Physik in unserem Leben/ Auftriebskraft

Auftriebskraft im Wasser

Im Kapitel „Druck und Dichte“ haben wir schon über das Archimedische Prinzip gelesen. Wieso steigt ein Gegenstand, zum Beispiel eine Styroporkugel, im Wasser auf? Wir haben ja im Kapitel über Kräfte gelesen, dass ein Körper in der Richtung der Kraft beschleunigt wird. Aber die Gewichtskraft zieht die Styroporkugel nach unten. Es muss also eine Kraft geben, die größer als die Gewichtskraft sein sollte und Richtung nach oben hat, wenn die Styroporkugel im Wasser ist. Diese Kraft gibt es tatsächlich und sie heißt Auftriebskraft.

Probiere folgendes: Nimm eine Flasche voll mit Tomatensaft und tauche sie unter Wasser. Sie fühlt sich leichter an. Wieviel leichter fühlt sie sich aber dann an?

Um das zu beantworten, musst du erst was anderes beobachten. Nimm dir einen Topf mit Wasser (nicht ganz voll). Markiere mit einem Stift, wo der Wasserpegel ist. Tauche jetzt die Flasche ein. Der Wasserpegel ist jetzt höher. Wieviel höher aber? Genau so viel, wie das Volumen der Flasche. Markiere, wo der Wasserpegel ist, wenn die Flasche im Wasser ist. Wenn du den Tomatensaft der Flasche in den Topf ausleerst, wird der Wasserpegel fast diesen Punkt erreichen. Es wird also durch die Flasche genauso viel Wasser verdrängt, wie der Platz, den die Flasche einnimmt. (Jetzt, wo der Tomatensaft im Wasser ist, kannst du auch etwas kochen!)

Dieses Wasser, das verdrängt wird, hat ein bestimmtes Gewicht, das nicht das gleiche ist, wie das Gewicht der vollen Tomatensaft-Flasche. Die Auftriebskraft ist genau soviel, wie die Gewichtskraft des von der Flasche verdrängten Wassers. Was hat das mit den Ungleichungen im Abschnitt „Steigen, sinken, schweben“ zu tun? Schauen wir wieder die Ungleichungen an:

• Wenn $\rho _{\rm {K{\ddot {o}}rper}}=\rho _{\rm {Fluid}}$ ist, dann schwebt der Körper.

• Wenn $\rho _{\rm {K{\ddot {o}}rper}}<\rho _{\rm {Fluid}}$ ist, dann steigt der Körper.

• Wenn $\rho _{\rm {K{\ddot {o}}rper}}>\rho _{\rm {Fluid}}$ ist, dann sinkt der Körper.

(Fluid nennt man die Flüssigkeiten und die Gasen zusammen, es ist also ein Oberbegriff)

Wie gesagt, die Auftriebskraft ist genau so groß, wie die Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Lass uns sagen, dass die Flasche, die wir benutzt haben, 1 Liter Inhalt hat. Sie verdrängt also 1 Liter Wasser. Die Dichte des Wassers ist ca. 1000 kg/m³, also 1 Liter Wasser hat ungefähr 1 kg Masse, das heißt, die Gewichtskraft ist circa 10 N (Newton, siehe Kapitel über Kraft). Die Auftriebskraft ist also auch 10 N. Die (mittlere) Dichte der Tomatensaftflasche ist circa 1200 kg/m³, also 1 L Tomatensaftflasche hat ca. 1,2 kg Masse. Die Gewichtskraft ist also ca. 12 N. Die Gewichtskraft (Richtung nach unten) ist größer als die Auftriebskraft (Richtung nach oben), die Flasche wird also sinken (aber nicht so schnell, als wenn sie in der Luft fallen lassen würde).

Wie so entsteht aber die Auftriebskraft? Um das ein bisschen zu verstehen, muss du wieder das Kapitel Wasserdruck lesen. Der Wasserdruck ist von der Höhe der Wassersäule abhängig. Wenn ein Körper eingetaucht wird, ist selbstverständlich der Druck an der oberen Fläche kleiner als der an der unteren Fläche (einfach weil die untere Fläche tiefer ist, also es gibt mehr Wasser "von oben", das heißt die Wassersäule ist größer). So ist auch die Kraft, die unten ausgeübt wird (von unten nach oben) größer als die Kraft, die oben ausgeübt wird (von oben nach unten). Die Summe der Kräfte ist also nach oben gerichtet und es kann gezeigt werden, dass sie von Volumen des Körpers abhängig ist.

Frage

Die Dichte des Quecksilbers ist ca. 13000 kg/m³, die des Eisens circa 8000 kg/m³, die des Kupfers ca. 9000 kg/m³, die von Wolfram ca. 19000 kg/m³ (Wolfram ist ein Metall, aus dem z.B. die Fäden bei den Glühbirnen erzeugt werden). Was wird passieren, wenn wir ein Stück Eisen in Quecksilber eintauchen? Wird es schwimmen (also aufsteigen), schweben oder sinken? Was wird im Fall des Kupfers passieren und was im Fall des Wolframs?

Frage

Ich tauche 1 L Wolfram in Quecksilber ein. Wie groß ist die Masse des Wolframs und wie groß die des verdrängten Quecksilbers? Wie groß ist die Gewichtskraft und wie groß die Auftriebskraft (in N)?

U-Boot

Wir haben schon gesehen, dass ein Stück Eisen im Wasser sinkt. Ein U-Boot besteht aus Eisen. Wieso sinkt es dann nicht? Ja, du hast die Antwort schon geraten. Im U-Boot gibt es auch Luft. Die Luft ist dünner (hat eine kleinere Dichte) als Wasser. (Vorsicht: du musst dich immer daran erinnern, dass „leichter als Wasser“ keine ausreichende Beschreibung ist: wie wäre es, wenn du 1 kg, also ca. 800(!) Liter, Luft und 0,5 kg, also ca. 0,5 Liter, Wasser hättest? Die Luft wäre dann doch schwerer...). Die Frage hier wieder: warum sinkt das U-Boot nicht? Weil es auch Luft drinnen gibt.Die „mittlere“ Dichte also des U-Boots kann auch kleiner als die des Wassers sein.

Was bedeutet der Begriff „mittlere“ im Allgemeinen? Ein einfacher Fall ist zum Beispiel die mittlere Höhe von Menschen. Ein Basketballspieler ist 2,1 m hoch und ein Kind 1,1 m hoch. Also die mittlere Höhe ist (2,1+1,1)/2 = 3,2/2 = 1,6 m. Also mittlere heißt ungefähr: wenn wir das Kind auf den Basketballspieler stellten (oder umgekehrt, aber das wäre für das Kind etwas schwer, oder?!), hätten wir zusammen 3,2 m Höhe. Wenn wir jetzt die 2 Menschen durch zwei (also die gleiche Menge von) anderen Menschen ersetzen, die aber jetzt gleich hoch wären, dann wären diese Menschen jeweils 1,6 m hoch. Das gleiche gilt für „mittlere“, wenn wir mehrere Menschen haben. Zum Beispiel haben wir 4 Menschen, 1,2 m, 1,4 m,1,9 m und 1,9 m hoch (es kann ja sein, dass 2 davon gleich hoch sind!). Insgesamt 1,2+1,4+1,9+1,9= 6,4 m. Wenn wir jetzt die gleiche Anzahl von Menschen hätten (also 4) und alle gleich hoch wären, dann sollte jeder 6,4/4= 1,6 m hoch sein und 1,6 wäre die mittlere Höhe. Das kann für jede Eigenschaft (Höhe, Gewicht, Abstand, Volumen und so weiter) von irgendeiner Gruppe von Objekten (Menschen, Kartoffeln, Autos, Bäume, ja irgendwas) so berechnet werden. Also

$Mittelwert={\frac {Summe\cdot der\cdot Werte}{Anzahl\cdot der\cdot Objekte}}$

Für die mittlere Dichte stimmt diese Formel nicht so genau (siehe Ergänzung 1 am Ende), wichtig ist aber, dass du verstehst, was im Allgemeinen Mittelwert heißt.

Wie funktioniert es aber, dass das U-Boot mal sinkt, mal schwebt und mal wieder steigt? Darüber haben die Erfinder schon nachgedacht und eine Lösung gefunden. Es gibt im U-Boot Tanks, die man durch Pumpen mal mit (Meer-) Wasser, mal mit Luft füllen kann. So ändert sich die mittlere Dichte im U-Boot. Wenn es mehr Wasser drinnen gibt, dann ist die mittlere Dichte größer, wenn mehr Luft dann kleiner. Man regelt die Menge des Wassers so, dass die mittlere Dichte kleiner (also mehr Luft in den Tanks) als die des Meerwassers ist, wenn man steigen will, gleich groß, wenn man schweben will und größer, wenn man sinken will.

Frage

Wie regelt man, ob ein U-Boot sinkt, schwebt oder steigt?

Frage

Welche Regeln beschreiben das Phänomen (siehe wieder den Abschnitt „steigen, sinken, schweben“ in „Druck und Dichte“)?

Schiff

Das gleiche Prinzip wie bei U-Boot gilt für die Schiffe. Es ist nicht so, dass die ganze Luft, die innerhalb des Schiffsrumpfs eingeschlossen ist, unter dem Wasserspiegel liegt (wie beim U-Boot), ein Großteil davon aber schon. Du hast vielleicht auch selber schon gemerkt, dass je mehr Leute auf ein Boot steigen, desto tiefer liegt das Boot im Wasser (hoffentlich ohne zu sinken). Wenn zu viele Menschen einsteigen, dann haben sie Pech gehabt, die mittlere Dichte ist sehr hoch und das Boot sinkt. Das gleiche passiert, wenn es ein Loch im Rumpf entsteht. Dann kommt Wasser rein, das Wasser ersetzt die Luft (wie bei den Tanks im U-Boot, aber jetzt ungewollt und unkontrolliert) und das Schiff oder das Boot sinkt (wie die Titanic...).

Aräometer

Das Aräometer ist ein Gerät, mit dem man die Dichte einer Flüssigkeit messen kann.

Um das Prinzip zu verstehen, müssen wir wieder die Idee des Schiffes anschauen. Das Schiff schwimmt. Ein Teil des Schiffes ist unter dem Wasserspiegel. Wenn ein Körper im Wasser ist, haben wir schon gesehen, dass die Auftriebskraft so groß ist wie die Gewichtskraft des verdrängen Wassers (der Flüssigkeit im Allgemeinen). Das gleiche gilt für einen Körper, der schwimmt. Nur ist es so in diesem Fall, dass nicht der ganze Körper im Wasser ist. Das verdrängte Wasser ist genau so viel, wie das Volumen des Körpers, das unter Wasserspiegel ist. Du kannst das auch mit einer Styroporkugel ausprobieren. Lass sie in einem Topf schwimmen. Der Wasserpegel steigt kaum. Wenn du sie jetzt aber unter Wasser drückst, dann steigt der Wasserpegel erheblich. Das zeigt, dass wenn die Kugel schwimmt, nur so viel Wasser verdrängt wird, wie der Teil der Kugel, der unter Wasserspiegel ist. Wenn du die Kugel ganz unter Wasser drückst, dann wird so viel Wasser verdrängt, wie das Volumen der ganzen Kugel.

Beim Schiff haben wir andererseits gesehen, dass man auch die Luft, die sich unter dem Wasserspiegel befindet, berücksichtigen soll.

Diese Ideen benutzt man beim Aräometer. Man benutzt ein hohles Rohr, das unten geschlossen ist und welches im Wasser stabil ist. Das Rohr hat eine gewisse Masse, die man messen kann. Man lässt das Rohr in der Flüssigkeit. Dabei muss das Rohr so gefertigt sein, dass es nicht komplett in der Flüssigkeit versinkt, andererseits soll es auch nicht komplett aufschwimmen, also fast gar nicht in die Flüssigkeit eintauchen. Also das Rohr darf nicht zu schwer und nicht zu leicht sein. Das Rohr taucht in die Flüssigkeit (zum Beispiel Wasser) bis zu einer gewissen Tiefe und dann schwimmt es. Dadurch kann man das Volumen V_unten des Rohres messen, das unterhalb des Wasserspiegels ist, was aber, wie gesagt, gleich das Volumen V_verdrängt des verdrängten Wassers ist (siehe Ergänzung 2). Es gilt dann

$F_{\rm {Auftrieb}}=F_{\rm {Gewicht}}$

also

$m_{\rm {verdr{\ddot {a}}ngtesWasser}}\cdot g=m_{\rm {Rohr}}\cdot g$

und weil die Schwerebeschleunigung g für alle Körper gleich ist (sehe Kapitel über Kraft)

$m_{\rm {verdr{\ddot {a}}ngtesWasser}}=m_{\rm {Rohr}}$

und (wie schon gesagt)

$V_{\rm {verdr{\ddot {a}}ngtes}}=V_{\rm {unter}}$ (2)

Die Formel für die Dichte des Wassers können wir jetzt benutzten:

$\rho _{\rm {Wasser}}={\frac {m_{\rm {verdr{\ddot {a}}ngtesWasser}}}{V_{\rm {verdr{\ddot {a}}ngt}}}}$

und wegen (1) und (2)

$\rho _{\rm {Wasser}}={\frac {m_{\rm {Rohr}}}{V_{\rm {verdr{\ddot {a}}ngt}}}}$

Frage

Du kannst selber versuchen, ein Aräometer aufzubauen. Fülle (wieder) einen Topf mit Wasser, aber nicht ganz voll. Nehme dir circa 10 Strohhalme. Klebe an ein Ende der Strohhalme ein bisschen Plastilin, sodass dieses Ende dicht wird. Mit diesem Ende unten tauche die Strohhalme ins Wasser. Messe wie tief dein Aräometer ins Wasser eintaucht (es darf nicht sinken, also nicht den Boden des Topfes berühren; wenn das passiert, musst du weniger Plastilin benutzen). Dadurch kannst du auch das Volumen unter Wasserspiegel messen. Wenn du es geschafft hast, trockne dein Instrument und wiege es. Du kannst jetzt die Formel benutzen und die Dichte des Wassers berechnen. Wenn deine Mutter es erlaubt, probiere das gleiche mit Öl. Was ist dichter, Öl oder Wasser? Um das zu beantworten kannst du auch überlegen, ob Öl ins Wasser schwimmt oder umgekehrt. Also was erwartest du, wird dein Instrument (also das Strohhalm-Aräometer) tiefer ins Öl als ins Wasser sinken oder umgekehrt?

Frage

Was gilt also für die Kräfte bei einem Schiff? Wie könnte man ein Schiff oder ein Boot benutzten, um die Dichte des Meerwassers zu messen?

Auftriebskraft in der Luft - Fliegen mit Ballons

Es gibt jetzt nicht viel mehr zu sagen! Genauso wie im Wasser (und in Flüssigkeiten im Allgemeinen) ist es auch in der Luft (und im Allgemeinen in den Gasen). Man bezeichnet nicht umsonst Gase und Flüssigkeiten mit einem gemeinsamen Namen Fluide (also Substanzen die „fließen“). Da sind wieder die Ungleichungen, die auch in der Luft gelten (ersetze einfach das Wort „Fluid“ mit dem Wort „Luft“!):

• Wenn $\rho _{\rm {K{\ddot {o}}rper}}=\rho _{\rm {Luft}}$ ist, dann schwebt der Körper in der Luft.

• Wenn $\rho _{\rm {K{\ddot {o}}rper}}<\rho _{\rm {Luft}}$ ist, dann steigt der Körper in der Luft.

• Wenn $\rho _{\rm {K{\ddot {o}}rper}}>\rho _{\rm {Luft}}$ ist, dann sinkt der Körper in der Luft.

Unser Körper ist ja viel dichter als die Luft, deshalb bleiben wir immer auf der Erde! Was hat aber der Mensch erfunden, wie hat er diese Ungleichungen benutzt, um auch fliegen (in der Luft schweben) zu können? Und so funktionieren die Ballons: Die Wand des Ballons ist ja viel dichter als die Luft. Wenn es keine Luft drinnen gäbe, würde der Ballon nicht fliegen. Die Luft im Ballon wird aber erwärmt. So wird die Luft dünner, wie wir es in einem nächsten Kapitel lernen werden. Genauso wie im U-Boot das Wasser und die Luft, funktionieren hier entsprechend die kalte und die warme Luft. Die warme Luft ist dünner und je wärmer die Luft im Ballon ist, desto kleiner die mittlere Dichte. Man kann sogar auch statt warmer Luft andere Gase benutzen, wie zum Beispiel Helium. Helium ist als Gas deutlich dünner als die Luft. Wenn wir also einen Luftballon mit Helium aufblasen, dann fliegt (also steigt) er sehr hoch!

Frage

Welchen Unterschied gibt es zwischen Wasser und Luft in Bezug auf das Prinzip der Auftriebskraft?

Fliegen mit Tragflächen

Beim Fliegen mit Tragflächen ist die Sache eher komplizierter. Das Prinzip hat nicht mehr so stark mit Auftriebskraft zu tun, sondern mit Druck und Kräften. Eine Ahnung davon bekommst du, wenn du die Funktion einer Windmühle oder (einfacher) eines Spielzeug-Windrads beobachtest. Die Flügel des Windrads sind etwas schief und das ist genau das Prinzip. Wenn du also das Windrad bläst, ändert der Luftzug bei den Flügeln seine Richtung und dabei fangen die Flügel an sich zu bewegen (in diesem Fall zu kreisen). Das gleiche Ergebnis hast du, wenn du das Windrad sehr schnell bewegst. Durch die Bewegung entsteht sozusagen ein Luftzug an den Flügeln.

Das ist genau was bei den Flugzeugen passiert. Die Flügel sind schief (etwas höher vorne) und oben etwas stärker gekrümmt als unten. Wenn sie schnell nach vorne fahren (beim Abflug), entsteht einen Luftzug um den Flügel. Weil der Flügel oben etwas stärker gekrümmt ist als unten, strömt die Luft dort etwas schneller. So drückt oder zieht der Luftzug das Flugzeug sozusagen nach oben. Je schneller sie fahren, desto größer die Kraft nach oben, bis irgendwann diese Kraft größer als die Gewichtskraft des Flugzeuges wird. Dann fliegt die Maschine!

Die zwei Ergänzungen sind für deine Stufe eher schwer, du kannst es aber doch ausprobieren sie zu verstehen!

Ergänzung 1 mittlere Dichte

Um die mittlere Dichte eines U-Boots zu berechnen, muss man eigentlich mit der Tatsache anfangen, dass das verdrängte Volumen gleich das Volumen des U-Boots (Luft eingeschlossen) ist. Sei m_fest die Masse des Metalls und der restlichen festen (oder flüssigen, zum Beispiel Wasser) Körper im U-Boot, V_fest ihr Volumen, ρ_fest die Dichte von den festen Körpern (einfachheitshalber stellen wir uns hier vor, dass alle diese „festen“ Körper die gleiche Dichte haben), m_Luft die Masse der Luft im U-Boot, V_luft ihr Volumen, ρ_luft ihre Dichte, m_verWasser die Masse des verdrängten Wassers, V_verWasser ihr Volumen und ρ_verWasser ihre Dichte. Die mittlere Dichte des U-Boots soll im Fall des Schwebens gleich der Dichte des Wassers sein.

Weil das verdrängte Wasservolumen gleich dem Volumen des U-Boots (Luft eingeschlossen) ist, gilt:

V_verWasser = V_fest + V_luft

und von der Formel der Dichte um V umgeformt (also ρ = m / V => V = m/ρ) durch Ersetzung:

${\frac {m_{\rm {verWasser}}}{\rho _{\rm {verWasser}}}}={\frac {m_{\rm {fest}}}{\rho _{\rm {fest}}}}+{\frac {m_{\rm {Luft}}}{\rho _{\rm {Luft}}}}$

was dann als Ergebnis für die Dichte die folgende ziemlich kompliziertere Formel hat:

${\frac {m_{\rm {verWasser}}\cdot {\rho _{\rm {Luft}}}\cdot {\rho _{\rm {fest}}}}{m_{\rm {fest}}\cdot {\rho _{\rm {Luft}}}+m_{\rm {Luft}}\cdot {\rho _{\rm {fest}}}}}$

Ergänzung 2 Volumen des Rohrs

Du wirst im Mathematikunterricht lernen, dass das Volumen eines Körpers von der Fläche seiner Basis und von seiner Höhe abhängig ist. Du wirst auch lernen, dass eine Gerade eine Dimension (also Länge) hat, eine Fläche zwei Dimensionen (also Länge und dazu Breite) und ein Körper drei (also Länge, Breite und dazu Höhe). Für den Strohhalm gilt ungefähr die Formel für einen Zylinder, also

V= π r² h

wo π die vielleicht schon bekannte Zahl ist (π=3,14...), r der Radius des Kreises an der „Basis“ des Strohhalms und h die „Höhe“, also wie tief der Strohhalm ins Wasser eintaucht.