Astronomische Berechnungen für Amateure/ Positionsastronomie/ Räumliche Koordinatensysteme

Im Raum können wir auf zwei verschiedene Arten Koordinatensysteme einführen:

• Räumliche kartesische Koordinaten, indem wir einen festen Punkt O, den Ursprung des Koordinatensystems, und drei zueinander senkrecht stehende Richtungen ${\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}$wählen. Die drei Richtungsvektoren können ein rechts- oder ein linkshändiges System definieren. Dass die drei Richtungsvektoren senkrecht zueinander stehen und Länge 1 haben, ist eine praktische Forderung, die aber mathematisch nicht zwingend wäre. Wir zerlegen den Richtungsvektor vom Ursprung O zu einem Punkt P in seine Komponenten in Richtung der drei Koordinatenachsen und schreiben: ${\overrightarrow {OP}}\;=\;{\vec {r}}\;=\;r_{1}{\vec {e}}_{1}+r_{2}{\vec {e}}_{2}+r_{3}{\vec {e}}_{3}\;=\;X{\vec {e}}_{x}+Y{\vec {e}}_{y}+Z{\vec {e}}_{z}\;=\;[X,Y,Z]$. Ob die Achsen nummeriert werden oder mit den Indizes x, y oder z charakterisiert werden, spielt keine Rolle. Die Länge des Vektors – seinen Betrag – bezeichnen wir mit $r\;=\;\left|{\vec {r}}\right|$. Die Grössen r₁, r₂, r₃ bzw. X, Y, Z heissen die Komponenten des Vektors ${\vec {r}}$. Sie sind positiv, wenn sie in die gleiche Richtung weisen wie die Einheitsvektoren ${\vec {e}}_{i}$, sonst negativ.

• Räumliche Polarkoordinaten oder Kugelkoordinaten, indem wir einen festen Punkt O, den Ursprung des Koordinatensystems, und drei zueinander senkrecht stehende Richtungen ${\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}$ wählen. Wir beschreiben die Lage eines Punktes P im Raum mittels dreier Grössen: dem Abstand r vom Ursprung O des Koordinatensystems mit $r\;=\;\left|{\vec {r}}\right|\;=\;\left|{\overrightarrow {OP}}\right|$; dem Winkel λ zwischen der Richtung von ${\vec {e}}_{1}$ und der Projektion von ${\vec {r}}$ auf die Ebene, die von den Einheitsvektoren ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}$ aufgespannt wird; dem Winkel ϕ zwischen der Richtung von ${\vec {e}}_{3}$ und dem Vektor ${\vec {r}}$. Wahlweise – und in der Astronomie verbreitet – kann man statt ϕ auch den Winkel ${\tilde {\varphi }}\;=\;90^{\circ }-\varphi$ angeben. Es gilt: r ≥ 0 (r = 0 nur für den Ursprung; in diesem Fall sind λ und ϕ nicht definiert); 0 ≤ λ < 360° (bzw. 0 ≤ λ < 2π im Bogenmass) oder −180° < λ ≤ +180° mit positiver Zählung in mathematisch positiver Richtung von ${\vec {e}}_{1}$ aus, negativer Zählung in negativer Richtung: 0 ≤ ϕ ≤ 180° bzw. $-90^{\circ }\;\leq \;{\tilde {\varphi }}\;\leq \;+90^{\circ }$.

Beispiele:

Rechtwinklige Raumkoordinaten sind vor allem in der Himmelsmechanik sehr gebräuchlich. In der Regel steht die Sonne im Koordinatenursprung. Die x-Achse weist zum Frühlingspunkt; die y-Achse rechtwinklig dazu zum Sommerpunkt; die z-Achse zum nördlichen Ekliptikpol (heliozentrische, rechtwinklige Ekliptikkoordinaten). Bei der Behandlung des Erdkörpers als Rotationsellipsoid wurde darauf hingewiesen, dass gelegentlich für einen Punkt auf der Erde auch rechtwinklige, räumliche Koordinaten angegeben werden.

Räumliche Polarkoordinaten bzw. Kugelkoordinaten sind in der Astronomie bzw. Geografie sehr verbreitet. Die geografische Länge und Breite, die besprochen wurden, sind dafür ein Beispiel.

Unter einem rechtshändigen System ist folgendes gemeint: werden Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand so abgespreizt, dass sie jeweils gegeneinander einen rechten Winkel bilden, und lässt man dann den Daumen in die Richtung des Einheitsvektors ${\vec {e}}_{1}$, den Zeigefinger in Richtung von ${\vec {e}}_{2}$ zeigen, dann muss der Mittelfinger in Richtung von ${\vec {e}}_{3}$ zeigen. Zeigt er in die entgegen gesetzte Richtung, dann handelt es sich um ein linkshändiges System.

Die Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten mit gemeinsamem Ursprung und Einheitsvektoren ${\vec {e}}_{i}$ (i = 1, 2, 3) ist nicht schwierig. Sie gelingt mit den Mitteln der Trigonometrie. Dazu wird der Vektor ${\vec {r}}$ auf die drei Achsen projiziert. In einem rechtshändigen System ergibt dies:

$X\;=\;r\cdot \cos \lambda \cdot \sin \varphi \;=\;r\cdot \cos \lambda \cdot \cos {\tilde {\varphi }}$

$Y\;=\;r\cdot \sin \lambda \cdot \sin \varphi \;=\;r\cdot \sin \lambda \cdot \cos {\tilde {\varphi }}$

$Z\;=\;r\cdot \cos \varphi \;=\;r\cdot \sin {\tilde {\varphi }}$

Die umgekehrte Transformation gelingt ebenso einfach (benutzt man statt des Winkels ϕ den Winkel ${\tilde {\varphi }}$, dann muss in der letzten Gleichung die Funktion arccos durch die Funktion arcsin ersetzt werden):

$r\;=\;{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}$

$\lambda \;=\;\arctan \left({\frac {Y}{X}}\right)$

$\varphi \;=\;\arccos \left({\frac {Z}{\sqrt {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}}\right)$

Übung

• Die Sonne habe zu einem bestimmten Zeitpunkt die geozentrischen, ekliptikalen, kartesischen Koordinaten X_⊙ = +0.783 7432; Y_⊙ = +0.632 4494; Z_⊙ = −0.000 0007. Berechnen Sie daraus die geozentrische ekliptikale Länge λ, die ekliptikale Breite β (entspricht ${\tilde {\varphi }}$) und die Entfernung Δ von der Erde!

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