge   als Untergruppe von   bezeichnet, wenn   selbst wieder eine Gruppe bezüglich der Operation   ist. Man schreibt dann  .


Untergruppenkriterium.

Sei G eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

  1. H ist nichtleer,
  2.   zieht immer   nach sich,
  3.   zieht immer   nach sich.


Untergruppenkriterium.

Sei G eine Gruppe und H eine Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

  1. H ist nichtleer,
  2.   zieht immer   nach sich.


Untergruppenkriterium für endliche Teilmengen.

Sei G eine Gruppe und H eine endliche Teilmenge von G. Genau dann ist H eine Untergruppe von G, wenn gilt:

  1. H ist nichtleer,
  2.   zieht immer   nach sich zieht.


Ordnung eines ElementsBearbeiten

Definition. Ordnung eines Elements.

Die Ordnung eines Gruppenelements   ist die kleinste positive Zahl  , so dass   gilt:

 

GruppenexponentBearbeiten

Definition. Exponent.

Gruppenexponent:

 

Es gilt:

  1.  
  2.  

ZentralisatorBearbeiten

Definition. Zentralisator eines Elements.

Unter dem Zentralisator   eines Gruppenelements   versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche mit   kommutieren:

 

Definition. Zentralisator einer Teilmenge.

Unter dem Zentralisator   einer Teilmenge   versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche jeweils mit allen   kommutieren:

 

Der Zentralisator   ist immer eine Untergruppe von G.

ZentrumBearbeiten

Definition. Zentrum.

Unter dem Zentrum   einer Gruppe   versteht man die Menge der Gruppenelemente, welche mit allen anderen Gruppenelementen kommutieren:

 

bzw.

 

Das Zentrum   ist immer eine Untergruppe von G.

ProduktBearbeiten

Satz und Definition. Direktes Produkt von Gruppen.

Für zwei Gruppen G und H ist   mit

 

eine Gruppe, welche direktes Produkt von G und H genannt wird.

Das neutrale Element ist  . Das inverse Element zu   ist  .

Für die Ordnung gilt wie für beliebige kartesische Produkte:

 

Bei unendlichen Gruppen ist Kardinalzahlarithmetik anzuwenden.

Für die Ordnung eines Elements gilt:

 .

Wenn ord(g) und ord(h) teilerfremd sind, das heißt ggT(ord(g),ord(h))=1, dann gilt:

 

weil für natürliche Zahlen ab gilt:

 

Die Gruppen G und H können in G×H eingebettet werden über die kanonischen Monomorphismen

 

und

 

Sei nun   und  . Sei  . Es gelten die folgenden drei Eigenschaften:

  1.   ist die triviale Gruppe  ,
  2. Jedes Element von P ist ein Produkt   mit   und  ,
  3. Jedes Element von G' kommutiert mit jedem von H'.

Sei umgekehrt P ein beliebige Gruppe mit G und H als Untergruppen. Gelten die drei Eigenschaften:

  1.   ist trivial,
  2. Jedes Element von P ist ein Produkt   mit   und  ,
  3. Jedes Element von G kommutiert mit jedem von H,

dann ist P isomorph zu  .

Elementare EigenschaftenBearbeiten

Elementare RegelnBearbeiten

Ein Gruppe besitzt nur ein einziges neutrales Element e.

Jedes Gruppenelement a besitzt nur ein einziges inverses Element  .

In einer Gruppe gilt:

  1.  
  2.  
  3.  

Satz von LagrangeBearbeiten

Satz von Lagrange.

Für Gruppen H, G gilt:

 

Ist G endlich, dann ist   ein Teiler von  .

GruppenaktionenBearbeiten

DefinitionenBearbeiten

Definition. Linksaktion.

Eine Abbildung   heißt Gruppenlinksaktion, kurz Aktion, wenn

 

und

 

gilt, wobei e das neutrale Element von G sein soll.

Anstelle von   schreibt man üblicherweise  .

Definition. Bahn (Orbit).

Bahn (Orbit):

 

Definition. Fixgruppe (Stabilisator).

Fixgruppe (Stabilisator):

 

Definition. Fixpunktmenge (punktweise invariante Menge).

Fixpunktmenge (punktweise invariante Menge):

 

BahnsatzBearbeiten

Bahnsatz.

Für jedes   ist

 

eine wohldefinierte Bijektion.

Bemerkung: Mit wohldefiniert meint man bei einer Berechnung mit Äquivalenzklassen immer, dass das Ergebnis nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt, denn sonst wäre es nur eine Relation, aber keine Abbildung. Hier ist g ein Repräsentant der Linksnebenklasse  .

Bahnformel.

Für eine endliche Gruppe   gilt   und die Bahnformel:

 

Lemma von BurnsideBearbeiten

Lemma von Burnside.

Für eine endliche Gruppe   gilt

 

Symmetrische GruppeBearbeiten

Satz und Definition. Symmetrische Gruppe.

Für eine Menge X bildet die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen   bezüglich der Verkettung eine Gruppe, die symmetrische Gruppe S(X) genannt wird.

Satz von Cayley.

Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.

Ist X eine endliche Menge, dann wird die endliche symmetrische Gruppe S(X) auch als Gruppe aller Permutationen von X bezeichnet. Die Untergruppen heißen Permutationsgruppen.

Eine Gruppenaktion   lässt sich auch als Homomorphismus   auffassen. Zunächst wird   mittels Currying zu   transformiert. Anstelle von   kann also auch   geschrieben werden. Nun gilt bei einem Homomorphismus aber

 

und  . Es gilt also

 

Dies entspricht genau der Definition der Gruppenaktion:

 

Für ein strukturiertes Objekt X mit strukturerhaltenden Automorphismen ist die Automorphismengruppe Aut(X) eine Untergruppe von S(X). Man kann auch S(X) als eine Automorphismengruppe betrachten, wenn Bijektionen als die Isomorphismen bezüglich der Erhaltung der Kardinalität aufgefasst werden. Genauer: Die Bijektionen sind die Isomorphismen der Kategorie Set der Mengen.

HomomorphismenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Definition. Gruppenhomomorphismus.

Seien   und   Gruppen. Eine Abbildung

 

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle   gilt

 

Hierzu gibt es die folgenden Sprechweisen:

  • Ein injektiver Homomorphismus wird Monomorphismus genannt.
  • Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt.
  • Ein bijektiver Homomorphismus wird Isomorphismus genannt.
  • Ein Endomorphismus ist eine Selbstabbildung  , die ein Homomorphismus ist.
  • Ein bijektiver Endomorphismus wird Automorphismus genannt.

RegelnBearbeiten

Ist   ein Homomorphismus und  , dann gilt:

 

Außerdem gilt

 

wobei mit e das neutrale Element von G und mit e' das neutrale Element von G' gemeint ist.

Kern und BildBearbeiten

Definition. Kern.

Unter dem Kern eines Homomorphismus   versteht man die Urbildmenge

 

wobei mit e' das neutrale Element von G' gemeint ist.

Der Kern ist stets eine Untergruppe von G, genauer ein Normalteiler von G. Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn er einen trivialen Kern besitzt. Mit trivial ist Kern(φ)={e} gemeint, wobei {e} die triviale Untergruppe von G ist, die nur das neutrale Element enthält.

Das Bild φ(G) ist stets eine Untergruppe von G'.

IsomorphieBearbeiten

Definition. Isomorphie.

Zwei Gruppen G, H heißen isomorph, kurz  , wenn ein Isomorphismus   existiert.

Die Umkehrabbildung eines Isomorphismus ist auch ein Isomorphismus.

EinbettungenBearbeiten

Definition. Einbettung.

Man sagt eine Gruppe H ist in G eingebettet, wenn ein Monomorphismus   existiert. Man schreibt auch   und bezeichnet diesen Monomorphismus als Einbettung.

Eine Einbettung verallgemeinert das Konzept der Untergruppe: Einerseits ist  , da φ bei Einschränkung der Zielmenge auf die Bildmenge zu einem Isomorphismus wird. Andererseits gilt  .

AutomorphismengruppeBearbeiten

Satz und Definition. Automorphismengruppe.

Für ein strukturiertes Objekt X bildet die Menge aller Automorphismen auf X bezüglich der Verkettung eine Gruppe, welche als Automorphismengruppe Aut(X) bezeichnet wird.

Zyklische GruppenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Definition. Erzeuger (Generator), Hülle.

Sei G eine Gruppe und  . Man nennt g den Erzeuger (Generator) der Hülle:

 

Für jedes   ist   eine Untergruppe von  .

Definition. Zyklische Gruppe.

Eine Gruppe   heißt zyklisch, wenn es ein   gibt, so dass   ist.

EigenschaftenBearbeiten

Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zur Gruppe  .

Jede endliche zyklische Gruppe der Ordnung   ist isomorph zur Restklassengruppe  .

Es gilt:

 

Prime RestklassengruppeBearbeiten

Definition. Prime Restklassengruppe.

Prime Restklassengruppe:

 

bzw.

 

Es gilt  , wobei   die eulersche Phi-Funktion ist.

Es gilt  , wobei   die Carmichael-Funktion ist.

Die Gruppe   ist genau dann zyklisch, wenn  .