Der elektrische Strom – Eigenschaften und Wirkungen: Teil I

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Einleitung

Wir betrachten zwei beliebige isolierte Körper, die auf unterschiedliche Potentiale (oder Spannungen gegen Erde) φ₁ und φ₂ aufgeladen wurden. Es sei φ₁ > φ₂, wobei auch negative Potentiale zugelassen sind. (Ein negatives Potential entsteht dadurch, dass der Körper einen Überschuss an negativen Ladungen hat.)

Verbindet man anschließend die beiden Körper durch einen Leiter, z. B. durch einen Metalldraht, dann fließen elektrische Ladungen von einem Körper zum anderen, und zwar so lange, bis beide Körper dasselbe Potential haben. Das ist die Konsequenz des Satzes der Elektrostatik, dass ein leitender Körper überall dasselbe Potential hat. (Durch die leitende Verbindung ist aus den ursprünglich zwei Körpern ein einziger geworden.)

Dabei stellt man sich vor, dass von dem ersten Körper, der wegen seines höheren Potentials einen größeren Überschuss an positiven Ladungen hat als der zweite, positive Ladungen auf den zweiten fließen.

In unserem Beispiel klingt der elektrische Strom vom ersten auf den zweiten Körper sehr schnell ab, und es herrscht wieder "Elektrostatik".

Merke:

Wenn ein elektrischer Strom fließt, bewegen sich Ladungsträger. Es gibt positive und negative Ladungsträger.

Positiv sind Metall-Ionen in Lösungen. Negativ sind Säure-Rest-Ionen oder freie Elektronen.

Es gibt aber Anordnungen, die einen elektrischen Potentialunterschied über längere Zeit aufrecht erhalten können, auch wenn ständig Ladungen abfließen, z. B. die Monozellen, die für elektrische und elektronische Geräte benutzt werden. Sie bewirken, dass auch in einem leitenden Körper ein Potentialgefälle (und somit ein elektrisches Feld) anhaltend bestehen kann und ständig ein elektrischer Strom fließt.

Die Stromrichtung

In welche Richtung fließt der Ausgleichsstrom? Es scheint ganz klar, dass die positiven Ladungen vom stärker positiv geladenen Körper zum weniger aufgeladenen Körper fließen. Als Beispiel betrachtete man den Transport von Kupfer-Ionen in einem Elektrolyten.

Die Richtung, in die Kupfer-Ionen (Metall-Ionen) in einem Elektrolyten transportiert werden, wurde als (technische) Stromrichtung definiert.

Nun bewegen sich in einem Elektrolyt nicht nur positiv geladene Metall-Ionen, sondern auch negativ geladene Säure-Rest-Ionen in die Gegenrichtung. Daher hätte man auch die Bewegung der Säure-Rest-Ionen als technische Stromrichtung definieren können.

In Elektrolyten bewegen sich die Metallionen von „plus“ nach „minus“ und gleichzeitig die Säurerest-Ionen von „minus“ nach „plus“. Deshalb muss man die Festlegung der (technischen) Stromrichtung als willkürlich bezeichnen.

In metallischen Leitern stehen als Ladungsträger ausschließlich Elektronen zur Verfügung: Die Restatome stecken in einem Atomgitter fest und sind unbeweglich. Dadurch verläuft die Fließrichtung der Ladungsträger (der Elektronen) vom negativen zum positiven Potenzial.

So haben wir also künftig in Metallen die reale Stromrichtung (die der Elektronen) von der physikalisch-technischen Stromrichtung zu unterscheiden, die leider genau umgekehrt verläuft. In einem Stromkreis aus einer Batterie und einer Glühlampe bedeutet dies, dass vom negativen Pol der Batterie über die Glühlampe negativ geladene Elektronen zum positiven Pol der Batterie fließen – entgegen der technischen Stromrichtung. Die Zuordnung des positiven und negativen Vorzeichens ist also unglücklich erfolgt, lässt sich aber nicht mehr ändern.

In Schaltplänen wird die (technische) Stromrichtung durch einen Richtungspfeil gekennzeichnet. Der Richtungspfeil wird direkt auf den stromdurchflossenen Leiter (oder parallel dazu in geringem Abstand) gezeichnet. Neben dem Richtungspfeil wird die Größe des Stroms angegeben.

Beispiel:

I_a = 0,3 A

I_b = – 0,3 A (Das heißt, die Stromrichtung ist entgegengesetzt zur Richtung des Richtungspfeils.)

Beachte

Ein „Überschuss an positiven Ladungen“ ist gleichbedeutend mit einem „Mangel an negativen Ladungen“.

Ein „größerer Überschuss an positiven Ladungen“ kann gleichbedeutend sein mit einem „geringeren Überschuss an negativen Ladungen“.

Elektrischer Strom fließt in folgenden Fällen:

• Zwischen zwei unterschiedlich geladenen Körpern fließt ein Ausgleichsstrom, wenn man sie mit einem Leiter verbindet.
• Durch Umwandlung chemischer Energie kann ein Stromfluss entstehen.
• Ein veränderliches Magnetfeld kann durch Induktion einen Strom erzeugen.

Alle elektrischen Ströme haben vier wichtige Eigenschaften:

1. Sie sind mit dem Transport von Materie verbunden. In metallischen Leitern werden Elektronen bewegt, in elektrolytischen Leitern positive und negative Ionen.

2. Die Ladungsträger bewegen sich langsam, aber die Wirkung des Stromes pflanzt sich fast mit Lichtgeschwindigkeit fort.

3. Der Strom erzeugt um sich herum ein Magnetfeld.

4. Sie sind mit der Erzeugung von Wärme verbunden, die sich in einer Erwärmung des Leiters zeigt. Bei diesem Vorgang wird zunächst die „elektrische Energie“ der Stromquelle in kinetische Energie der Ladungsträger umgesetzt. Die Ladungsträger bewegen sich durch den Leiter und stoßen dabei mit den Atomen oder Molekülen des Leiters zusammen, was eine Temperaturerhöhung bedeutet. (Dieser Vorgang wird kurz als „Reibung“ bezeichnet.)

Definition Stromstärke und Stromdichte

Fließt in der Zeit Δt durch einen Leiterquerschnitt senkrecht zur Strömungsrichtung der Ladungsträger die Ladungsmenge ΔQ, so ist die mittlere Stromstärke im Zeitintervall Δt.

${\bar {I}}={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$

und die (momentane) Stromstärke zu Beginn des Zeitintervalls:

$I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}\equiv {\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} t}}.$

Für die Richtung des Stromes (»technische Stromrichtung«) gilt die Verabredung: Der elektrische Strom fließt von den Punkten höheren Potentials zu den Punkten niedrigeren Potentials, bei einer Spannungsquelle also vom Pluspol zum Minuspol. Damit hat der Strom dieselbe Richtung wie das elektrische Feld.

Die Stromdichte j an einer Stelle des Leiters ist

$j=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta I}{\Delta A}}\equiv {\frac {\operatorname {d} I}{\operatorname {d} A}},$

wobei ΔI die Stromstärke in dem senkrecht zur Stromrichtung liegenden Flächenstück ΔA ist.

Der Vektor j der Stromdichte hat nach Vereinbarung die Richtung des elektrischen Feldvektors. Die Stromstärke durch den Querschnitt A ist dann

$I=\int _{A}{{\overrightarrow {j}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}\,.$

Ein Strom mit zeitlich konstanter Stromstärke heißt stationärer Strom oder Gleichstrom. Für ihn gilt

${\frac {\operatorname {d} I}{\operatorname {d} t}}=0.$

Bei einem stationären Strom ist die Stromstärke in jedem zur Stromrichtung senkrechten Leiterquerschnitt dieselbe. Wäre das nicht so, dann müsste es an den Stellen, an denen sich die Stromstärke ändert, zu Ladungsanhäufungen und damit zu sehr starken Potentialänderungen kommen.

Die Vektoren der Stromdichte bilden ein Vektorfeld, dessen Feldlinien ohne Anfang und ohne Ende, also in sich geschlossen sind. Folglich ist das Feld der Stromdichte ein quellenfreies Feld:

$\operatorname {div} \,{\overrightarrow {j}}=0\,.$

Die so genannten Stromquellen (auch »Spannungsquellen« genannt) sind daher nicht etwa »Quellen« elektrischer Ladungen, sondern eher »Ladungspumpen«, in denen das Potential stetig (wie in Generatoren) oder sprunghaft (wie in Monozellen) verändert wird.

Das ohmsche Gesetz

Als Nächstes steht die Frage an, wie der Strom in einem Leiter vom Potentialunterschied (oder der elektrischen Spannung) zwischen den Enden des Leiters abhängt. Diese Frage kann nur experimentell beantwortet werden, obwohl man immerhin Folgendes vorhersagen kann: Mit dem Potentialunterschied steigt proportional die Feldstärke im Leiter und damit die Kraft auf die Ladungsträger, also auf die Elektronen. Das Experiment bestätigt die naheliegende Vermutung, dass die Stromstärke I der Spannung U proportional ist, allerdings nur bei konstanter Temperatur. Da der Strom selbst zu einer Erwärmung des Leiters führt, ist die Proportionalität oft stark gestört. Also:

$I\sim U\quad {\mbox{bei konst. }}T$

Dies ist das ohmsche Gesetz.

Der Quotient U / I ist ein Maß für den (Reibungs-)Widerstand R, den der Leiter dem Strom entgegensetzt und heißt daher ohmscher Widerstand des Leiters. Der ohmsche Widerstand hängt von der Temperatur ab.

Definition:

${\mbox{ohmscher Widerstand}}\;R={\frac {U}{I}}$

Hier besteht nun eine beträchtliche Begriffsverwirrung, zu der auch namhafte Lehrbücher beigetragen haben und noch immer beitragen: Diese Gleichung ist die »Definitionsgleichung des ohmschen Widerstandes« und nicht das »ohmsche Gesetz«. (Auch die daraus hergeleiteten Umkehrungen U = R × I und I = U / R sind Umkehrungen der Definitionsgleichung und nicht solche des ohmschen Gesetzes.)

Für einen homogenen Leiter der Länge l mit konstantem Querschnitt A gilt:

$R=\rho {\frac {l}{A}}.$

Dabei ist ρ = ρ(T) der spezifische elektrische Widerstand des Leitermaterials. Der Kehrwert von ρ heißt spezifischer elektrischer Leitwert σ. Damit kann man schreiben

$I={\frac {U}{R}}={\frac {U\,A}{\rho \,l}}=\sigma {\frac {U\,A}{l}},$

woraus folgt

${\frac {I}{A}}=\sigma {\frac {U}{l}}\quad \mathrm {oder} \quad j=\sigma \,E\quad \mathrm {und} \quad {\overrightarrow {j}}=\sigma \,{\overrightarrow {E}}\,.$

Dies ist eine der elektrischen Feldtheorie (Nahewirkungstheorie) angemessene (weil »punktuelle«) Formulierung des ohmschen Gesetzes.

 

Der Energieumsatz des elektrischen Stroms – joulesche Wärme

Fließt in einem Leiter die elektrische Ladung Q von einem Punkt A mit dem Potential φ₁ zu einem Punkt B mit dem Potential φ₂, so wird dabei die elektrische Energie

$W=Q\,(\varphi _{1}-\varphi _{2})=Q\,U_{1,2}$

in Wärme (so genannte »joulesche Wärme«) umgesetzt.

Dazu muss für

Q > 0:     φ₁ > φ₂, Q < 0:     φ₁ < φ₂

sein.

Die mit dem Energieumsatz verbundene Leistung P bei konstanter Spannung U ist

$P={\frac {\operatorname {d} W}{\operatorname {d} t}}=U{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} t}}=U\,I.$

Um auch hier einen der Feldtheorie entsprechenden Ausdruck zu erhalten, betrachten wir ein quaderförmiges Volumenelement dV, von dem vier Kanten (Länge dl ) in Stromrichtung liegen. Die dazu senkrechten Stirnflächen dA sind dann Äquipotentialflächen des elektrischen Feldes im Leiter. Dann ist die Potentialdifferenz (elektrische Spannung) zwischen den Stirnflächen dU = E dl. Die Stromstärke ist dI = j dA und daher dP = dU dI = E dl j dA = E j dV.

Damit erhalten wir die

Leistungsdichte des Energieumsatzes

${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} V}}=E\,j=\sigma E^{2}.$

Dieses Ergebnis ist unabhängig von der räumlichen Orientierung des betrachteten Volumenelements dV und gilt ganz allgemein.

 

Die magnetische Wirkung des elektrischen Stroms

Einleitung

Jeder elektrische Strom erzeugt um sich ein magnetisches Feld, und niemand weiß, wie er das macht. Das charakteristische Merkmal eines magnetischen Feldes ist, dass »Magnetpole« darin eine Kraft erfahren. Da Magnetpole aber nur paarweise als Dipole auftreten, ist es oft zweckmäßiger, das Drehmoment zu beobachten, das im Feld auf einen magnetischen Dipol wirkt.

Ähnlich wie ein elektrisches Feld kann ein magnetisches Feld durch Feldlinien beschrieben werden.

Es liegt nahe, die magnetische Feldstärke analog zur elektrischen Feldstärke zu definieren

• als die auf die Polstärke eines Magneten bezogene Kraft des Feldes,
• oder als das auf das magnetische Dipolmoment eines Dipols bezogene Drehmoment.

Das setzt jedoch voraus, dass wir Polstärken bzw. Dipolmomente messen können. Darauf wollen wir uns aber nicht einlassen und wählen daher einen ganz anderen Weg.

Wir begnügen uns zunächst mit einer relativen Messung magnetischer Feldstärken, das heißt, es genügt uns (zunächst), das Verhältnis zweier Feldstärken zu messen. Dazu reicht aber auch ein Magnetpol bzw. ein magnetischer Dipol unbekannter Stärke. Die Einzelheiten solcher Messungen sind Sache der Experimentalphysik und schon seit über 150 Jahren hinreichend bekannt.

Mit Hilfe entsprechender Methoden hat man herausgefunden, dass der Betrag H der magnetischen Feldstärke bei jedem beliebigen Leiter proportional der Stromstärke I und im Falle des langen geraden Leiters umgekehrt proportional zum Abstand r vom Leiter ist. Für die Richtung der Feldlinien hat man verabredet, dass sie in Stromrichtung gesehen rechts herum laufen.

 

Definition der Einheit der magnetischen Feldstärke

Für das Feld eines langen, geraden Drahtes gilt also:

$H\sim {\frac {I}{r}}\quad {\mathrm {oder} }\quad H=k{\frac {I}{r}}.$

Berechnen wir nun das Linienintegral von H ds über einen zum Leiter konzentrischen Kreis K mit Radius r, so finden wir, da H stets parallel zu ds ist,

$\oint _{K}{{\overrightarrow {H}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=H\oint _{K}{\operatorname {d} s}=H\,2\pi r=k{\frac {I}{r}}2\pi r=k\,2\pi I\,.$

Das Linienintegral hat also für alle konzentrischen Kreise denselben Wert und dieser hängt nur von I ab.

Wie man sieht, hängt die Größe k (dem Zahlenwert und der Einheit nach) von der Maßeinheit der magnetischen Feldstärke ab, die benutzt wird.

Verabreden wir nun, die Einheit der magnetischen Feldstärke so festzulegen, dass die Konstante k = 1/2π ist, dann wird

$\oint _{K}{{\overrightarrow {H}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=I$

und

$H={\frac {I}{2\pi r}}\,.$

Damit haben wir über die Einheit der magnetischen Feldstärke verfügt und nun gilt:

1. Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist 1 Ampere/Meter (A/m)

2. Die Feldstärke 1 A/m ist die Stärke des Feldes eines unendlich langen geraden Drahtes im Abstand r = (1/2π) Meter, wenn die Stromstärke im Draht 1 Ampere beträgt.

 

Das magnetische Durchflutungsgesetz

Wir wollen nun das oben genannte Linienintegral über eine beliebige geschlossene Kurve bilden, die entweder einen Leiterquerschnitt in sich enthält (a) oder aber nicht (b).

a) Geschlossene Linie enthält Leiterquerschnitt b) Geschlossene Linie enthält Leiterquerschnitt nicht

Vor der Berechnung des Linienintegrals zerlegen wir das Wegelement ds in eine Komponente in Richtung r (Radialkomponente), und eine Komponente senkrecht dazu (Normalkomponente).

Kurventeil, Linienelement und Feldstärke (in Stromrichtung gesehen)

Da die Feldstärke auf r senkrecht steht, leistet die Radialkomponente des Wegelements keinen Beitrag zum Linienintegral und es gilt

mit ds_normal = r dφ:

$\oint _{K}{{\overrightarrow {H}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=\oint _{K}{H\;\operatorname {d} s_{normal}}=\oint _{K}{{\frac {I}{2\pi r}}r\;\operatorname {d} \varphi }={\frac {I}{2\pi }}\oint _{K}{\operatorname {d} \varphi }\,.$

Enthält die Kurve einen Leiterquerschnitt, dann läuft das Linienintegral von 0 bis 2π, anderenfalls von 0 über einen positiven oder negativen Wert zurück zu 0. Folglich ist:

${\text{Im Fall a):}}\quad \oint _{K}{{\overrightarrow {H}}\;\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=I\,,$

${\text{Im Fall b):}}\quad \oint _{K}{{\overrightarrow {H}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=0\,.$

Anmerkung: Die Kurve muss nicht eben sein.

Umfängt die Kurve mehrere Leiter mit den Stromstärken I₁, I₂, usw. dann gilt:

$\oint _{K}{{\overrightarrow {H}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=\sum {I\,.}$

Nach dem Stokesschen Integralsatz ist

$\oint _{K}{{\overrightarrow {H}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}=\int _{A}{\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {H}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}\,,$

wobei A eine ganz beliebig geformte Fläche ist, die von der Kurve K umrandet wird.

Folglich gilt:

$\int _{A}{\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {H}}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}=I\,,$

wobei I der durch die Fläche A fließende Strom ist.

Bei Anwendung auf ein einzelnes Flächenelement dA, durch das der Strom dI fließt, folgt daraus:

$\left|{\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {H}}}\right|={\frac {\operatorname {d} I}{\operatorname {d} A}}\quad \mathrm {und} \quad \operatorname {rot} \,{\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {j\,.}}$

Fließt durch die Fläche A kein Strom, so ist

$\int _{A}{\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {H}}\;\operatorname {d} {\overrightarrow {A}}}=0\,.$

Da die Fläche A beliebig geformt sein kann und daher der Normalenvektor dA überall beliebig gerichtet sein kann, kann diese Gleichung nur erfüllt sein, wenn überall rot H = 0 ist. Also:

Im Innern eines stromdurchflossenen Leiters ist rot H = j, außerhalb ist überall rot H = 0.

 

Das Biot-Savart-Gesetz

Herleitung

Zur Berechnung des magnetischen Feldes anders geformter Leiter genügen unsere bisherigen Kenntnisse noch nicht. Wir brauchen vielmehr eine Aussage darüber, welchen Beitrag der in einem einzelnen Leiterelement dl fließende Strom I zum Magnetfeld des Leiters in einem beliebigen Punkt P leistet. Dieses Gesetz kann nicht experimentell durch Beobachtungen und Messungen gewonnen werden, denn es ist unmöglich, ein einzelnes Leiterelement aus dem Zusammenhang des ganzen Leiters herauszutrennen. Außerdem leistet ein verschwindend kleines Leiterelement auch nur einen verschwindend kleinen Beitrag, der gar nicht messbar ist. Es bleibt uns also nichts anderes übrig, als das gesuchte Gesetz zu erraten und es dann an bekannten Erscheinungen zu überprüfen und es entsprechend anzupassen. (In der Mathematik nennt man das: »einen Ansatz machen«.) Als bekannte Erscheinung nehmen wir das Magnetfeld eines langen geraden Drahtes.

Wir wollen einmal folgende, zwar plausible, aber natürlich nicht gesicherte Annahmen machen:

• der Vektor dH stehe auf dem Dreieck P A dl senkrecht,
• der Betrag dH sei proportional 1/r ² (das quadratische Abstandsgesetz)
• die Abhängigkeit vom Winkel α muss durch eine Funktion beschreibbar sein, deren Verlauf symmetrisch zu α = 90° ist. Ferner muss (aus Symmetriegründen) dH verschwinden, wenn α gleich 0° oder 180° ist. Dafür bietet sich die Funktion sin α an.
• Der Betrag dH muss proportional zu dl und proportional zur Stromstärke I im Leiter sein.

Demnach müsste gelten:

$\operatorname {d} H=k{\frac {I\,\operatorname {d} l}{r^{2}}}\sin \alpha ,$

wobei k ein noch zu bestimmender Proportionalitätsfaktor ist.

Drückt man die Variablen l (das von A aus gemessen wird) und r durch α und R aus, erhält man

$\operatorname {d} H=k{\frac {I}{R}}\sin \alpha \;\operatorname {d} \alpha$

und daraus

$H=k{\frac {I}{R}}\int _{0}^{\pi }{\sin \alpha \;\operatorname {d} \alpha }=2k{\frac {I}{R}}.$

Ein Vergleich mit der oben gewonnenen Formel für das Feld eines unendlich langen, geraden Leiters,

$H={\frac {I}{2\pi R}}$

ergibt

$k={\frac {1}{4\pi }}$

und damit

$\operatorname {d} H={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\sin \alpha }{r^{2}}}\operatorname {d} l\qquad {\text{Biot-Savart-Gesetz}}$

In Vektorschreibweise:

$\operatorname {d} {\overrightarrow {H}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I}{r^{3}}}\left[{{\overrightarrow {r}}\times \operatorname {d} {\overrightarrow {l}}}\right]\,.$

Dabei ist r von P nach dl gerichtet und der Vektor dl hat dabei dieselbe Richtung wie der Strom I.

Der Ansatz hat also zu einem Ergebnis geführt, das mit beobachteten Gesetzen übereinstimmt. Es musste lediglich dem konstanten Faktor noch der richtige Wert zugeordnet werden.

Als Anwendungsbeispiel soll zunächst die magnetische Feldstärke in der Achse eines kreisförmigen Leiters vom Radius R berechnet werden.

 

Feld eines kreisförmigen Leiters

Wir berechnen die Feldstärkeanteile zweier diametral gegenüber gelegener Leiterelemente dl₁ und dl₂. Für diese gilt

$\operatorname {d} H_{1}=\operatorname {d} H_{2}={\frac {I\;\operatorname {d} l}{4\pi r^{2}}}.$

Wie zu erkennen, kompensieren die Radialkomponenten einander, dagegen summieren sich die Axialkomponenten zum axialen Feldstärkeanteil

$\operatorname {d} H=2{\frac {I\;\operatorname {d} l}{4\pi r^{2}}}{\frac {R}{r}}={\frac {I\,R}{2\pi r^{3}}}\operatorname {d} l.$

Da dieser Anteil bereits aus zwei Teilen besteht, wird zur Berechnung der gesamten Feldstärke nur über den halben Kreisumfang integriert:

$H={\frac {I\,R}{2\pi r^{3}}}\pi R={\frac {I\,R^{2}}{2r^{3}}}={\frac {I\,R^{2}}{2\left({R^{2}+a^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Insbesondere folgt daraus für die Mitte der Stromschleife mit a = 0:

$H={\frac {I}{2R}}.$

Feld einer Zylinderspule

Als Nächstes berechnen wir die Feldstärke in der Mitte einer Zylinderspule, die aus zahlreichen kreisförmigen Leiterschleifen besteht.

Die Windungsdichte n /l der Spule sei N. Auf die Strecke zwischen x und (x + dx) treffen dann N dx Windungen, in denen insgesamt der Strom I N dx fließt. Der Feldstärkeanteil dieses Spulenelements, das einer kreisförmigen Leiterschleife entspricht, beträgt dann

$\operatorname {d} H={\frac {R^{2}N\,I}{2}}{\frac {\operatorname {d} x}{\left({R^{2}+x^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

und die Gesamtfeldstärke ist

$H={\frac {R^{2}N\,I}{2}}\int _{-l}^{+l}{\frac {\operatorname {d} x}{\left({R^{2}+x^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,,$

wenn die Länge der Spule 2l ist und x von der Spulenmitte aus zählt.

Das Integral hat den Wert

$\left|{\frac {x}{R^{2}\left({R^{2}+x^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}}}\right|_{-l}^{+l}={\frac {2l}{R^{2}\left({R^{2}+l^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}{R^{2}\left({{\frac {R^{2}}{l^{2}}}+1}\right)^{\frac {1}{2}}}}.$

Für l gegen unendlich wird daraus 2/R² und somit

$H=N\,I.$

Bei einer unendlich langen Spule ist überall auf der Achse »die Mitte« der Spule, also gilt dieses Ergebnis überall – jedenfalls auf der Achse. Für eine reale Spule endlicher Länge gilt dieses Ergebnis annähernd in der Nähe der Mitte, falls die Länge der Spule sehr groß ist gegenüber ihrem Radius. Am Ende einer solchen Spule ist die Feldstärke gerade noch halb so groß wie in der Mitte, da ja hier eine Hälfte der Spule und damit auch ihr Anteil an der Feldstärke fehlt.

 

Das Vektorpotential des magnetischen Feldes

Die Grundgleichung des durch einen elektrischen Strom erzeugten Magnetfeldes lautet

$\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {j}}\quad \quad (1)$

mit der Zusatzbedingung

$\operatorname {div} \,{\overrightarrow {H}}=0\,.\quad \;\;\;(2)$

Der Versuch, ein magnetisches Feld mittels der Gleichung (1) unter Berücksichtigung von (2) aus j herzuleiten, gelingt auf einem raffinierten Umweg durch Einführung eines neuen, noch unbekannten Vektors A, von dem gelten soll:

${\overrightarrow {H}}=\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {A}}\,.$

Zunächst ist festzustellen, dass dieser Ansatz die Nebenbedingung (2) erfüllt, da die Divergenz eines Wirbelfeldes (hier: div rot A) stets null, das heißt das Feld quellenfrei ist.

Sollte es gelingen, einen Vektor A zu finden, der die Gleichung (1) erfüllt, so kann H einfach durch Berechnung von rot A, also durch Differentialoperationen, gefunden werden.

Aus der Gleichung (1) ergibt sich zunächst

$\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {H}}={\overrightarrow {j}}=\operatorname {rot} \,\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {A\,.}}$

Nach einem Gesetz der Vektoranalysis ist

$\operatorname {rot} \,\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {A}}=-\Delta {\overrightarrow {A}}+\operatorname {grad} \,\operatorname {div} \,{\overrightarrow {A\,,}}$

wobei Δ der LAPLACE-Operator ist (siehe unten). Demnach muss sein

$\operatorname {rot} \,\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {A}}=-\Delta {\overrightarrow {A}}+\operatorname {grad} \,\operatorname {div} \,{\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {j}}\,.\quad \;\;(3)$

Diese Gleichung vereinfachte sich erheblich, wenn der gesuchte Vektor A zusätzlich die Bedingung div A = 0 erfüllte, also ebenfalls quellenfrei wäre.

Nun kann dies ohne Beeinträchtigung der Allgemeingültigkeit immer angenommen werden. Denn aus jedem beliebigen Vektor V₀ kann ein quellenfreier Vektor V gewonnen werden, indem man zu V₀ einen geeigneten Vektor grad ψ addiert:

${\overrightarrow {V}}={\overrightarrow {V}}_{0}+\operatorname {grad} \,\psi \,.\quad \;\;(4)$

Anschaulich gesprochen läuft dies darauf hinaus, einen Vektor zu finden, der einerseits dieselben Quellen wie V₀ hat, nur mit entgegengesetzten Vorzeichen, und der andererseits wirbelfrei ist und daher bei der Summenbildung an rot V₀ nichts ändert. Die zweite Bedingung wird dadurch erfüllt, dass wir den gesuchten Vektor als Gradientenvektor angesetzt haben. Nun müssen wir noch zeigen, dass sich stets eine skalare Ortsfunktion ψ finden lässt, welche die erste Bedingung erfüllt. Aus (4) folgt

$\operatorname {div} \,{\overrightarrow {V}}=\operatorname {div} \,{\overrightarrow {V}}_{0}+\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\psi =0\,,$

und weiter

$\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\psi =-\operatorname {div} \,{\overrightarrow {V}}_{0}$

oder

$\operatorname {div} \,\left({{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\mathbf {i} }+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\mathbf {j} }+{\frac {\partial \psi }{\partial z}}{\mathbf {k} }}\right)=-\left({{\frac {\partial V_{0,x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{0,y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{0,z}}{\partial z}}}\right)$

oder

${\frac {\partial {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\frac {\partial \psi }{\partial y}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\frac {\partial \psi }{\partial z}}}{\partial z}}=-\left({{\frac {\partial V_{0,x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{0,y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{0,z}}{\partial z}}}\right).$

Sicher lässt sich stets eine skalare Ortsfunktion ψ angeben, welche dieser Differentialgleichung genügt, sodass unsere Forderung, der Vektor A sei quellenfrei, stets erfüllbar ist.

Dann erhalten wir aus (3) die vereinfachte Gleichung

$\Delta {\overrightarrow {A}}=-{\overrightarrow {j\,.}}$

Der LAPLACE-Operator Δ ist das Symbol für die Differentialoperation

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$

Dieser Operator ist uns von der Elektrostatik her bekannt; jetzt allerdings wird er auf einen Vektor angewendet. Das ergibt:

$\Delta {\overrightarrow {A}}=\Delta A_{x}{\overrightarrow {i}}+\Delta A_{y}{\overrightarrow {j}}+\Delta A_{z}{\overrightarrow {k}}={\overrightarrow {j}}\,.$

(Verwechslungen zwischen dem Einheitsvektor j und dem Vektor j der Stromdichte auf der rechten Seite können sicher als ausgeschlossen gelten.)

Für die einzelnen Komponenten gilt dann:

$\Delta A_{x}=j_{x},\quad \Delta A_{y}=j_{y},\quad \Delta A_{z}=j_{z}.$

Diese drei skalaren Gleichungen entsprechen – jede für sich – genau der aus der Elektrostatik bekannten Poissonschen Gleichung für das Potential des elektrischen Feldes. Daher werden die obigen Gleichungen als die Potentialgleichungen des magnetischen Feldes bezeichnet. Dementsprechend heißt der Vektor A das Vektorpotential des magnetischen Feldes.

Die Lösungen der drei skalaren Potentialgleichungen sind aus der Elektrostatik bekannt. Sie lauten:

$A_{x}=\int _{V}{{\frac {j_{x}}{4\pi r}}\operatorname {d} V},\quad \quad A_{y}=\int _{V}{{\frac {j_{y}}{4\pi r}}\operatorname {d} V},\quad \quad A_{z}=\int _{V}{{\frac {j_{z}}{4\pi r}}\operatorname {d} V}.$

Fasst man diese drei Gleichungen wieder zu einer Vektorgleichung zusammen, so ergibt sich die Gleichung des Vektorpotentials:

${\overrightarrow {A}}=\int _{V}{{\frac {\overrightarrow {j}}{4\pi r}}\operatorname {d} V}.$

Hieraus kann sofort das Feld eines geraden Leiters berechnet werden. In ihm hat der Vektor j die Richtung der Leiterachse. Legen wir die Linienelemente ds in diese Achse, so wird, wenn q der Leiterquerschnitt ist,

${\overrightarrow {j}}\,\operatorname {d} V={\frac {I}{q}}q\,\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}$

und

${\overrightarrow {A}}={\frac {I}{4\pi }}\int _{L}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}{r}}\,.$

Die nun zur Ermittlung von H folgende Berechnung der Rotation ist von der Integration über die Länge des Leiters unabhängig. Daher können Rotationsbildung und Integration in der Reihenfolge vertauscht werden:

${\overrightarrow {H}}=\operatorname {rot} \,{\frac {I}{4\pi }}\int _{L}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}{r}}=\int _{L}{\frac {I}{4\pi }}\operatorname {rot} \,{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}{r}}=\int _{L}{\frac {I}{4\pi }}\left({\operatorname {grad} \,{\frac {1}{r}}\times \operatorname {d} {\overrightarrow {s}}}\right)=\int _{L}{{\frac {I}{4\pi }}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}\times {\overrightarrow {r}}_{0}}{r^{2}}}}\,$

Dabei ist r₀ der Einheitsvektor in der Richtung vom Leiterelement ds zum Aufpunkt (= betrachteter Punkt) hin.

Diese Gleichung kann so interpretiert werden, dass jedes Leiterelement zum Feld den Beitrag

$\operatorname {d} {\overrightarrow {H}}={\frac {I}{4\pi }}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {s}}\times {\overrightarrow {r}}_{0}}{r^{2}}}$

liefert. Dies ist aber genau das Biot-Savart-Gesetz.

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