Analysis: Folgen und Reihen: Reihen

Analysis

Reihen

Der Begriff der Reihe ist ein weiterer wichtiger Begriff der Analysis, der direkt auf den Begriff der Folge aufbaut. Um diesen Begriff zu verstehen ist es notwendig, dass wir uns erstmal einen anderen Begriff anschauen, den der Partialsumme.

Die Partialsumme

Nehmen wir die Folge $a_{n}=n^{2}$. Diese besitzt die Folgeglieder: $0,1,4,9,16,25,36\cdots$. Die Partialsumme $s_{n}$ unserer Folge $a_{n}$ ist die Summe der ersten $n$ Folgeglieder unserer Folge $a_{n}$. So ist zum Beispiel:

$s_{0}=a_{0}=0$

$s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}=0+1+4=5$

$s_{6}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=0+1+4+9+16+25+36=91$

Allgemein ist die Partialsumme $s_{n}$ einer Folge $a_{n}$ (hier ist $a_{n}$ eine beliebige Folge, also nicht die Folge in unserem obigen Beispiel) die Summe der ersten $n$ Folgeglieder von der Folge $a_{n}$. Oder um es ganz kurz in mathematisch auszudrücken:

$s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

Damit bildet $(s_{n})$ wieder eine Folge, nämlich die Folge der Partialsummen einer irgendwie gegebenen Folge $(a_{n})$. In unserem obigen Beispiel mit $a_{n}=n^{2}$ würde wir folgende Folge der Partialsummen erhalten:

$s_{0}=a_{0}=0$

$s_{1}=a_{0}+a_{1}=1$

$s_{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}=5$

$s_{3}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=14$

$\cdots$

Die Reihe

Da wir nun den Begriff der Partialsumme und insbesondere den Begriff der Folge der Partialsummen kennen, können wir uns den Begriff der Reihe anschauen: Hier müssen wir zwischen den Begriff der so genannten endlichen und unendlichen Reihe unterscheiden:

Die endliche Reihe

Mit dem Begriff der endlichen Reihe können wir es uns einfach machen . Der Begriff der endlichen Reihe meint genau das, was wir oben im Begriff der Partialsumme definiert haben:

Die endliche Reihe einer Folge $(a_{n})$ ist die endliche Summe von $n\in \mathbb {N}$ ersten Folgeglieder der Folge $(a_{n})$ (Das $n$ in dieser Definition ist eine nicht näher spezifizierte natürliche Zahl).

Die unendliche Reihe

Die unendliche Reihe einer Folge $(a_{n})$ meint im Gegensatz zum Begriff der endlichen Reihe bzw. der Partialsumme nicht eine endliche Summe von Folgegliedern (sprich eine Summe einer bestimmten Anzahl von Folgeglieder), sondern die unendliche Summe aller Folgeglieder (wichtig ist hier, dass du für die unendliche Reihe alle Folgeglieder miteinander addierst).

In der Mathematik schreibt man, wenn man die unendliche Reihe einer Folge $(a_{n})$ darstellen möchte, $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$ (hier meint $a_{i}$ das $i$-te Folgeglied und das $\infty$ über dem Summenzeichen steht genau dafür, dass alle Folgeglieder summiert werden).

TODO

Weiterhin kann man noch endliche und unendliche Reihen $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots$ unterscheiden, wobei unendliche arithmetische Reihen weniger interessant sind, da sie nicht konvergieren.

Geometrische Reihen dagegen können durchaus einen Grenzwert besitzen. Mehr dazu aber im Abschnitt Konvergenz.

Definition

Sei $(a_{n})$ eine beliebige Folge. Dann nennt man die Summen:

1. $\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$   endliche Reihe,
2. $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   unendliche Reihe.

Eine endliche Teilsumme einer unendlichen Reihe wird als $n$-te Teilsumme oder $n$-te Partialsumme dieser Reihe bezeichnet.