Wahrscheinlichkeitstheorie/ 0-1-Gesetze

Satz (Borel‒Cantelli):

Es seien $A_{1},\ldots ,A_{n},\ldots$ eine abzählbare Menge von Elementen aus ${\mathcal {F}}$, einer σ-Algebra für den Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega$ mit Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$. Falls

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty$,

so gilt

$\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0$.

Beweis: Es sei $\epsilon >0$ beliebig, aber fest. Wegen der Konvergenz der obigen Summe gibt es ein $n_{0}\in \mathbb {N}$ mit

$\sum _{n_{0}}^{\infty }\mu (A_{n})<\epsilon$.

Allerdings gilt

$\mu \left(\bigcup _{n\geq n_{0}}A_{n}\right)\leq \sum _{n_{0}}^{\infty }\mu (A_{n})$

sowie

$\limsup _{n\to \infty }A_{n}\subseteq \bigcup _{n\geq n_{0}}A_{n}$.

Weil $\epsilon$ beliebig klein gewählt werden kann, beweist dies gemäß der Monotonie des Maßes die Behauptung. $\Box$