Beweis:
. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Beweis: Der Zähler auf der rechten Seite beträgt
, wie man sieht, wenn man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit einsetzt. Selbiges verwandelt den Nenner in
. ![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Satz (Kovarianz ist bilinear):
Es seien
drei Zufallsvariablen und
. Dann gilt
und
.
Beweis: Wegen der Symmetrie der Kovarianz genügt es, die Linearität des ersten Argumentes zu beweisen. Es sei
der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Satz (Bienaymé-Gleichung):
Es seien
paarweise unkorellierte Zufallsvariablen. Dann gilt
.
Beweis: Dies folgt aus der Bilinearität der Kovarianz und der paarweisen Unkorelliertheit der Zufallsvariablen
; man muss nur den Ausdruck
![{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})=\operatorname {Cov} (X_{1}+\cdots +X_{n},X_{1}+\cdots +X_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c325e18ef5d8239d2173aff603f7a03430159c)
expandieren.