Analysis: Folgen und Reihen: Konvergenz

Analysis

Der Grenzwert einer FolgeBearbeiten

Ein BeispielBearbeiten

Um den Begriff des Grenzwerts einer Folge zu verstehen, betrachten wir zunächst ein Beispiel. Schauen wir uns mal die so genannte harmonische Folge   an. Sie besitzt die Folgenglieder:

 

Hier das Diagramm mit den ersten 10 Folgengliedern:

Man erkennt, dass die Folgenglieder immer kleiner werden (diese Folge fällt streng monoton). Jedoch sind alle Folgenglieder größer als 0. Umgangsprachlich ausgedrückt, können wir sagen, dass die Folge "unendlich nah" an 0 geht, diese jedoch nie erreicht. Um mit dieser Eigenschaft von Folgen umgehen zu können und in der Mathematik arbeiten zu können, ist es notwendig, den Begriff der "unendlich an einen bestimmten Wert strebenden Folge" zu formalisieren. Hierfür wurde der Begriff der Konvergenz bzw. des Grenzwerts einer Folge definiert.

Um den Grenzwert einer Folge zu definieren, geht die Mathematik folgendermaßen vor: Eine Folge besitzt genau dann einen Grenzwert, wenn, egal welchen Abstand wir uns ausdenken, es einen Punkt in der Folge gibt, ab dem der Abstand der Folgenglieder zu diesem Grenzwert kleiner ist als unser ausgedachter Abstand. Dies bedeutet, dass eine Folge genau dann einen Grenzwert besitzt, wenn die Folgenglieder irgendwann beliebig nahe an diesem Grenzwert liegen. Wenn eine Folge einen Grenzwert   besitzt, drückt dies ein Mathematiker auch dadurch aus, indem er sagt, die Folge konvergiert gegen  .

Schauen wir uns mal an, was dies für unsere harmonische Folge bedeutet. Denken wir uns einen beliebigen Abstand   aus, welcher größer als 0 ist (hier ist das berüchtigte  , das du wahrscheinlich schon kennen wirst ^^). Beachte, dass die Formulierung "wir denken uns ein beliebiges   größer 0 aus..." gleichbedeutend ist mit "für alle   größer 0 gilt...", da wir uns jedes   größer 0 hätten ausdenken können (die folgenden Überlegungen sind nicht auf ein bestimmtes   festgelegt!). Sei z. B.  , dann ist der Abstand des Folgeglieds   zur Zahl 0 ab dem Folgenindex   kleiner als   (ab dem Folgenindex 3 besitzt die harmonische Folge die Folgenglieder  , deren Abstand zu 0 stets kleiner als unser gewähltes   ist). Für   ist der Abstand von   ab   und für   ist der Abstand von   ab   zur Zahl 0 kleiner als das jeweils gewählte  . Allgemein gilt für jedes von uns gewählte  , dass wir eine Stelle in der Zahlenfolge   finden, ab der der Abstand von   kleiner als   ist (der Index dieser Stelle ist im übrigen die erste natürliche Zahl, die größer ist als  ). Dementsprechend ist der Grenzwert der harmonischen Folge gleich 0 bzw. die harmonische Folge konvergiert gegen 0.

Wenn wir nun diese von uns formulierte Definition in die Sprache der Mathematik übersetzen, erhalten wir die Definition des Grenzwertes, wie du ihn sicherlich schon aus vielen Lehrbüchern kennst bzw. ihn kennen lernen wirst:

Formale DefinitionBearbeiten

Zunächst schauen wir uns die formale Definition des Grenzwerts an:

Eine Folge   konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert  , wenn es zu jedem   mit   ein   gibt, so dass für alle natürlichen Zahlen   gilt, dass   ist. Oder in symbolische Schreibweise:

 

Falls du ein Problem mit dem Verständnis dieser Definition haben solltest (dafür bist du ja auf dieser Seite ^^), hier dieselbe Defintion mit einigen in Klammern gesetzten Anmerkungen:

Eine Folge   konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert  , wenn es zu jedem   (  ist der in unserer obigen Definition ausgedachte, beliebige Abstand) mit   (um die beliebige Nähe zu definieren, muss der Abstand   positiv sein) ein   gibt (  ist die Stelle nach unserer obigen Definition, ab der die Folge einen kleineren Abstand zum Grenzwert hat als  ), so dass für alle natürlichen Zahlen   gilt (  bezeichnet hier alle Folgenindizies ab dem Folgenindex  ), dass   ist (  ist der Abstand des Folgenglieds   zum Grenzwert  ; dieser Abstand soll ja für alle Folgenglieder ab dem Folgenglied   kleiner sein als jeder beliebige Abstand  ).