Wahrscheinlichkeitstheorie/ Ungleichungen

Satz (Maximal-Markov-Ungleichung für nichtnegative Submartingale mit diskreter Zeit):

Es sei ein nichtnegatives Submartingal, und eine nichtnegative, monoton wachsende und konvexe Funktion. Dann gilt für

.

Beweis: Definiere für die Menge

.

Dann gilt

.

Deshalb gilt

.

Außerdem ist ein Submartingal, denn gemäß der Jensenschen Ungleichung für konditionelle Erwartungswerte und der Monotonie von gilt für jedes

.

Daher gilt für

,

und Summieren über schließt den Beweis ab.

Proposition (Absolutbetrag eines Martingales ist ein Submartingal):

Es sei ein Martingal. Dann ist ein Submartingal.

Beweis: Dies ist eine ziemlich unmittelbare Konsequenz der Jensen-Ungleichung für den konditionellen Erwartungswert.

Satz (Kolmogorov-Ungleichung):

Es sei eine Familie unabhängiger Zufallsvariablen mit Erwartungswert null, deren erste und zweite Momente endlich sind. Ferner sei . Dann gilt

.

Beweis: Da ein Martingal ist, ist ein Submartingal. Ferner ist auf monoton wachsend. Daher ist die entsprechende Maximal-Markov-Ungleichung anwendbar, und die Behauptung folgt aus der Bienaymé-Gleichung

für unabhängige Zufallsvariablen.