Quadriviale Kuriositäten/ Stabdolche

In diesem Kapitel wird beschrieben, wie mit Hilfe von  Stabdolchen die obere Kulmination von Sonne und Mond auf dem südlichen Meridian vermessen und langfristig beobachtet werden kann. Mit solchen Beobachtungen können Sonnen- und Mondzyklen festgestellt und ermittelt werden, insbesondere der drakonitische Mondzyklus mit den Mondwenden und das tropische Sonnenjahr mit seinen Wendepunkten und Äquinoktien.

Ein bronzener Stabdolch aus Mierzeszyn im archäologischen Museum in Danzig.

→ Siehe auch Mondzyklen.

Einführung

Der Kopf eines Stabdolches in der Galerie Bronzezeitliches Europa des Neuen Museums in Berlin.

Bei zahlreichen archäologischen Ausgrabungen vor allem in Irland, Mitteleuropa und Spanien wurden mittlerweile mehrere hundert Stabdolche aus der frühen Bronzezeit bis hin zur Eisenzeit gefunden. Meistens sind die Dolchklingen aus Bronze und die Schäfte aus Holz hergestellt worden. Viele Exemplare zeichnen sich durch zahlreiche Verzierungen aus, dies umfasst zum Beispiel Rillen oder Nieten an den Dolchklingen, aber auch Markierungen, Kappen und Spitzen an den Holzschäften.

Die Dolchklingen sind meistens nicht aus massivem Metall, sondern als Hohlkörper gegossen und anschließend zusammengefügt wurden. Zudem weisen diese Modelle keine scharfen Kanten und keine scharfen Spitzen auf, und deswegen in diesen Fällen ist davon auszugehen, dass sie nicht als Waffen eingesetzt werden sollten.

Bei den Hortfunden von Dieskau in Sachsen-Anhalt, der der frühbronzezeitlichen Aunjetitzer Kultur von 2200 bis 1550 vor Christus zugeordnet werden konnte, wurden zum Beispiel nur vergleichsweise wenige Stabdolche im Kontext mit hunderten von massiven Beilköpfen gefunden, so dass es auch deswegen naheliegend ist, dass sie weniger zum Kämpfen, sondern eher als Statussymbol Verwendung fanden.

Häufig wurden sie rituell zerstört und als Grabbeilage verwendet. Auffällig ist ferner, dass bei einigen Fundstellen zwei sorgfältig angeordnete Stabdolche regelrecht als Zwillingspaar bestattet wurden, wie zum Beispiel bei den beiden mit den Spitzen zueinander niedergelegten Schmöckwitzer Stabdolchen aus dem ersten Viertel des zweiten vorchristlichen Jahrtausends, die 1876 bei Feldarbeiten im Südosten Berlins gefunden wurden..

Schließlich ist festzuhalten, dass die Dolchklinge in der Regel senkrecht zur Längsachse des Holzschaftes angeordnet ist. Manchmal befindet sich am oberen Ende des Schaftes eine abgeplattete Kappe aus Bronze, die ebenfalls keinerlei Funktion für den Einsatz als Waffe hätte, aber zum Einschlagen oder Eindrücken eines am unteren Ende mit einer Spitze versehenen Schaftes in das Erdreich dienen konnten. Der Stabdolch kann beispielsweise mit einem einfachen Schnurlot senkrecht zur Horizontalebene ausgerichtet werden, so dass der Schaft senkrecht steht und in Richtung Zenit zeigt.

Bei einer umfassenden Analyse sollte auch berücksichtigt werden, dass viele Stabdolche am Schaft mit Markierungen versehen waren, die keineswegs immer äquidistant ausgeführt waren. Dies könnte darauf hinweisen, dass die Schäfte für die Ablesung von nichtlinearen Messgrößen verwendet worden sein könnten, wie sie in Form von variierenden Schattenlängen bei der langfristigen Kalenderbeobachtung auftreten. Hierbei ist zu beachten, dass die heutigen Schäfte unter Umständen nur rekonstruiert oder gar nachgeahmt wurden, weil die originalen Holzschäfte gar nicht oder nur in schlechtem Zustand erhalten sind.

Es bleibt festzustellen, dass Stabdolche auch für langfristig angelegte astronomische Beobachtungsreihen an Sonne und Mond eingesetzt werden können, was im Altertum sicherlich nur wenigen, entsprechend gebildeten und eingeweihten Experten vorbehalten war.

Astronomische Anwendung

Schattenlänge

Schattenlängen bei einem senkrecht aufgestellten Stabdolch (Bildmitte, schwarz) mit senkrecht dazu stehender und nach Süden zum Horizont ausgerichteter Dolchklinge bei verschiedenen jahreszeitlich auftretenden extremen Sonnen- und Mondständen bei deren oberer Kulmination auf dem Meridian. Die Darstellung entspricht einem Beobachtungsort mit 50 Bogengrad geographischer Breite.

Zunehmender Mond zum Herbst-Äquinoktium bei kleiner Mondwende mit flacher Ekliptik in Berlin mit fast senkrecht stehender Mondsichel (38% beleuchtet) im Sternbild Skorpion (Scorpius) kurz vor Sonnenuntergang. Visuelle Helligkeit -9 mag, südliche ekliptikale Breite = -5°, Höhe über dem südlichen Horizont = 9°, Mondalter 6,2 Tage.

Abnehmender Mond zum Herbst-Äquinoktium bei großer Mondwende mit steiler Ekliptik in Berlin mit fast liegender Mondsichel (4% beleuchtet) im Sternbild Jungfrau (Virgo) kurz vor Sonnenaufgang. Visuelle Helligkeit -6 mag, nördliche ekliptikale Breite = -3°, Höhe über dem südlichen Horizont = 17°, Mondalter 27,7 Tage.

Wird ein Stabdolch senkrecht aufgestellt, kann er mithilfe des Schattenwurfs der Dolchklinge auf den Dolchstab zur Beobachtung der oberen Kulmination von Sonne und Mond auf dem südlichen Meridian, zur Bestimmung der Südrichtung, der Sonnenwenden, der Tag-und-Nacht-Gleichen sowie der ekliptikalen Breiten des Mondes inklusive der großen und kleinen Mondwenden verwendet werden.

Die Höhe von Sonne und Mond über dem Horizont wird bei der oberen Kulmination Meridian am größten. Bei der Sonne ist dies jeden Tag am Mittag der Fall, auf der nördlichen Halbkugel immer auf dem südlichen Meridian. Beim Mond hängt dieser Zeitpunkt von der jeweiligen Mondphase ab. Der Neumond kulminiert immer gleichzeitig mit der Sonne, mit der er ja in Konjunktion steht, also mittags. Beim Vollmond erfolgt die obere Kulmination immer, während die Sonne bei der unteren Kulmination am weitesten unter dem Horizont steht, also um Mitternacht.

→ Siehe auch Konjunktionen.

Anmerkung: Bei der Abwesenheit von Sonnen- und Mondlicht, und sofern es keine Lichtverschmutzung gibt, kann auch die Venus im vollen Glanz einen sichtbaren Schatten werfen. Dies ist jedoch nicht auf dem Meridian beobachtbar, weil die Venus zu den geeigneten Zeitpunkten nur morgens über dem östlichen Horizont oder abends über dem westlichen Horizont gesehen werden kann.

Der Zusammenhang zwischen Dolchklingenlänge $d$, Höhenwinkel $\alpha$ und Schattenlänge $s$ (siehe Skizze rechts) ergibt sich aus dem Strahlensatz und mithilfe der trigonometrischen Funktion Tangens wie folgt:

$d$ = konstante Länge der Dolchklinge in horizontaler Richtung gemessen von der Dolchspitze bis zum Stab

$\alpha$ = Höhenwinkel von Mond oder Sonne gemessen vom Horizont in Richtung Zenit (respektive in Richtung Nadir)

$s=d\cdot \tan \alpha$ = Länge des Schattenwurfs in vertikaler Richtung gemessen von der Dolchklinge bis zum Schattenrand

Innerhalb des südlichen und nördlichen Wendekreises können die Horizonthöhen der Sonne 90 Bogengrad erreichen, und die Sonne steht dann genau im Zeit (die Zenitdistanz beträgt 0 Bogengard). Da der Mond die Sonnenhöhe sogar um gut 5 Bogengrad übersteigen kann, kann der Mond im Extremfall auch fünf Bogengrad nördlich des nördlichen Wendekreises beziehungsweise fünf Bogengrad südlich des südlichen Wendekreises in den Zenit gelangen.

Kulminiert die Sonne zwischen dem nördlichen Polarkreis und dem Nordpol beziehungsweise zwischen dem südlichen Polarkreis und dem Südpol auf dem Meridian, kann dies zur passenden Jahreszeit bei der Horizonthöhe null stattfinden, so dass die Schattenlänge auf dem Schaft des Stabdolches dann ebenfalls null beträgt. Auch hierbei kann der Mond im Extremfall auch noch fünf Bogengrad südlich des nördlichen Wendekreises beziehungsweise fünf Bogengrad nördlich des südlichen Wendekreises genau auf dem Horizont kulminieren.

Sind am Schaft eines Dolchstabs oder eines ähnlichen astronomischen Messinstruments Markierungen für die lokalen Extremwerte der Schattenlängen $s$ erhalten, kann aus dem Höhenwinkel auf dem Meridian $\alpha$ der zur Beobachtung gehörende geographische Breitengrad $\varphi$ bestimmt werden. Hierzu kann die Deklination $\delta$ verwendet werden, also die Höhe eines Himmelsobjektes über dem Himmelsäquator. Sie nimmt bei den folgenden Ereignissen die in den beiden folgenden Tabellen angegebenen Werte an, wobei $\varepsilon$ für die Schiefe der Ekliptikebene (heute 23,44 Bogengrad) und $i$ für die Bahnneigung (beziehungsweise für die Inklination) der Mondbahn zur Ekliptik steht (heute 5,145 Bogengrad):

Deklinationen der Sonne

Ereignis	Deklination der Sonne $\delta _{S}$
Wintersonnenwende	$-\varepsilon$
Tag-und-Nacht-Gleiche	0
Sommersonnenwende	$+\varepsilon$

Deklinationen des Mondes

Ereignis	Deklination des Mondes $\delta _{M}$
Kleinste Mondwende	$-(\varepsilon +i)$
Kleine Mondwende	$\delta _{S}-i$
Mond im Knoten	$\delta _{S}$
Große Mondwende	$\delta _{S}+i$
Größte Mondwende	$+(\varepsilon +i)$

Mit Hilfe der Deklination $\delta$ kann leicht der Zusammenhang zum geographischen Breitengrad $\varphi$ der Beobachtung und dem Höhenwinkel auf dem Meridian $\alpha$ hergestellt werden:

$\alpha =\arctan {\frac {s}{d}}=(90^{\circ }-\varphi )+\delta$

Daraus folgt unmittelbar:

$\varphi =90^{\circ }+\delta -\alpha =90^{\circ }+\delta -\arctan {\frac {s}{d}}$

Durch Einsetzen der entsprechenden Deklinationen können die folgenden Höhenwinkel für die Sonne und den Mond berechnet werden:

• Für die Sonne:
  • Höhenwinkel der Sonne: $\alpha _{S}=(90^{\circ }-\varphi )+\delta _{S}$
  • Maximaler Höhenwinkel der Sonne während der Sommersonnenwende: $\alpha _{S,max}=(90^{\circ }-\varphi )+\varepsilon$
  • Mittlerer Höhenwinkel der Sonne während der Tag-und-Nacht-Gleiche: $\alpha _{S,mit}=(90^{\circ }-\varphi )$
  • Minimaler Höhenwinkel der Sonne während der Wintersonnenwende: $\alpha _{S,min}=(90^{\circ }-\varphi )-\varepsilon$
• Für den Mond:
  • Höhenwinkel des Mondes: $\alpha _{M}=(90^{\circ }-\varphi )+\delta _{M}$
  • Höhenwinkel des Mondes während einer großen Mondwende: $\alpha _{M,g}=(90^{\circ }-\varphi )+\delta _{S}+i$
  • Höhenwinkel des Mondes in seinen Knoten: $\alpha _{M,Knoten}=(90^{\circ }-\varphi )+\delta _{S}$
  • Höhenwinkel des Mondes während einer kleinen Mondwende: $\alpha _{M,k}=(90^{\circ }-\varphi )+\delta _{S}-i$

Für die beiden extremen Höhenwinkel des Mondes gilt dann:

• Maximaler Höhenwinkel des Mondes während der nördlichsten großen Mondwende ("größte Mondwende"): $\alpha _{M,max}=\alpha _{S,max}+i=(90^{\circ }-\varphi )+\varepsilon +i$
• Minimaler Höhenwinkel des Mondes während der südlichsten kleinen Mondwende ("kleinste Mondwende"): $\alpha _{M,min}=\alpha _{S,min}-i=(90^{\circ }-\varphi )-\varepsilon -i$

Für eine nördliche geographische Breite von 50 Bogengrad beträgt der Höhenwinkel der Sonne während der Tag-und-Nacht-Gleiche beispielsweise $\alpha _{S,mit,50^{\circ }}=40^{\circ }$. Damit ergeben sich dann die folgenden Extrema für die Sonnen- und Mondhöhen:

• Für die Sonne:
  • Maximaler Höhenwinkel der Sonne während der Sommersonnenwende: $\alpha _{S,max,50^{\circ }}=63,44^{\circ }$
  • Minimaler Höhenwinkel der Sonne während der Wintersonnenwende: $\alpha _{S,min,50^{\circ }}=16,56^{\circ }$
• Für den Mond:
  • Maximaler Höhenwinkel des Mondes während der größten Mondwende: $\alpha _{M,max,50^{\circ }}=68,585^{\circ }$
  • Minimaler Höhenwinkel des Mondes während der kleinsten Mondwende: $\alpha _{M,min,50^{\circ }}=11,415^{\circ }$

→ Siehe auch Astronomische Bezugssysteme.

Unschärfe des Schattenrandes

Schattenlänge

Zur Unschärfe im Schattenwurf durch ein flächenhaftes leuchtendes Objekt.

Der auf eine Skala projizierte Schatten einer Kante ist geometrisch keine Linie. Schon allein durch die optische Beugung an einer Kante ergibt sich eine Beugungsunschärfe, die bei Dolchstäben allerdings so gering ausfällt, dass sie keine Rolle spielt. Denn dadurch, dass sowohl der Mond als auch die Sonne einen Winkeldurchmesser von zirka 30 Bogenminuten haben ergibt sich zwangsläufig ein Helligkeitsverlauf im Teilschattenbereich. Je mehr Licht der Mond- oder Sonnenscheibe auf den Schaft des Dolchstabes gelangt, desto heller leuchtet diese Stelle, so dass sich vom Schattenbereich ein kontinuierlich heller werdender Übergang ergibt (siehe Skizze rechts).

Die vertikale Ausdehnung des durch die Mondscheibe beziehungsweise durch die Sonnenscheibe verursachten Schattenübergangsbereiches auf dem vertikalen Schaft eines Stabdolches kann mit den folgenden Formeln ermittelt werden.

$d$ = Länge des Dolchklinge in horizontaler Richtung gemessen von der Dolchspitze bis zum Schattenwurf auf dem Stab

$\alpha$ = Höhenwinkel von Mond oder Sonne gemessen vom Horizont in Richtung Zenit

$\delta$ = halber Winkeldurchmesser des Mondes oder der Sonne in vertikaler Richtung (ungefähr ein Viertel Bogengrad)

$s_{o}=d\cdot \tan(\alpha -\delta )$ = Länge von der Unterkante der Dolchklinge bis zum dunklen Schattenrand in vertikaler Richtung gemessen

$s=d\cdot \tan(\alpha )$ = Länge von der Unterkante der Dolchklinge bis zur mittelhellen horizontalen Schattenlinie (50 Prozent) in vertikaler Richtung gemessen

$s_{u}=d\cdot \tan(\alpha +\delta )$ = Länge von der Unterkante der Dolchklinge bis zum hellen Schattenrand in vertikaler Richtung gemessen

$\Delta _{o}=s-s_{o}=d\cdot (\tan(\alpha )-\tan(\alpha -\delta ))$ = vertikale Länge des Übergangsbereichs vom dunklen Schattenrand bis zur mittelhellen Schattenlinie

$\Delta _{u}=s_{u}-s=d\cdot (\tan(\alpha +\delta )-\tan(\alpha ))$ = vertikale Länge des Übergangsbereichs von der mittelhellen Schattenlinie bis zum dunklen hellen Schattenrand

$\Delta =s_{u}-s_{o}=d\cdot (\tan(\alpha +\delta )-\tan(\alpha -\delta ))=d\cdot {\frac {\sin 2\delta }{\cos ^{2}\delta -\sin ^{2}\alpha }}$ = vertikale Länge des Übergangsbereichs vom dunklen Schattenrand bis zum dunklen hellen Schattenrand

Die Schattenhöhe $\Delta$ im Verhältnis zur Stabdolchlänge $d$ ergibt sich dann wie folgt:

${\frac {\Delta }{d}}={\frac {\sin 2\delta }{\cos ^{2}\delta -\sin ^{2}\alpha }}>\sin 2\delta$

Wegen des kleinen Winkeldurchmessers ($\delta \approx 0$) kann der Kosinus dieses Winkels in erster Näherung auf eins gesetzt werden:

${\frac {\Delta }{d}}\approx {\frac {\sin 2\delta }{1-\sin ^{2}\alpha }}={\frac {\sin 2\delta }{\cos ^{2}\alpha }}$

Die folgende Kurve gibt die Länge des Schattenübergangsbereiches im Verhältnis zur Länge des Stabdolches ${\frac {\Delta }{d}}$ in Abhängigkeit vom Höhenwinkel $\alpha$ an:

Die Länge des Schattenübergangsbereiches $\Delta$ im Verhältnis zur Länge der Stabdolchklinge $d$ in Abhängigkeit vom Höhenwinkel $\alpha$.

Bei kleinen Höhenwinkeln bis 20 Bogengrad ist der Schattenübergangsbereiches kleiner als ein Prozent der Länge der Stabdolchklinge. Bei Höhenwinkeln ab 73 Bogengrad ist der Schattenübergangsbereiches bereits größer als zehn Prozent der Länge der Stabdolchklinge, und die Ablesung am Schaft des Stabdolches wird entsprechend ungenau. Solche maximalen Höhenwinkel treten für die Sonne und den Mond in nördlichen geographischen Breiten jedoch nicht auf. Zudem sind die beiden Teilschattenbereiche ober- und unterhalb der Hauptachse des Schattenwurfs ungleich groß, und mit zunehmendem Höhenwinkel wird der untere Teilschattenbereich überproportional länger als der obere Teilschattenbereich. Aus diesem Grund kann nicht einfach der arithmetische Mittelwert der beiden Teilschattenränder oben und unten verwendet werden, um die Lage der Hauptachse des Schattenwurfs beziehungsweise die mittelhellen horizontalen Linie mit 50 Prozent Schatten zu bestimmen.

Die Tatsache, dass die meisten Stabdolche nördlich des 50. geographischen Breitengrads gefunden und vermutlich auch verwendet worden sind, wo die Schattenränder auch bei der Sommersonnenwende oder der größten Mondwende noch relativ genau abgelesen werden können, ist ein weiteres Indiz dafür, dass diese Stabdolche für astronomische Zwecke eingesetzt worden sein dürften. Für die südlicheren geographischen Breiten ist es praktikabler, einen einfachen senkrechten Stab zu verwenden, um dessen Schattenlänge in der Horizontebene zu vermessen.

Breite der Stabdolchspitze

Geometrische Verhältnisse beim Schattenwurf einer Kugel (orangefarben, Mitte), die durch ein flächenhaft leuchtendes Objekt (gelb, links) beleuchtet wird. Der Kernschatten erreicht die Projektionsfläche (rechts) nur, wenn der Durchmesser der Kugel $b$ hinreichend groß und der Abstand zwischen Kugel und Projektionsfläche $l$ hinreichend klein ist:
Oben: der Kernschatten erreicht die Messskala (rechts) nicht.
Mitte: die Schattenspitze erreicht die Messskala (rechts) gerade eben und erzeugt dort einen punktförmigen Kernschatten.
Unten: auf der Messskala (rechts) wird ein flächenhaft ausgedehnter Kernschatten erzeugt.

Eine weitere Bedingung für einen brauchbaren Schattenwurf während der Kulmination von Sonne oder Mond auf dem südlichen Meridian ist die ausreichende Breite der Stabdolchspitze $b$.

Hierzu kann aus der Länge der Stabdolchklinge $d$ und dem beobachteten Höhenwinkel $\alpha$ die Länge $l$ des Schattenzeigers von der Stabdolchspitze bis zum Schattenbereich auf der Projektionsfläche bestimmt werden:

$l={\frac {d}{\cos \alpha }}$

Ein Kernschattenbereich tritt nur dann auf, wenn der Kernschatten die Projektionsfläche erreicht. Dies ist der Fall, wenn die Breite der Stabdolchspitze $b$ die folgende Bedingung erfüllt:

$b>2\,l\tan \delta ={\frac {2\,d\tan \delta }{\cos \alpha }}$, wobei $\delta$ dem halben Winkeldurchmesser des Mondes oder der Sonne in horizontaler Richtung entspricht,

beziehungsweise

${\frac {b}{l}}>2\tan \delta \approx {\frac {1}{100}}=0,01$

oder

${\frac {b}{d}}>{\frac {2\,\tan \delta }{\cos \alpha }}$

Für einen Höhenwinkel $\alpha$ von 60 Bogengrad ergibt sich beispielsweise, dass das Verhältnis ${\frac {b}{d}}$ größer sein muss als 1,75 Prozent, um durch die Sonnen- oder die Mondscheibe einen Kernschatten auf den Schaft des Stabdolches zu projizieren. Bei einer Stabdolchlänge $d$ von 300 Millimetern muss die Stabdolchspitze demnach zum Beispiel eine Breite $b$ von über 5 Millimetern aufweisen.

Schlussfolgerungen

Mit den hier dargelegten und naheliegenden Annahmen wären die Stabdolche, die vor viertausend Jahren hergestellt wurden, nicht nur Statussymbole, sondern hätten bereits damals für die Bestimmung von kalendarischen Daten eingesetzt werden können. Dies wäre ein Beleg für die frühen und keineswegs trivialen astronomischen Kenntnisse der damaligen Nutzer.

Abschließend kann zu Stabdolchen das Folgende festgehalten werden:

• Sie dürften schon in der frühen Bronzezeit gebrauchstaugliche und nutzwertige Werkzeuge für die Astronomen gewesen sein.
• Sie können zur Bestimmung der Höhenwinkel von Sonne, Mond und Venus eingesetzt werden.
• Mit ihnen kann auf dem südlichen Meridian täglich das Auf- oder Absteigen unseres Mondes verfolgt werden.
• Anhand solcher Beobachtungen des Mondes ergibt sich langfristig der 18,61-jährige drakonitische Zyklus.
• Mit der Kenntnis solcher Zyklen können Sonnen- und Mondfinsternisse untersucht und vorhergesagt werden.

Weblinks

 Commons: Staff daggers – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien