Formelsammlung Mathematik: Finanzmathematik
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AbkürzungenBearbeiten
- Zinsfuß:
- Zinssatz:
- Aufzinsungsfaktor:
- Abzinsungsfaktor (Diskontierungsfaktor):
- Vorschüssiger Zins (Diskontrate):
- Anfangskapital:
- Endkapital (nach Jahren):
ZinsrechnungBearbeiten
ZinseszinsBearbeiten
- Dekursive Zinsen:
- Antizipative Zinsen:
Gemischte VerzinsungBearbeiten
- Dekursive gemischte Verzinsung:
- Antizipative gemischte Verzinsung:
Unterjährige VerzinsungBearbeiten
- Effektiver Zinssatz:
- Konformer Zinssatz:
- Proportionaler Zinssatz:
- Nomineller Zinssatz:
- Kontinuierlicher Zinssatz:
- Hierbei gelten folgende Ungleichungen:
AnnuitätBearbeiten
- Ein Kredit wird über Perioden hinweg mit dem Zinssatz verzinst
- und durch die Annuität getilgt, so dass am Ende der Kassenbestand ist.
- Die Fälligkeit sei bei nachschüssiger Zahlweise und bei verschüssiger Zahlweise .
- Aus der Rekursion ergibt sich die Formel
- und damit .
- In Excel gibt es die Funktion RMZ (Regelmäßige Zahlung)
RentenrechnungBearbeiten
- (Endwert bei nachschüssiger Rente)
- (Endwert bei vorschüssiger Rente)
Intensität des VersicherungsschutzesBearbeiten
- , wobei die Entschädigung für den Schaden ist.
AbkürzungenBearbeiten
Anzahl der lebenden -Jährigen:
Anzahl der im Alter Gestorbenen:
Einjährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines -Jährigen:
-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit eines -Jährigen:
Einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines -Jährigen:
-jährige Sterbewahrscheinlichkeit eines -Jährigen:
Restlebenserwartung eines -Jährigen:
StationaritätsbedingungBearbeiten
Monatliche SterblichkeitBearbeiten
KommutationswerteBearbeiten
Diskontierte Tote: |
Diskontierte Lebende: |
Aufsummierte diskontierte Tote: |
Aufsummierte diskontierte Lebende: |
Doppelt aufsummierte diskontierte Tote: |
Doppelt aufsummierte diskontierte Lebende: |
BarwerteBearbeiten
Reine Erlebensfallversicherung auf n Jahre für einen x-JährigenBearbeiten
Vorschüssige n-jährige Zeitrente mit m Jahren AufschubzeitBearbeiten
Geometrische Reihe
Nachschüssige n-jährige Zeitrente mit m Jahren AufschubzeitBearbeiten
Geometrische Reihe
Vorschüssige n-jährige Rente für einen x-Jährigen mit m Jahren AufschubzeitBearbeiten
Nachschüssige n-jährige Rente für einen x-Jährigen mit m Jahren AufschubzeitBearbeiten
n-jährige Risikolebensversicherung für einen x-Jährigen mit m Jahren AufschubzeitBearbeiten
- Gemeint ist, dass in den ersten Jahren kein Versicherungsschutz besteht,
- und nicht, dass Hinterbliebene bei Eintritt des Versicherungsfalles m Jahre auf ihre Leistung warten müssen.
n-jährige gemischte Versicherung für einen x-JährigenBearbeiten
In der Formel ersetze durch .
Wegen bzw.
ist nun .
Linear steigende vorschüssige n-jährige Rente für einen x-JährigenBearbeiten
Linear steigende nachschüssige n-jährige Rente für einen x-JährigenBearbeiten
Linear steigende n-jährige Risikolebensversicherung für einen x-JährigenBearbeiten
DeckungskapitalBearbeiten
Bei einem -jährigen Lebensversicherungsvertrag zahlt der Versicherte im -ten Versicherungsjahr vorschüssig (zu Beginn des -ten Jahres) den Beitrag .
Stirbt der Versicherte im -ten Versicherungsjahr (d.h. er stirbt im Alter ), zahlt die Versicherung nachschüssig (also am Ende des -ten Jahres) die Todesfallleistung .
Überlebt der Versicherte das -te Versicherungsjahr (d.h. er erlebt das -te Jahr), zahlt die Versicherung nachschüssig die Erlebensfallleistung .
Zu Vertragsbeginn sieht man den Kapitalwert der zukünftigen Beiträge und Leistungen wie folgt:
Die vereinbarten Beiträge und Leistungen müssen dabei so gewählt sein, dass das Äquivalenzprinzip erfüllt ist:
Am Ende des -ten Versicherungsjahres sieht man den zukünftigen Beitrags- und Leistungskapitalwert wie folgt:
Am Ende des -ten Versicherungsjahres sieht man den vergangenen Beitrags- und Leistungskapitalwert wie folgt:
Das prospektive Deckungskapital ist die Differenz zwischen ausstehendem Leistungskapitalwert und ausstehendem Beitragskapitalwert.
Das retrospektive Deckungskapital ist die Differenz zwischen erbrachtem Beitragskapitalwert und angefallenem Leistungskapitalwert.
Nach dem Äquivalenzprinzip ist der Kapitalwert aller vergangenen und zukünftigen Beiträge gleich dem Kapitalwert aller vergangenen und zukünftigen Leistungen.
Daraus folgt
,
also gerade
.