Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Tautologie

Darstellung von Implikation und Äquivalenz

Müsste es bei

 (A <-> B) <-> (-A ^ B) v (A ^ -B)

nicht heißen

 (A <-> B) <-> (-A v B) ^ (A v -B) ?

Ich habe es gerade korrigiert. Danke für dein Feedback --Stephan Kulla 01:01, 1. Feb. 2011 (CET)

Tautologie

Die Definition der Tautologie ist unglücklich und teilweise falsch:

"Eine Tautologie ist eine allgemeingültige Aussageform, deren Variable Aussagen sind. Die durch Bindung mit Allquantoren entstandene Aussage ist stets wahr, unabhängig vom Wahrheitsgehalt ihrer Teilaussagen."

In der üblichen mathematischen (!) Terminologie ist eine Tautologie ein Begriff der Aussagenlogik, also der Logik, die sich nur mit den Junktoren beschäftigt, und bezeichnet dort eine allgemeingültige Aussage, also eine Aussage, die immer wahr ist. Das eine Aussage allgemeingültig ist, kann mit Hilfe der Wahrheitstafeln festgestellt werden. Mit Quantoren hat das nichts zu tun und die Variablen, die hier gemeint sind, sind einfach die Platzhalter für beliebige Aussagen. Der Begriff 'Tautologie' gehört m.E. in das Kapitel Mathe für Nicht-Freaks: Wahrheitstabelle. Eine Liste der wichtigsten Tautologien sind die im ersten Abschnitt von Mathe für Nicht-Freaks: Gesetze der Logik#Aussagenlogik gelisteten Gesetze.

Vielleicht sollten wir folgende Verschiebungen prüfen:

• das Kapitel Tautologie wird hinter Wahrheitstabelle eingeordnet und erhält die Liste aus dem Kapitel Gesetze der Logik.
• Für die Prädikatenlogik - das ist die Logik mit Quantoren - fehlt bisher jeder Hinweis auf ein Beweisverfahren! In diese Richtung könnte man den Rest von Gesetze der Logik umschreiben.

Sowohl der Artikel w:Aussagenlogik als auch der Artikel w:Prädikatenlogik sind ziemlich gut - im Gegensatz zum Artikel w:Tautologie. Jürgen-Michael Glubrecht 22:26, 22. Sep. 2018 (CEST)

Hm, ich glaube »Die durch Bindung [...]« ist schon korrekt formuliert. Gemeint sein soll, denke ich, dass über alle Belegungen (Interpretationen) quantisiert wird. Das lässt sich expandieren in je einen Allquantor für jede Variable. Etwas seltsam erscheint mir aber »deren Variable Aussagen sind«. Ein logischer Ausdruck enhält logische Variablen (also solche die Werte aus {0,1} annehmen können). Wenn die Variablen selbst wieder logische Ausdrücke enthalten können, spricht man von einem Schema. Aus einer tautologischen Aussageform lässt sich natürlich ein tautologisches Schema erhalten, dafür muss jedoch die Einsetzungsregel herangezogen werden.

Das tieferliegende Problem ist m.E. die ständige begriffliche Vermischung von Aussage, Aussageform, Schema und logischer Variable.

Eine Formulierung die mir für den Leser weniger mental anstrengend erscheint:

Definition (Tautologie). Eine Aussageform heißt tautologisch (allgemeingültig), wenn sie unter jeder möglichen Belegung ihrer logischen Variablen mit Wahrheitswerten zu einer wahren Aussage wird. Eine Aussageform ist also genau dann tautologisch, wenn jede Zeile der Wahrheitstafel am Ende erfüllt wird, unabhängig vom Wahrheitsgehalt der Teilaussagen.

--Rumil 11:52, 23. Sep. 2018 (CEST)

Hallo Rumil, deine Formulierung ist wesentlich besser! Ich meine aber, dass der Begriff 'Aussageform' an dieser Stelle in die Irre führt. In einer 'Aussageform' können freie Variable x, y, z, usw. auftreten. Diese Variablen stehen nicht für Wahrheitswerte sondern für Objekte aus dem Grundbereich. Das spielt aber in der Aussagenlogik (= Logik der Junktoren) gar keine Rolle. Ich würde $A\lor \neg A$ nicht als 'Aussagform' bezeichnen! Das ist übrigens im Kapitel Wahrheitstabellen auch nicht der Fall. $A$ ist eine Metavariable damit man über Aussagen reden kann. Metavariable aber werden in diesem Projekt nicht thematisiert sondern einfach benutzt. Das finde ich auch gut so.

• Definition (Tautologie). Eine mit Junktoren zusammengesetzte Aussage heisst tautologisch (allgemeingültig), wenn sie bei jeder möglichen Interpretation seiner Teilaussagen mit Wahrheitswerten wahr ist.

Jürgen-Michael Glubrecht 17:29, 23. Sep. 2018 (CEST)

Ja, stimmt. Diese Ambivalenz ist mir leider nicht aufgefallen. Ähnlich ist es mit dem Begriff Variable. Da gibt es die logischen Variablen, die metasprachlichen Variablen und die freien/gebundenen Variablen. Ein Formelschema ist gerade dadurch definiert, dass es metasprachliche Variablen enthält. Die Konvention für die ist uneinheitlich, wobei ich meistens der aus »Grenzen der Mathemtik« von Hoffmann folge, wo $A,B,C$ für logische Variablen und $\varphi ,\psi ,\chi$ für metasprachliche Variablen stehen.

In der Aussagenlogik wird zwischen einigen Begriffen nicht unterschieden. Der Grund dafür liegt, denke ich, in der Gültigkeit der Einsetzungsregel, des Deduktionstheorems und seiner Umkehrung sowie Vollständigkeit und Korrektheit. Die Aussagenlogik ist überhaupt eines der gutmütigsten formalen Systeme die man sich vorstellen kann. --Rumil 23:32, 24. Sep. 2018 (CEST)

Wenn ich mich recht erinnere, dann ging es darum, auch Ausdrücke wie $x=x$ zuzulassen. Hier meine Verständnisfrage: Ist so ein Ausdruck eine Tautologie? -- Stephan Kulla 08:20, 25. Sep. 2018 (CEST)

Wenn damit der Vergleich von Mengen gemeint ist, dann ja. Das lässt sich in eine wahre prädikatenlogische Formel expandieren. Da sonst keine weiteren variablen Symbole vorkommen, wird $x=x$ also unter allen Interpretationen erfüllt. Wenn damit der Vergleich von Individuenvariablen in der Prädikatenlogik mit Gleichheit gemeint ist: Für Terme gilt $(I\models \tau =\sigma )\;:\Longleftrightarrow \;I(\tau )=I(\sigma )$. Dabei belegt die Interpretation $I$ die Variable $\sigma :=\tau :=x$ mit einer Menge aus dem Universium. Das ist wie gesagt wahr. Wieder erhällt man unter allen Interpretationen eine wahre Aussage. Man kann auch eine geschlossene Formel ohne freie Variablen durch einen Abschluss mit dem Allquantor voraussetzen: $\forall x(x=x)$. Dann muss die Interpretation keine Variablen belegen, wobei ich jetzt mal $I(M)=M$ für eine konkrete Menge $M$ annehme. Die Belegung geschieht jetzt stattdessen über die Definition der Interpretation des Allquantors. In jedem Fall ergibt sich eine Tautologie.

Oder man schaut einfach nach: equid in Metamath. Nach der Korrektheit der Prädikatenlogik gilt $(\vdash x=x)\implies (\models x=x)$. --Rumil 22:38, 25. Sep. 2018 (CEST)

Ja: $x=x$ ist allgemeingültig (= immer wahr)! Zumindest in der Mathematischen Logik ist der Begriff "Tautologie" nur im Zusammenhang mit der (reinen) Aussagenlogik (= nur mit Junktoren zusammengesetzt) üblich, nicht aber in der Prädikatenlogik. So würde man $\forall x:x=x$ nicht als Tautologie bezeichnen, obwohl diese Aussage natürlich ebenfalls immer wahr ist. -- Jürgen-Michael Glubrecht 14:32, 29. Sep. 2018 (CEST)

@Jürgen-Michael Glubrecht, Rumil: Ich finde den Vorschlag von Jürgen-Michael Glubrecht gut. Also:

• Einordnung des Artikels nach "Wahrheitswerte".
• Anpassung des Artikels / der Definition zu "Eine mit Junktoren zusammengesetzte Aussage heißt tautologisch (allgemeingültig), wenn sie bei jeder möglichen Interpretation seiner Teilaussagen mit Wahrheitswerten wahr ist." (über die genaue Formulierung habt ihr mehr wissen als ich – ich folge hier dem, was ihr vorschlagt)
• Ergänzung des Artikels mit den Tautologien aus "Gesetze der Logik" (Mit Hilfe von mw:Extension:Labeled Section Transclusion können wir diese Inhalte mehrfach benutzen)

Vielen Dank an dieser Stelle für eure Verbesserungsvorschläge!   -- Stephan Kulla 16:00, 29. Sep. 2018 (CEST)

Ist umgesetzt. -- Jürgen-Michael Glubrecht 20:30, 5. Okt. 2018 (CEST)