Analysis: Folgen und Reihen: Reihen: Arithmetische Reihen

Analysis Reihen

Eine Reihe, die aus $n$ beliebigen aufeinanderfolgenden Gliedern einer artihmetische Folge erzeugt wird, nennt man arithmetische Reihe oder endliche arithmetische Reihe. Unendliche arithmetische Reihen werden hier nicht behandelt, da sie keinen Grenzwert besitzen.

Definition

Die Formel zur arithmetischen Reihe erhält man durch Entwicklung der Summen mit Hilfe der gaußschen Summenformel. Sei $(a_{n})$ eine beliebige artihmetische Folge. Dann ist:

(1) $\sum _{i=1}^{n}{a_{1}+(i-1)\cdot d}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-1)d)$

(2) $\sum _{i=1}^{n}{a_{1}+(i-1)\cdot d}=(a_{1}+(n-1)d)+\cdots +(a_{1}+2d)+(a_{1}+d)+a_{1}$

(1)+(2) $\sum _{i=1}^{n}{a_{1}+(i-1)\cdot d}=2a_{1}+(n-1)d+2a_{1}+(n-1)d+\cdots +2a_{1}+(n-1)d$

Zuerst haben wir also die arithmetische Reihe von $1...n$ gebildet (1). Danach haben wir die Reihe in umgekehrter Reihenfolge erstellt (2) und anschließend addiert (1)+(2). Man sieht, dass es nun n gleiche Summanden gibt:

$n(2a_{1}+(n-1)d)$

Möchten wir nun den Wert einer Reihe wissen, müssen wir nur noch diesen Term durch 2 teilen, da wir vorher die Reihe mit sich selbst addiert haben (1)+(2). Dadurch erhalten wir die beiden äquivalenten Formeln zur Berechnung arithmetischer Reihen:

$\sum _{i=1}^{n}a_{n}={\frac {n}{2}}\cdot (2a_{1}+(n-1)d)$ oder

$\sum _{i=1}^{n}a_{n}={\frac {n}{2}}\cdot (a_{1}+a_{n})$

Besondere arithmetische Reihen

Summe der ersten n natürlichen Zahlen

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+7+\cdots +(2n-1)=n^{2}$

Summe der ersten n geraden natürlichen Zahlen

$\sum _{i=1}^{n}2i=2+4+6+8+\cdots +2n=n^{2}+n$

Beispiele

1. Berechnen Sie die 100. Partialsummen der einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1 und dem konstanten Summanden 1. ( 1+1=2)

$a_{1}=1,d=1,n=100,a_{n}=(a_{1}+(100-1)\cdot 1)=100$

$\sum _{i=1}^{100}a_{n}=50\cdot (1+100)=5050$