Pseudoprimzahlen: Geschichte


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Geschichte der Pseudoprimzahl

Der französische Amateurmathematiker Pierre de Fermat schreibt Mersenne, dass wenn   eine Primzahl ist,   die Zahl   teilt. Fermat schrieb Mersenne auch, dass ein Beweis dieses Satzes zu lang wäre, als dass er ihm ihn zusenden könnte. Dieser Satz ist als kleiner fermatscher Satz bekannt geworden.

Sarrus findet mit der Zahl   ein Beispiel, dass es auch zusammengesetzte Zahlen gibt, die den kleinen fermatschen Satz erfüllen. Diese Zahl wird auch Sarrus-Zahl genannt, und ist die kleinste zusammengesetzte Zahl, die den kleinen fermatschen Satz zur Basis 2 erfüllt.

Mitte 19. Jahrhundert

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Der chinesische Mathematiker Li Shanlan (1811–1882) glaubte, für natürliche Zahlen  , dass wenn   durch   teilbar ist, dieses   eine Primzahl sein muss.[1] Ausmultipliziert erhält man die Formel  .

Der böhmische Mathematiker Václav Šimerka veröffentlicht in Zbytky z arithmetické posloupnosti die ersten 7 Carmichael-Zahlen (diese Bezeichnung wurde erst einige Jahre später vergeben); die Veröffentlichung blieb weitgehend unbekannt, nachfolgende Entdeckungen dieser Zahlen können also als unabhängig angesehen werden.

Der deutsche Mathematiker Alwin Reinhold Korselt stellt das nach ihm benannte korseltsche Kriterium auf:

  1. Es existieren ungerade, quadratfreie natürliche Zahlen  , so dass   für alle natürlichen Zahlen   ein Vielfaches von   ist
  2. Für alle Primteiler   von   gilt, dass   die Zahl   teilt.

Der Mathematiker Malo, und ein Jahr später der Mathematiker Cipolla finden jeweils einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen Pseudoprimzahlen.

Robert Daniel Carmichael findet mit 561 als erster eine Zahl, die dem korseltschen Kriterium genügt. Nach ihm werden Zahlen dieser Art Carmichael-Zahlen genannt. 561 ist die kleinste Carmichael-Zahl.

D.H Lehmer findet eine simple Methode, beliebig viele fermatsche Pseudoprimzahlen zu erzeugen:

Man nehme eine natürliche Zahl   mit  . Daraus ermittele man zwei natürliche Zahlen   und  , wobei   ein Primfaktor von   und   ein Primfaktor von   ist. Das Prdukt   ist eine fermatsche Pseudoprimzahl.

J.Chernik macht die Bemerkung, dass das Produkt   eine Carmichael-Zahl ist, wenn alle drei Faktoren Primzahlen sind.

N.G.W.H. Beeger führt den Begriff der Carmichael-Zahl ein. Ein Jahr später findet Beeger einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen geraden Pseudoprimzahlen.

Die Mathematiker Alford, Granville und Pomerance finden einen Beweis für die Existenz von unendlich vielen Carmichael-Zahlen.


  1. en:w:Chinese hypothesis#History