Statistik: Prüfung des Zusammenhangs zweier Merkmale

Stochastische Unabhängigkeit

Die Beobachtungen zweier Merkmale X und Y liegen als gemeinsame klassierte Häufigkeitsverteilung vor mit n und m Kategorien und den dazugehörigen gemeinsamen Häufigkeiten n_ij (i = 1, …,n; j = 1, …,m) vor. Zur Prüfung der Hypothese H₀: „X und Y sind stochastisch unabhängig“ verwendet man die Prüfgröße

$\chi ^{2}=\sum _{i}\sum _{j}{\frac {(n_{ij}-{\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}})^{2}}{\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}}}$

Es soll jedes ${\frac {n_{i.}n_{.j}}{n}}\geq 5$ sein. Falls diese Forderung nicht gegeben ist, müssen so viele Zeilen und/oder Spalten zusammengefasst werden, bis die Vorgabe erfüllt ist.

Die Hypothese, dass X und Y stochastisch unabhängig sind, wird abgelehnt, wenn χ² > χ²(1 - α; (m – 1)(n - 1)) ist, als (1-α)-Quantil der χ²-Verteilung mit (m-1)(n-1) Freiheitsgraden.

Bemerkung: Dieser Test kann auch für die Prüfung der stochastischen Unabhängigkeit zweier Ereignisse verwendet werden. Man spricht hier von einem Vierfelder-Test.

Korrelation

Normalverteilung beider Merkmale

Die Merkmale X und Y sind normalverteilt. Es wird die spezielle Nullhypothese H₀: ρ_xy = 0 geprüft. Man schätzt den Korrelationskoeffizienten ρ mit dem Korrelationskoeffizienten r nach Bravais-Pearson und verwendet die Prüfgröße

$t={\frac {r}{\sqrt {\frac {1-r^{2}}{n-2}}}}$

H₀: ρ_xy = 0 wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 2) oder t > t(1-α/2; n - 2) ist.

Wird H₀ abgelehnt, geht man davon aus, dass X und Y korreliert sind. Sie sind dann auch stochastisch abhängig, so dass dieser Test im Ablehnungsfall auch die stochastische Unabhängigkeit erfasst. Bei Nichtablehnung können die Merkmale trotzdem abhängig sein, denn der Korrelationskoeffizient misst bekanntlich nur die lineare Abhängigkeit.

Wird H₀: ρ_xy = ρ₀ ≠ 0 geprüft, hat r eine sog. nichtzentrale Verteilung, die nicht mehr ohne weiteres berechnet werden kann und nur noch näherungsweise mit der sog. Fisherschen Transformation angebbar ist.

Unbekannte Verteilung beider Merkmale

Die Merkmale X und Y sind beliebig verteilt. Es wird die spezielle Nullhypothese H₀: ρ_xy = 0 geprüft. Man schätzt den Korrelationskoeffizienten ρ mit dem Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman-Pearson r_SP.

Für n > 10 verwendet man die Prüfgröße

$t={\frac {r_{SP}}{\sqrt {\frac {1-r_{SP}^{2}}{n-2}}}}$

H₀: ρ_xy = 0 wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 2) oder t > t(1-α/2; n - 2) ist.

Parameter der linearen Regression

Ausgegangen wird von der unbekannten Regressionsgeraden

$y=\alpha +\beta x+u$

und der Schätzung

$y=a+bx+d$.

Die Störgröße u ist normalverteilt:

$u\to N(0;\sigma ^{2}).$

Die Varianz der Störgröße σ² wird geschätzt mit

$s^{2}={\frac {1}{n-2}}\sum _{i}(d_{i}-{\bar {d}})^{2}={\frac {1}{n-2}}\sum _{i}d_{i}^{2}$

Es ist auch

$\sum _{i}d_{i}^{2}=(1-r^{2})\cdot \sum _{i}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}$

Steigungskoeffizent β

β wird geschätzt durch b. Unter H₀ ist $b\to N(\beta ;{\frac {\sigma ^{2}}{\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})$.

Verwendet wird die Prüfgröße

$t={\frac {b-\beta _{0}}{\frac {s}{{\sqrt {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})}}^{2}}}}$

die unter H₀ t-verteilt ist mit n-2 Freiheitsgraden.

• H₀: β = β₀ wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 2) oder t > t(1-α/2; n - 2) ist.
• H₀: β ≤ β₀ wird abgelehnt, falls t > t(1-α/2; n - 2) ist.
• H₀: β ≥ β₀ wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 2) ist.

In der Praxis wird meistens H₀: β = 0 getestet. Wird die Hypothese nicht abgelehnt, scheint x unerheblich für die Erklärung von y zu sein.

Absolutglied α

α wird geschätzt durch a. Unter H₀ ist

$a\to N(\alpha _{0};{\frac {\sigma ^{2}\cdot \sum _{i}x_{i}^{2}}{\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}})$

Für den Test verwendet man die Prüfgröße

$t={\frac {a-\alpha _{0}}{s}}{\sqrt {\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{\sum _{i}x_{i}^{2}}}}$,

die unter H₀ t-verteilt ist mit n-2 Freiheitsgraden.

• H₀: α = α₀ wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 2) oder t > t(1-α/2; n - 2) ist.
• H₀: α ≤ α₀ wird abgelehnt, falls t > t(1-α/2; n - 2) ist.
• H₀: α ≥ α₀ wird abgelehnt, falls t < - t(1-α/2; n - 2) ist.

In der Praxis wird meistens H₀: α = 0 getestet. Wird die Hypothese nicht abgelehnt, geht die wahre Regressionsgerade möglicherweise durch den Nullpunkt des Koordinatensystems.

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