Wahrscheinlichkeitstheorie/ Ungleichungen

Satz (Maximal-Markov-Ungleichung für nichtnegative Submartingale mit diskreter Zeit):

Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein nichtnegatives Submartingal, und $\phi :[0,\infty )\to [0,\infty )$ eine nichtnegative, monoton wachsende und konvexe Funktion. Dann gilt für $c>0$

$\mathbb {P} \left(\max _{k\in \{1,\ldots ,n\}}X_{k}\geq c\right)\leq {\frac {\mathbb {E} [\phi (X_{n})]}{\phi (c)}}$.

Beweis: Definiere für $k\in \{1,\ldots ,n\}$ die Menge

$F_{k}:=\{X_{k}\geq c\}\cap \{\forall j<k:X_{j}<c\}$.

Dann gilt

$\bigsqcup _{k=1}^{n}F_{k}=F:=\left\{\max _{k\in \{1,\ldots ,n\}}X_{k}\geq c\right\}$.

Deshalb gilt

$\mathbb {P} (F)=\sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (F_{k})$.

Außerdem ist $\phi (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein Submartingal, denn gemäß der Jensenschen Ungleichung für konditionelle Erwartungswerte und der Monotonie von $\phi$ gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$

$\mathbb {E} [\phi (X_{n})|{\mathcal {F}}_{n-1}]\geq \phi (\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1}])\geq \phi (X_{n-1})$.

Daher gilt für $k\in \{1,\ldots ,n\}$

$\phi (c)\mathbb {P} (F_{k})\leq \mathbb {E} [\phi (X_{k})\mathbf {1} _{F_{k}}]\leq \mathbb {E} [\phi (X_{n})\mathbf {1} _{F_{k}}]$,

und Summieren über $k$ schließt den Beweis ab. $\Box$

Proposition (Absolutbetrag eines Martingales ist ein Submartingal):

Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein Martingal. Dann ist $(|X_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }$ ein Submartingal.

Beweis: Dies ist eine ziemlich unmittelbare Konsequenz der Jensen-Ungleichung für den konditionellen Erwartungswert. $\Box$

Satz (Kolmogorov-Ungleichung):

Es sei $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Familie unabhängiger Zufallsvariablen mit Erwartungswert null, deren erste und zweite Momente endlich sind. Ferner sei $S_{n}:=X_{1}+\cdots +X_{n}$. Dann gilt

$\mathbb {P} \left(|S_{n}|\geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} (x_{k})$.

Beweis: Da $S_{n}$ ein Martingal ist, ist $|S_{n}|$ ein Submartingal. Ferner ist $\phi (x)=x^{2}$ auf $[0,\infty )$ monoton wachsend. Daher ist die entsprechende Maximal-Markov-Ungleichung anwendbar, und die Behauptung folgt aus der Bienaymé-Gleichung

$\operatorname {Var} (S_{n})=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} (x_{k})$

für unabhängige Zufallsvariablen. $\Box$