Wahrscheinlichkeitstheorie/ Konditionelle Erwartungswerte

Satz (Jensensche Ungleichung für konditionelle Erwartungswerte):

Es sei eine konvexe messbare Funktion, eine Zufallsvariable und eine σ-Algebra. Dann gilt

.

Beweis: Da konvex ist, verschwindet das Subdifferential an der Stelle nicht. Daher existiert ein , sodass

.

Nun nehmen wir auf beiden Seiten den Erwartungswert bezüglich , und verwenden, dass auch -messbar ist.