Satz (Maximal-Markov-Ungleichung für nichtnegative Submartingale mit diskreter Zeit):
Es sei
ein nichtnegatives Submartingal, und
eine nichtnegative, monoton wachsende und konvexe Funktion. Dann gilt für
.
Beweis: Definiere für
die Menge
.
Dann gilt
.
Deshalb gilt
.
Außerdem ist
ein Submartingal, denn gemäß der Jensenschen Ungleichung für konditionelle Erwartungswerte und der Monotonie von
gilt für jedes
.
Daher gilt für
,
und Summieren über
schließt den Beweis ab.
Proposition (Absolutbetrag eines Martingales ist ein Submartingal):
Es sei
ein Martingal. Dann ist
ein Submartingal.
Beweis: Dies ist eine ziemlich unmittelbare Konsequenz der Jensen-Ungleichung für den konditionellen Erwartungswert.
Satz (Kolmogorov-Ungleichung):
Es sei
eine Familie unabhängiger Zufallsvariablen mit Erwartungswert null, deren erste und zweite Momente endlich sind. Ferner sei
. Dann gilt
.
Beweis: Da
ein Martingal ist, ist
ein Submartingal. Ferner ist
auf
monoton wachsend. Daher ist die entsprechende Maximal-Markov-Ungleichung anwendbar, und die Behauptung folgt aus der Bienaymé-Gleichung
![{\displaystyle \operatorname {Var} (S_{n})=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} (x_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31acd17477b7450bada7b2170879899c850ffa46)
für unabhängige Zufallsvariablen.