Krümmungen

Vergessen Sie die Christoffelsymbole vorerst wieder. Wichtiger sind jetzt erste und zweite Fundamentalform. Bei der Herleitung der zweiten Fundamentalform haben wir bereits gesehen, dass die zweite Ableitung des Kurvenortsvektors nach der Bogenlänge der Krümmungsvektor ist und dieser sich in zwei Komponenten zerlegen lässt. Es wurde auch bereits eingeführt, dass die zwei Komponenten aus Skalaren und Vektoren bestehen. Die Skalare sind die Normalkrümmung $\kappa _{n}$ und geodätische Krümmung $\kappa _{g}$ .

{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}}{\mathrm {d} ^{2}s}}={\vec {x}}''=\kappa _{g}\cdot {\vec {s}}+\kappa _{n}\cdot {\vec {n}}

Komponenten des Krümmungsvektors

Krümmungsvektor, Geodätische Krümmung und Normalkrümmung

Wir sehen rechts eine Fläche mit den zwei Flächenkurven $S$ und $R$ . Die Kurve $S$ sei der kürzeste Weg zwischen Anfangs- und Endpunkt, $R$ ist länger. Für zwei Punkte sind beispielhaft der Tangentenvektor ${\vec {x}}'$ und der Krümmungsvektor ${\vec {x}}''$ eingezeichnet.

Betrachten wir zunächst die längere Kurve $R$ . Der Tangentenvektor im Punkt zeigt die momentane Richtung der Kurve an, der nicht maßstäbliche Krümmungsvektor die Änderung der momentanen Richtung. Gemäß der Formel ist der Krümmungsvektor ${\vec {x}}''$ in seine Komponenten zerlegt. Wir sehen, dass der Vektor ${\vec {s}}$ in der Tangentialebene liegt, die ${\vec {x}}'$ enthält und auf der ${\vec {n}}$ senkrecht steht. Der Normalenvektor liegt in der Normalenebene, die ebenfalls ${\vec {x}}'$ enthält. Die Länge der Vektoren entspricht dem Betrag der Krümmung, da die Vektoren ${\vec {n}}$ und ${\vec {s}}$ selbst Einheitsvektoren sind. Zu beachten ist, dass die Ebenen die Kurve nicht enthalten; insbesondere die Normalenebene hat nur den Durchstoßpunkt mit $R$ gemeinsam. Wieso das wichtig ist, werden wir gleich sehen.

Geodätische Linie

Betrachten wir nun die Kurve $S$ . Sie liegt vollständig in einer hier nur ausschnittsweise dargestellten Schnittebene. Wir stellen uns jetzt eine Ebene vor, die Anfangs- und Endpunkt enthält, diese Ebene können wir um die durch die zwei Punkte gegebene Gerade drehen. Wenn wir durch den Schnitt mit der Fläche die kürzest mögliche Verbindung erhalten wollen, so müssen wir die Ebene so drehen, dass der Krümmungsvektor ${\vec {x}}''$ für jeden Kurvenpunkt immer in der Ebene liegt. Dadurch ist der Krümmungsvektor gleich dem Produkt aus Normalenkrümmung und Normalenvektor ${\vec {n}}$ , die geodätische Krümmung ist infolge dessen überall Null. Jetzt haben wir die kürzest mögliche Verbindungslinie auf der Fläche bestimmt.

Eine solche Kurve mit $\kappa _{g}=0$ wird geodätische Linie genannt.

Auf der Kugel entstehen alle geodätischen Linien durch Schnitt mit Ebenen, die den Kugelmittelpunkt beinhalten. Die so entstandenen Schnittkreise werden Großkreise genannt.

Berechnung

Normalkrümmung

Bei natürlicher Parameterisierung

\kappa _{n}={\vec {x}}''\cdot {\vec {n}}=Lu'^{2}+2Mu'v'+Nv'^{2}

Bei Parameterisierung nach $t$

\kappa _{n}={\vec {x}}''\cdot {\vec {n}}={\frac {L{\dot {u}}^{2}+2M{\dot {u}}{\dot {v}}+N{\dot {v}}^{2}}{{\dot {s}}^{2}}}={\frac {L{\dot {u}}^{2}+2M{\dot {u}}{\dot {v}}+N{\dot {v}}^{2}}{E{\dot {u}}^{2}+2F{\dot {u}}{\dot {v}}+G{\dot {v}}^{2}}}

geodätische Krümmung

Am besten aus dem rechtwinkligen Dreieck, das ${\vec {x}}''$ , $\kappa _{n}\cdot {\vec {n}}$ und $\kappa _{g}\cdot {\vec {s}}$ bilden. Siehe Zeichnung!

|\kappa _{g}|={\sqrt {\|{\vec {x}}''\|^{2}-(\kappa _{n})^{2}}}

Der zugehöriger normierte Vektor ${\vec {s}}$ berechnet sich aus dem Kreuzprodukt von Tangentvektor und Normalenvektor

{\vec {s}}={\frac {{\vec {x}}'\times {\vec {n}}}{\|{\vec {x}}'\times {\vec {n}}\|}}

Extremwerte

Wir wollen uns nun der Frage widmen, in welche Richtung die Normalkrümmung am größten bzw. am kleinsten ist. Dafür lösen wir uns von einer bestimmten Kurve und betrachten einen Punkt mit allen Kurven, die ihn beinhalten. Um die Kurve, bzw. den Krümmungswert für die Kurve mit der extremen Krümmung zu finden, substituiren wir in der Formel für $\kappa _{n}$ :

$p={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} v}}$

Die Herleitung machen wir hier nicht. Es sei nur gesagt, dass eine in $\kappa _{n}$ quadratische Gleichung zu lösen wäre.

Die Extremwerte werden als Hauptkrümmungen $\kappa _{1}$ und $\kappa _{2}$ bezeichnet. Das Produkt bzw. die Summe der zwei Lösungen $\kappa _{1}$ und $\kappa _{2}$ können wir mit den Fundamentalgrößen erster und zweiter Ordnung ausdrücken.

\kappa _{1}\kappa _{2}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}

\kappa _{1}+\kappa _{2}={\frac {NE-2MF+LG}{EG-F^{2}}}

Wir legen neue Krümmungsgrößen fest:

Definition der Gaußschen und mittleren Krümmung

Gaußsche Krümmung

K:=\kappa _{1}\kappa _{2}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}

mittlere Krümmung

H:={\frac {1}{2}}(\kappa _{1}+\kappa _{2})={\frac {1}{2}}{\frac {NE-2MF+LG}{EG-F^{2}}}

K und H sind natürlich abhängig von der Fläche, aber unabhängig davon, wie diese Fläche parametrisiert ist! Sie eignen sich also hervorragend, um Flächen zu charakterisieren.

Einteilung nach Krümmung

Flächen konstanter Krümmung

Hierher gehören alle Flächen, bei denen die gaußsche Krümmung K konstant aber nicht Null ist. Die Kugel ist eine solche Fläche. Dies liegt daran, dass bei der Kugel die Normalkrümmung $\kappa _{n}$ in jedem Punkt in jede Richtung gleich ist. Die Kugel besteht nur aus sogenannten Nabelpunkten.