Physik Oberstufe/ Schwingungen und Wellen/ Elektromagnetische Schwingungen
Die elektromagnetische Schwingung
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Experiment: Ein aufgeladener Kondensator wird an eine Spule angeschlossen, die Spannung am Kondensator aufgezeichnet.
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Ergebnis: Es existiert eine elektromagnetische Schwingung, bei der periodisch Energie des elektrischen Feldes in Energie des magnetischen Feldes und umgekehrt umgewandelt wird. |
Mathematische Beschreibung der elektromagnetischen Schwingung
BearbeitenDurch Anwendung der Maschenregel im Schwingkreis erhält man:
und sind nicht unabhängig voneinander. Es bietet sich an, die Spannungen über die Ladung bzw. die Änderung des Stromes auszudrücken:
Eingesetzt ergibt sich:
Bestimmung der Ladung
BearbeitenZwischen der Ladung und dem Strom besteht ein Zusammenhang. Fließt ein Strom, so ändert sich die Ladung auf den Kondensatorplatten. Umgekehrt hat jede Änderung der Kondensatorladung einen Stromfluss zu Folge. Bei unserer Definition der Stromrichtung bewirkt ein positiver Strom ein Anwachsen der Ladung auf den Kondensatorplatten. Die Definition der elektrischen Stromstärke selbst:
müssen wir, da sich die fließende Ladung permanent ändert, für infinitesimal kleine Zeitintervalle auswerten. Mathematisch wird aus dem Differenzenquotient der Differentialquotient:
In unsere Gleichung eingesetzt erhalten wir:
Differentialgleichung (DGL) des elektrischen Schwingkreises:
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Diese Differentialgleichung kennen wir bereits vom harmonischen Oszillator: Gesucht ist eine Funktion , die zwei mal abgeleitet bis auf den Faktor sich selbst ergibt. Wir können wieder einen entsprechenden Ansatz machen, oder die Konstanten der beim harmonischen Oszillator gefundene Lösung entsprechend anpassen. Man findet die allgemeine Lösung der Differentialgleichung des elektrischen Schwingkreises:
Die maximale Ladung und die Phase sind Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen definiert werden.
Spannung , Stroms und Periodendauer
BearbeitenDie Spannung am Kondensator erhalten wir aus der Beziehung
Der elektrisch Strom ergibt sich gemäß durch Ableiten:
Mit findet man:
Periodendauer des elektrischen Schwingkreises:
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Aufgabe: Spezielle Lösung aus den Anfangsbedingungen.
Resonanz im elektrischen Schwingkreis
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Experiment: Ein elektrischer Schwingkreis wird durch induktive Kopplung zum Schwingen angeregt. Beobachtet werden Schwingungsamplitude und die Phasenbeziehung zwischen Erreger und Oszillator. |