Formelsammlung Mathematik: Analytische Geometrie

Formelsammlung Mathematik
Vektorrechnung

GeradenBearbeiten

ParameterdarstellungBearbeiten

 
Darstellung zu  
mit  ,   und  .
In einem verschobenen Koordinatensystem bekommen die Ortsvektoren   und   (rot) andere Koordinaten. Die Koordinaten des Richtungsvektors   (blau) bleiben jedoch erhalten, sofern das Koordinatensystem nicht gedreht wird.

Punktrichtungsform:

 
 
  der Parameter
  der Stützpunkt
  für jedes   ein Punkt auf der Gerade
  der Richtungsvektor
  Verschiebungsvektoren
  die Gerade

Punktrichtungsform für die Ebene:

 

Punktrichtungsform für den Raum:

 

Gerade durch zwei Punkte: Sind   zwei Punkte mit  , so ist durch diese Punkte eine Gerade gegeben. Man setzt   und  . Nach Umformung ergibt sich die Zweipunkteform.

Zweipunkteform:

 

Zweipunkteform für die Ebene:

 

Hierbei handelt es sich um eine Affinkombination.

Für   ist es eine Konvexkombination: eine Parameterdarstellung für die Strecke von   nach  .

Parameterfreie DarstellungBearbeiten

Hesse-Form:

 

 : Stützpunkt,  : Normalenvektor.

Die Hesse-Form ist nur in der Ebene möglich. In Koordinaten ergibt sich

 

Hesse-Normalform: Hesse-Form mit  .

Sei   das äußere Produkt.

Plückerform:

 

Die Größe   heißt Moment. Beim Tupel   handelt es sich um Plückerkoordinaten für die Gerade.

In der Ebene gilt speziell:

 

mit  .

Sei   und   sowie  . Aus der letzten Gleichung ergibt sich:

 

Im Raum ergibt sich ein Gleichungssystem:

 

mit  .

Abstand Punkt zu GeradeBearbeiten

Sei   die Punktrichtungsform einer Geraden und sei   ein weiterer Punkt. Bei   handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von  .

Ansatz: Es gibt genau ein  , so dass gilt:

 

Lösung:

 

EbenenBearbeiten

ParameterdarstellungBearbeiten

Seien   zwei nicht kollineare Vektoren.

Punktrichtungsform:

 

Parameterfreie DarstellungBearbeiten

Seien   zwei nicht kollineare Vektoren. Durch

 

wird eine Ebene beschrieben. Hiermit kann auch eine Ebene im höherdimensionalen Raum beschrieben werden, es ergibt sich dann aber ein lineares Gleichungssystem.

Hesse-Form:

 

 : Stützpunkt,  : Normalenvektor. Die Hesse-Form einer Ebene ist nur im dreidimensionalen Raum möglich.

Den Normalenvektor bekommt man aus der Punktrichtungsform der Ebene mit

 .

Es gilt

 

Über den Zusammenhang  ,   und   ergibt sich die

Koordinatenform:

 

Abstand Punkt zu EbeneBearbeiten

Sei   die Punktrichtungsform einer Ebene und sei   ein weiterer Punkt. Bei   handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von  .

Ansatz: Es gibt genau ein Tupel  , so dass gilt:

 

Lösung: Es ergibt sich ein LGS:

 

mit  

Die Lösung des LGS ist: