Optik

Band 10 des Werkes Einführung in die Theoretische Physik – Ein Lehrbuch in mehreren Bänden

„Optik“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 20 % fertig

Motivation

Warum leuchtet der Himmel tagsüber blau, abends aber rot? Wieso sieht man nachts Sterne, tagsüber aber nicht? Wie funktioniert das Sehen weit entfernter Objekte? Ist Licht nun wellenförmig oder besteht es aus Teilchen?

Der Begriff Optik leitet sich aus dem griechischen Wort optike ab. Optik ist also die Lehre vom sichtbaren Licht. Im engeren Sinn ist Licht elektromagnetische Strahlung in einem Frequenzbereich beziehungsweise Wellenlängenbereich, der das Sinnesorgan menschliches Auge zu Sinnesempfindungen ab einer Mindestleuchtdichte der auf die Netzhaut des Auges fallenden Strahlung erregen kann. Neben der Lichtgeschwindigkeit c [m/s], der Geschwindigkeit jeglicher elektromagnetischer Strahlung ist eine wesentliche Kenngröße dieser Strahlung die Wellenlänge $\lambda$. Die Zuordnung einer Wellenlänge setzt voraus, dass sich diese Strahlung in einem periodischen Vorgang ausbreitet, also eine Periodendauer T [s] oder eine Strahlungsfrequenz f = 1/T [1/s] zugeordnet werden muss.

Für alle sich periodisch mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitende Wellenformen, wie Schall und elektromagnetischer Strahlung, gilt:

${\text{Wellenlänge}}\cdot {\text{Frequenz}}={\text{Ausbreitungsgeschwindigkeit}}$

Während Schall ein Ausbreitungsmedium, wie Gase, Flüssigkeiten oder isotrope oder anisotrope Festkörper, benötigt, kann sich elektromagnetische Strahlung auch im Vakuum, zum Beispiel im interstellaren Raum ausbreiten. c ist stets vom Ausbreitungsmedium mit seinen jeweiligen Zustandsgrößen wie Dichte, Temperatur, usw. abhängig. Im Verlauf der Entwicklung der Metrologie stellte sich heraus, dass von allen Grundgrößen der Physik die Zeit mit ihrer sich immer weiter verbessernden Definition der Sekundendauer und der experimentell sich immer weiter verkleinernden Werte der Messunsicherheiten für die Darstellung der Sekundendauer im Verlauf der Forschungsjahre (etwa 1983), mit relativen Messunsicherheiten von kleiner als 1/1 000 000 000 000 gemessener Zeitintervalle sich messtechnisch zur am besten beherrschten Grundgröße der Physik entwickelte. Die Messung der Vakuumlichtgeschwindigkeit als einer für viele Aussagen der theoretischen Physik wichtigen Naturkonstante konvergierte im Verlauf der Forschungsjahre im internationalen Wettbewerb der nationalen Forschungsanstalten mit vielen unterschiedlichen Messansätzen auf einen Wert von c = 299792458 m/s hin, der wegen der im Verlauf der Forschungsjahre wesentlich schlechter konvergierenden Unsicherheit der Meterdarstellung nur mit Messunsicherheiten größer als 1/1 000 000 000 der Lichtgeschwindigkeit angegeben werden konnte. Besonders um den Längenmessproblemen der Raumfahrt besser entsprechen zu können, wurde 1983 in internationaler Übereinkunft die Naturkonstante c, die eigentlich ein aus den Einheiten für Länge und Zeit resultierender Messwert mit zugehöriger Messunsicherheit sein müsste, durch eine messunsicherheitsfreie Definition ersetzt für die, um Zahlenwertänderungen im Wissensgebäude der Metrologie zu vermeiden, der glatte Zahlenwert von

$c=299792458{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\pm 0$

festgelegt wurde. Die gleiche Vakuumlichtgeschwindigkeit gilt auch 28 Jahre später unverändert weiter, da die Längeneinheit Meter [m], mit der damals um den Faktor von ca. 1000 verbesserten Messunsicherheit der Zeitmessung gleichzeitig durch die neue Definition ersetzt wurde: 1 m ist die Strecke, die von Lichtstrahlung in 1/299792458 Sekunden durchlaufen wird. Inzwischen ist die Messung von Zeitintervallen seit dem Gültigwerden der derzeitigen Meter und Lichtgeschwindigkeitsdefinition bezüglich der Messunsicherheiten um ca. einen weiteren Faktor von 1000 verbessert worden. Nochmals ein weiterer Faktor von ca. 1000 ist zu erwarten, wenn die derzeitige Sekundendefinition von einer Atomfrequenzdefinition im Mikrowellenbereich auf eine Atomfrequenzdefinition im Lichtfrequenzbereich umgestellt wird, wozu international experimentelle Vorarbeiten geleistet werden.

Bei der Ausbreitung von elektromagnetischer Strahlung verändert sich die Lichtfrequenz nur, falls dem Lichtwellenfeld-Photonenstrom Energie entnommen oder zugeführt wird. Abhängig von der Auslegung optischer Experimente stellt sich diese Strahlung bevorzugt als Wellenvorgang oder als Teilchenstrom dar. Dabei beschreibt die Lichtfrequenz f zusammen mit der Naturkonstanten h, dem Planckschen Wirkungsquantum, den Energieinhalt der einzelnen Lichtteilchen, der Photonen.

Ein durchgehendes Verständnis optischer Vorgänge und Instrumente ist nur möglich, falls man von den Kenngrößen einer Lichtquelle ausgehend, über die Ausbreitungswege des Lichtes bis zum Lichtempfänger und seinen Ausgangssignalen ein Modell bildet, das sowohl deterministische Zusammenhänge als auch zufallsbedingte Anteile in den Signalen von Empfängern liefern kann.

Im engeren Sinn ist Optik die Lehre der elektromagnetischen Strahlung im Wellenlängenbereich des sichtbaren Lichts (ca. 380nm bis 780nm). Im weiteren Sinne wird allerdings der Bereich vom Infraroten bis Ultravioletten mit dazu genommen. Des Weiteren spricht man auch von der Röntgenoptik, deren Wellenlängenbereich sich auf das der Röntgenstrahlung bezieht.

1675 wurde von dem dänischen Astronomen Olaus Römer über astronomische Messungen zum ersten Mal ein vernünftiger Wert für die Geschwindigkeit des Lichts gefunden. Über nichtastronomische Messungen gelang es erstmals Fizeau im Jahr 1849, annehmbare Werte für die Lichtgeschwindigkeit zu ermitteln. Diese Messmethoden wurden später durch Foucault 1852 und dann noch von Michelson um 1930 verbessert. Seit dem Jahre 1983 liegt der heute gültige Wert der Lichtgeschwindigkeit bei

$c=299.792.458\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

In den meisten Fällen ist allerdings der Wert von $c=3\cdot 10^{8}\,{\tfrac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$ vollkommen ausreichend.

Geometrische Optik

Einfache Versuche zeigen, dass man in einer ersten Näherung gut davon ausgehen kann, dass Licht sich geradlinig als Strahl ausbreitet. Für erste Betrachtungen ist diese Annahme ausreichend (Grenze: Objekte, die das Licht begrenzen, haben eine Mindestgröße von etwa 100mal der Wellenlänge des verwendeten Lichts). Damit lassen sich Spiegel, Linsen und daraus zusammengesetzte Geräte (Mikroskop, Teleskop, usw.) beschreiben.

Reflexion und Brechung

Reflexionsgesetz

Einfallender und ausfallender Strahl bilden mit dem Lot, auch Grenzflächennormale genannt, gleiche Winkel. Außerdem bilden Einfallsstrahl und Lot eine Ebene, die Einfallsebene, in welcher auch der reflektierte Strahl liegt. Daraus resultiert:

$\alpha =\alpha '\$

Welcher Anteil der Energie des Strahls an der Grenzfläche reflektiert wird, hängt von den Brechzahlen der betreffenden Medien (und damit der Lichtgeschwindigkeit), dem Einfallswinkel sowie von der Polarisationsrichtung der Welle ab.

Brechungsgesetz

Unter Umständen wird nicht die ganze Energie einer elektromagnetischen Welle reflektiert, sondern teilweise oder zur Gänze transmittiert, was bedeutet, dass der Strahl in das Medium eintritt. Bei diesem Übergang der Welle von einem Medium ins andere ändert sich die Ausbreitungsrichtung des Strahles sowie die Wellenlänge seiner ihn beschreibenden Welle, wobei die Frequenz allerdings gleich bleibt. Das Verhältnis vom Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels ist abhängig von den beiden Medien, zwischen denen der Übergang stattfindet. Die für beide Medien charakteristische Konstante n heißt Brechzahl. Wenn $n_{1}$ kleiner als $n_{2}$ ist, findet eine Brechung zum Lot statt, im umgekehrten Fall wird das Licht vom Lot weg gebrochen. Die Brechzahl des Vakuums ist als 1 definiert (näherungsweise gilt dieser Wert auch für Luft).

$n_{1}\cdot \sin(\alpha )=n_{2}\cdot \sin(\beta )$

Totalreflexion

Nach dem Brechungsgesetz ist

$\sin(\beta )={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot \sin(\alpha )$.

Bei $n_{1}>n_{2}$, also an der Grenzfläche vom optisch dichteren zum dünneren Medium kann jedoch

${\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot \sin(\alpha )>1$

werden. In diesem Fall gibt es keine reelle Lösung für den Winkel $\beta \$, und es tritt keine Brechung auf. Der einfallende Strahl wird vollständig reflektiert; dieser Fall wird als Totalreflexion bezeichnet. Der Winkel $\alpha _{T}\$, bei dem $\beta =90^{\circ }$ wird, wird als Grenzwinkel für Totalreflexion bezeichnet.

$\alpha _{T}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)$

Dispersion

Wie erwähnt hängt die Geschwindigkeitsveränderung beim Übergang elektromagnetischer Strahlen von einem Medium in ein anderes von der Brechzahl n ab. Die Brechzahl eines Materials ist allerdings keine Konstante, sondern eine Funktion der Wellenlänge. Also:

$n=n(\lambda )\$

Dies hat zur Folge, dass sich weißes Licht, welches ja aus allen für uns sichtbaren Farben, gleichbedeutend mit Wellenlängen, zusammensetzt, in die Farbfolge Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau, Violett aufspaltet, sobald es durch ein Prisma geschickt wird. Das Licht wird dabei in sein Spektrum aufgespalten, und die nach dem Prisma sichtbar werdenden Bestandteile des weißen Lichtes sind nicht weiter aufspaltbar, eine Eigenschaft, die monochromatisch genannt wird. Ähnliche Vorgänge spielen auch in der Datenübertragung eine Rolle, weil auch hier Informationspakete weggeschickt werden, welche aus mehreren Wellen zusammengesetzt sind. Auch hier kommt es durch unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen in diesem Paket zu Dispersion, hierbei zerrinnt der abgeschickte Wellenberg und wird breiter.

Spiegel

Ein Spiegel reflektiert Licht.

• Die Entfernung von einem Objekt vor dem Spiegel zum Spiegel ist genau so groß wie die Entfernung vom Spiegel bis zu einem (gedachten) Objekt hinter dem Spiegel. Um das zu zeigen bringt man zwei Objekte in Deckung, wie zwei Bleistifte, einer vor und einer hinter dem Spiegel. Man verschiebt nun den Bleistift hinter dem Spiegel so, dass er mit seinem Spiegelbild übereinstimmt und misst die jeweiligen Abstände
• Ein Spiegel vertauscht nicht rechts und links, wie man mit einem Bleistift vor dem Spiegel nachweisen kann. Die Spitze vom Bleistift verändert nur dann ihre Richtung, wenn sie mehr oder weniger direkt auf den Spiegel zeigt. Der Spiegel vertauscht vorne und hinten.
• Wirft man einen Strahl schräg auf einen Spiegel, wird dieser im gleichen Winkel reflektiert wie er eingefallen ist. Beide Strahlen liegen in einer Ebene.

Linsen

Sammellinse

Mit speziellen Formen von Grenzflächen kann man nun mit der Brechung erreichen, dass Strahlen die von einem Punkt kommen, ins Unendliche abgebildet werden, das bedeutet, dass sie danach parallel verlaufen.

! Bild Sammellinse mit Fokus -> \infty !

in der geometrischen Optik sind die Vorgänge umkehrbar. Das bedeutet, mit der gleichen Linse kann man parallele Strahlen auf einen Punkt fokussieren.

man spricht deshalb bei dieser Linse von einer Sammellinse. Die wichtigste Größe ist die Brennweite f: das ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt und Hauptebene der Linse. Wenn es sich um eine dünne Linse handelt, d. h. eine Linse, deren Dicke bei der Berechnung des Verlaufs der Lichtstrahlen vernachlässigt werden kann, ist die Hauptebene identisch mit Mittelebene der Linse.

Linsenfehler

Chromatische Aberration

Die chromatische Aberration ist die durch Brechung erzeugter Farbsaum. Sie kann durch die Kombination verschiedene Glassorten für eine weitere Wellenlänge (Achromat) oder sogar für zwei weitere Wellenlängen (Apochromat) korrigiert werden.

Sphärische Aberration

Die sphärische Abberation ist eine durch Brechung oder Reflexion von Strahlen an sphärischen Oberflächen (konstanter Kugelradius) mit zunehmend großer Einfallshöhe verursachte Unschärfe, bei der es zu unterschiedlichen Schnittweiten im Bildraum kommt. In der Bildebene werden dadurch zunehmend große Zerstreuungkreise hervorgerufen. Sie kann durch aufwendiger gestaltete Oberflächen, wie asphärische Linsen oder parabolische Spiegel, vermindert werden.

Astigmatismus

Der Astigmatismus gehört zu den Abbildungsfehlern des Systems Auge mit den Abbildungseigenschaften der Hornhaut mit etwa 80% Anteil an der Abbildung und der Augenlinse im Inneren mit etwa 20 % Anteil an einem solchen Abbildungsfehler. Eine sphärische und korrekte Abbildung durch ein optisches System bildet in einer einzigen Brennpunktebene ab, in dem sich ein scharfes und deutliches reales (konvexe Abbildung) oder virtuelles (konkave Abbildung) Bild befindet. Ein astigmatisches System bildet einen Gegenstand in zwei Schnittebenen ab, dessen unscharfes Bild sich in einer Ausdehnung zwischen den beiden Schnittebenen befindet. Die Lage der beiden Schnittebenen kann um jeweils 90° gekreuzt sein oder in seltenen Fällen auch konfus und irregulär zueinander liegen. Um dies zu beheben, gibt in der technischen Optik solche korrektive Sammel- und Zerstreuungslinsen (Plus (Konvex)- und Minus (Konkav)linsen). Eine einzelne Linse, die einen Astigmatismus wieder zu einem einzigen deutlichen Bild aus den räumlich getrennten Schnittebenen vereint, wird asphärisches, torisches oder nur Zylinderglas genannt. Ein entsprechendes System in der geschliffenen Kombination der einzelnen asphärischen Gläser zur Korrektur solcher Abbildungseigenschaften ist ein  Anastigmat. Solche Systeme kommen zur Abbildungskorrektur in den Teleobjektiven, Mikroskopen und Lupen vor.

Siehe auch:  Abbildungsfehler#Astigmatismus schiefer Bündel

Optische Instrumente

Auge

Mit Hilfe der sich im Inneren des Auges befindlichen Augenlinse (Lens Cristalina), einer im angespannten Zustand gewölbten Konvexlinse, wird bei einem emmetropen Auge, das heißt in einem fehlerfrei abbildenden Auge, ein auf dem Kopf stehendes, um 180° gedrehtes reales Bild der betrachteten Objekte auf die Netzhaut (Retina) projiziert. Das Gehirn gleicht die Drehung wieder über verschiedene Reizleitungen, die vom Auge über einen sich vor dem Gehirn kreuzenden Sehnervenweg (Chiasma) führen, wieder aus. Um verschieden weit entfernte Objekte scharf sehen zu können, ist die Linse in der Lage, ihre konvexe Form zu verändern, um auf diese Weise ihre Brennweite zu variieren. Die weiteste Entfernung wird von Unendlich definiert bis in etwa maximal 8 cm vor dem Auge heran, vom Abstand der beiden Augen zueinander abhängig in die Nähe akkommodiert. Diese Naheinstellung oder Akkommodation entspricht auch der Fähigkeit eines einzelnen Auges, um Gegenstände noch deutlich sehen zu können. Die Augenlinse verändert dabei von Fern zu Nah ihre Form und wölbt sich durch die Ziliarmuskeln, in denen die Linse befestigt ist, entspannt in eine noch stärker gerundete Linsenform. Die akkommodative Brechkraft des Systems Auge - Linse beträgt von Unendlich bis ca. 5,00 m vor den Augen +/- 0 dpt, in 8 cm vor dem Auge wird eine Brechkraft von + 12,5 dpt verlangt. ( 1dpt = 1/m) Das Auge als Gesamtsystem mit den Eigenschaften von Hornhaut, Kammerwasser, Linse und Glaskörper beträgt in Anhängigkeit von der Baulänge des Auges 56,64 - 70,57 dpt in den ermittelten Normwerten vieler gemessener Augen.

Lupe

Mit Hilfe einer Linse konvexer oder bikonvexer Art mit kurzer Brennweite wird ein aufrechtes virtuelles Bild eines Objekts erzeugt, welches sich innerhalb der Brennweite der Linse befindet und auf diese Weise vergrößert dargestellt wird.

Kamera

Sie besitzt ein aus mehreren Linsen zusammengesetztes, diverse Linsenfehler korrigierendes Objektiv. Dem Auge gleich wird nun ein umgedrehtes reelles Bild erzeugt. Mittels einer Umkehrlinse (konvex - oder ein Linsensystem, welches sich so verhält) wird das Bild nun, ein weiteres mal um 180° gedreht, auf einen Film oder Bildsensor projiziert.

Objektiv

Ein Objektiv ist ein System aus Linsen, Mechanik, sowie in Sonderfällen auch Elektronik. Es dient normalerweise den Zweck durch reale Linsen den Eigenschaften einer idealen Linse so nahe wie möglich zu kommen. Da jede reale Linse verschiedene Formen von Abberationen (Bildfehlern) aufweist, die aber durch die Kombination mehrere Linsen, zu Linsengruppen und Objektiven, abgemindert werden können. Die Vielfalt von Objektiven ist nahezu unbegrenzt. Sie reicht von winzigen Plastiklinsen-Objektiven in Handykameras, bis hin zu tonnenschweren Lithografieobjektiven, die zur Belichtung von Wafern in der Chipindustrie benötigt werden.

Mikroskop

Mit Hilfe eines Mikroskops können kleine Objekte unter einem größeren Sehwinkel betrachtet werden.

Teleskop

Mit Hilfe eines Teleskops können weit entfernte Objekte unter einem größeren Sehwinkel betrachtet werden.

Licht als elektromagnetische Welle

Im Allgemeinen bestehen elektromagnetische Wellen aus gleichfrequenten, versetzt schwingenden elektrischen und magnetischen Wellen. Die Schwingungsrichtungen dieser Transversalwellen sind gegeneinander um ${\tfrac {\pi }{2}}$ gekippt. Zeitlich sind sie um eine viertel Periode verschoben.

Aus den Maxwellgleichungen folgt die Wellengleichung:

$\Delta E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t^{2}}}E=0.$

mit

E(t): elektrische Feldstärke

Diese Gleichung für E(t) gilt allgemein für elektromagnetische Wellen, also auch für Funkwellen. Einen bestimmten Bereich der elektromagnetischen Wellen nennen wir Licht, da er vom menschlichen Auge registriert wird. Dabei ist E im allgemeinen eine komplexe Größe (siehe dazu auch Optik#Crashkurs: Komplexe Zahlen).

Die elektrische Feldstärke kann nicht direkt bestimmt werden, sondern nur (zum Teil) indirekt über die Intensität I, welches das Betragsquadrat der elektrischen Feldstärke multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit c und der  elektrische Feldkonstante $\varepsilon _{0}$ ist:

$I=c\varepsilon _{0}|E|^{2}$

(Abhängig vom verwendeten Einheitensystem kann der Vorfaktor variieren. Der hier genannte Vorfaktor gilt für SI)

Die Ausbreitung des Lichts

Aus der Beobachtung, dass sich Licht geradlinig ausbreitet, werden in der geometrischen Optik die Gesetzmäßigkeiten des Lichtes mit Hilfe des Strahlenmodells beschrieben.

1. Die Lichtausbreitung erfolgt durch Lichtstrahlen. Diese Strahlen sind Lichtkegel mit infinitesimal kleinen Öffnungswinkeln.
2. Ein Lichtstrahl unterliegt den Gesetzen der Reflexion und der Brechung.

Streng physikalisch gesehen breitet sich Licht jedoch wellenförmig aus. Die Eigenschaften von Schwingungen und Wellen kommen bei Interferenz und Beugung zum Tragen.

Huygenssches Prinzip

Wellenbrechung am Spalt nach dem Huygens-Fresnel-Prinzip. Die gelben Punkte zeigen gedachte Ausgangspunkte für neue (Kugel-)Wellen.

Es besagt, dass von jedem Punkt entlang einer Wellenfront wieder eine Halbkugelwelle ausgeht. Diese Kugelwellen interferieren miteinander und bilden eine neue Wellenfront. Die Kugelwelle besitzt die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit und dieselbe Frequenz wie die ursprüngliche Wellenfront. Strahlen sind dabei Linien des Lichtes, welche senkrecht auf den Wellenfronten stehen.

Fermat'sches Prinzip

Nach dem Fermat'schen Prinzip breitet sich das Licht zwischen zwei definierten Punkten auf dem optisch kürzesten Weg aus. Die optische Weglänge $l_{\mathrm {opt} }$ ergibt sich hierbei aus der geometrischen Weglänge $l_{\mathrm {geo} }$ und der relativen optischen Dichte des Mediums im Vergleich mit der von Vakuum $n$. $n$ ergibt sich aus dem Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeiten zueinander. Es gilt für die Werte $n_{1}$,$n_{2}$ in den Medien 1 und 2 mit den Lichtausbreitungsgeschwindigkeiten $c_{1}$ und $c_{2}$:

${\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}$

Und für die optische Weglänge gilt:

$l_{\mathrm {opt} }=l_{\mathrm {geo} }\cdot n$

Im Allgemeinen ist zu beachten, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz der elektromagnetischen Welle abhängen kann (Dispersion).

Polarisation

Licht ist eine elektromagnetische Welle. Sowohl die elektrische, als auch die magnetische Feldstärke schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung: Sie schwingen nach oben/unten, oder links/rechts, wenn sich die Welle nach vorne ausbreitet.

Licht von der Sonne oder einer Glühlampe (oder Neonröhre) ist unpolarisiert, es schwingt in alle möglichen Richtungen, weil die Entstehung unkontrolliert in einem statistischen Prozess stattfindet, das Licht also durch Elektronen bzw. Atome unterschiedlichster Schwingungsrichtungen emittiert wird. Mit doppelbrechenden Kristallen oder speziellen Filtern kann man aus unpolarisiertem Licht aber (linear) polarisiertes Licht filtern; dabei wird Licht einer Polarisationsrichtung hindurchgelassen, und die senkrecht dazu polarisierten Anteile werden reflektiert oder absorbiert. Polarisiertes Licht schwingt nur noch in einer Richtung.

Fällt eine polarisierte elektromagnetische Welle mit der Amplitude (Feldstärke) $E_{0}\$ auf einen Polarisator, dessen Polarisationsrichtung gegenüber der des Lichts um den Winkel $\alpha \$ verdreht ist, ist die Amplitude hinter dem Polarisator

$E=E_{0}\cdot \cos \alpha$.

Mit Hilfe spezieller Lichterzeuger (Laser) lässt sich ohne Filterung polarisiertes Licht erzeugen. Dies ist jedoch keine inhärente Eigenschaft eines Lasers.

Überlagern sich zueinander senkrecht polarisierte Lichtwellen gleicher Stärke und mit einer Phasenverschiebung von 90°, so entsteht zirkular polarisiertes Licht. Hierbei rotiert die elektrische Feldstärke senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Der Betrag der Feldstärke ist dabei zu jedem Zeitpunkt gleich. Je nach Drehrichtung, welche von der Phasenlage bestimmt wird, handelt es sich um rechts- bzw. links zirkularpolarisiertes Licht. Im allgemeinen Fall, also unterschiedliche Stärke der Lichtstrahlen und beliebige Phasenverschiebung, liegt elliptisch polarisiertes Licht vor.

Im Photonenbild existieren wegen der Helizität der Photonen nur zirkularpolarisierte Photonen. Linear polarisiertes Licht besteht dann aus der Überlagerung von rechts- und links-zirkular polarisierten Photonen.

Interferenz

Allgemeines über Interferenz von Lichtwellen

Lichtwellen als elektro-magnetisches Phänomen können sich wie alle Wellen überlagern. Hier werden nun die Wellenberge bzw. -täler näher betrachtet respektive die Addition der Amplituden. Man unterscheidet zwischen destruktiver und konstruktiver Interferenz. Erstere kann wie folgt beschrieben werden:

Es kommt zur Auslöschung durch Interferenz wenn zwei kohärente, linear polarisierte und um eine halbe Wellenlänge verschobene Lichtbündel aufeinander treffen. Hierbei stößt ein Wellenberg des einen Lichtbündels auf das betragsmäßig gleich große Wellental des anderen Lichtbündels was zur Auslöschung führt.

Treffen nun zwei phasengleiche Lichtbündel aufeinander, so addieren sich ihre Amplituden was zu ihrer Verstärkung führt.

Kohärenz und Kohärenzbedingung

Haben zwei Wellen zueinander eine feste Phasenbeziehung, so werden sie als kohärent bezeichnet und erzeugen ein stationäres Interferenzmuster.

Bewegen sich zwei Wellen gleichzeitig, gleichschnell, mit gleicher Frequenz und zeitfester Phasenbeziehung zueinander, parallel im selben Medium, so ist die Kohärenzbedingung erfüllt. Als Beispiel sei der Laser-Strahl genannt.

Interferenz an planparallelen Platten

Hier interferieren der an der Oberfläche direkt reflektierte und der an der Unterseite reflektierte Strahl. Das farbige Interferenzmuster auf einem Ölfilm beschreibt dieses Phänomen, genauer gesagt die Interferenz an dünnen Schichten.

Grunderscheinungen der Beugung

Unter dem Begriff Beugungsphänomene werden all diejenigen Lichterscheinungen zusammengefasst, bei denen sich die Ausbreitung von Licht (im allgemeinen aller Strahlung) nicht mehr mit Hilfe der Gesetze der geometrischen Optik erklärt werden können. Man geht dann dazu über diese Phänomene dadurch zu beschreiben, dass sich Licht als Welle ausbreitet. Beugung tritt genau dann auf, wenn ein Hindernis (z. B. ein Spalt oder ein Schirm mit kreisförmigen Öffnungen) im Lichtweg steht. Daher tritt Beugung in der Optik grundsätzlich immer auf. Je nach den Umständen kann die Beugung allerdings vernachlässigt werden.

Die Beugung im Allgemeinen Fall wird typischerweise mit dem  Fresnelschen oder Fraunhoferschen Beugungsintegral beschrieben. Unterscheidungskriterium sind die Abstände von Lichtquelle und Beobachtungspunkt der Beugung von dem beugenden Objekt ausschlaggebend.

Im Folgenden soll auf den Spezialfall eingegangen werden, wenn kohärentes und parallel einfallendes Licht auf einen oder mehrere Spalte trifft. So ein präpariertes Licht emittiert ein Laser.

Beugung am Doppelspalt

Dieser Versuch wurde bereits (damals allerdings noch nicht mit einem Laser) 1802 von  Thomas Young durchgeführt.

Es wird das Licht (mit den in der Einleitung bereits beschriebenen Bedingungen) auf eine Ebene projiziert. Dabei ist für die folgenden Berechnungen wichtig, dass es genau senkrecht auftritt. In besagter Ebene mögen sich zwei Löcher $A,B$ mit dem Abstand $g$ zueinander befinden. Da dieses Problem radialsymmetrisch ist und wir es nur zweidimensional betrachten, können wir es auch als Spalte bezeichnen. Als nächstes machen wir eine weitere Vereinfachung des Problems: Die Spalte sind so klein, dass sie nach dem Huygenschen Prinzip lediglich eine einzige Kugelwelle pro Spalt erzeugen. Diese Vereinfachung wird später noch diskutiert. Das Bild, welches diese beiden Spalte werfen, wird auf einem zur ersten Ebene parallelen Schirm aufgefangen. Er möge sich im Abstand $a\gg g$ befinden.

Das Ergebnis eines Doppelspaltesexperiments

Kommen wir nun zum eigentlichen Experiment und gucken uns das Bild auf dem Schirm an. Aus der geometrischen Optik würde man erwarten, dass dort zwei Punkte in Größe der Löcher zu sehen ist. Da allerdings die Beugungseffekte nicht vernachlässigt werden dürfen und an den Spalten Kugelwellen entstehen, würde man erwarten, dass zwei „verschmierte“ Punkte zu sehen sind. Dies ist allerdings nicht der Fall. Es sind sogenannte Beugungsminima und -maxima zu erkennen.

ACHTUNG: Die hier verwendete Größe d ist in unserer Notation g.

Aber wie kann man dies erklären, was zunächst noch recht kontraintuitiv erscheint? Bei genauerer Überlegung fällt einem auf, dass man bereits diese Erscheinung aus dem Alltag kennt. Wenn man auf einer ruhigen, möglichst großen Wasserschale zwei Kugelwellen erzeugt, sieht man, dass die Wellen interferieren

Damit nun ein Beugungsminimum entsteht, müssen die beiden Wellen perfekt destruktiv interferieren. Zur Erinnerung: Das heißt, dass die Wellenberge der einen Welle auf die Wellentäler der anderen treffen und somit die Amplitude auf Null gesetzt wird. Da die Strahlen kohärent sein sollen, brauchen wir uns auch keine Gedanken über die zeitliche Entwicklung zu machen.

Guckt man sich nun einen Punkt $P$ auf dem Schirm an, so muss dieser aus den Wellen der beiden Spalte entstanden sein. Wenn nun dieser Punkt im ersten Minimum (bezogen auf den Mittelpunkt der Anordnung) liegt, so muss die Wegdifferenz der Strahlen - der sogenannte Gangunterschied $\delta$ - eine halbe Wellenlänge sein, damit es auch durch komplette destruktive Interferenz erklärt werden kann:

$\delta _{1,{\text{min}}}={\frac {\lambda }{2}}$

Wenn man die Phase einer Welle von zwei kohärente, unendlich ausgedehnte Wellen um $2\pi$ verschiebt bzw. anders formuliert die Welle um genau ein ganzes seine Wellenlänge $\lambda$ verschiebt, so erhält man wieder dasselbe Resultat.

Die Wellen interferieren komplett destruktiv.

Eine alternative Methode zur Bestimmung des Minimums nimmt an, dass zu irgendeiner Zeit die „Auslenkung“ der Wellen an den Öffnungen gleich null ist und dann perfekt sinusial ausbreiten. Beim Doppelspalt ist es nun, dass unter einem Winkel $\alpha _{\text{min}}$ aufgrund des Gangunterschiedes, die zwei Wellen sich „auslöschen“ – die Superposition ist also eine Welle gleich Null. Es gilt also, die Gleichung zu lösen:

${\begin{alignedat}{2}0&={\text{Welle 1}}&+&{\text{Welle 2}}\\0&=\sin x&+&\sin(x-a)\end{alignedat}}$

Eine mögliche Lösung ist $a={\frac {2\pi }{2}}=\pi$. Das bedeutet also $\delta _{1,{\text{min}}}={\frac {\lambda }{2}}$.

Aus dieser Überlegung lässt sich nun vorangegangene Gleichung für ein k-tes Minimum verallgemeinern:

${\begin{alignedat}{2}\delta _{k,{\text{min}}}&={\frac {\lambda }{2}}k,&k=&1,3,5,7,\ldots \\\delta _{k,{\text{min}}}&=\lambda \left(k-{\tfrac {1}{2}}\right),\qquad &k=&1,2,3,\ldots \end{alignedat}}$

Die analoge Überlegung, wie dies nun für ein k-tes Maximum aussieht, sei dem Leser als Übung überlassen. Hinweis: Welche Werte darf $k$ dann annehmen?

Der schwierigste physikalische Teil ist nun geschafft! Wir wissen nun also, warum ein Maximum oder Minimum entsteht, aber immer noch nicht so recht, wo man eins auf dem Schirm - oder allgemeiner formuliert in Abhängigkeit vom Winkel - findet.

Die Strecken ${\overline {AB}}=g$ und $\delta$ lassen sich zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammensetzen, dessen Winkel an $A$ möge $\alpha$ heißen. Dann ist aus der Trigonometrie bekannt, dass gilt:

$\sin \alpha ={\frac {\delta }{g}}$

Mit der  Umkehrfunktion $\arcsin$ (manchmal auch als $\sin ^{-1}$ bezeichnet) und den besprochenen Bedingungen für ein Minimum bzw. Maximum (einfach einsetzen) lässt sich diese Gleichung umformen.

Ein k-tes Minimum lässt sich finden unter dem Winkel

$\alpha _{k,{\text{min}}}=\arcsin \left({\frac {\lambda \left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)}{g}}\right),\qquad k=1,2,3,\ldots$

Jetzt haben wir die Extrema in Abhängigkeit vom Winkel. Anschaulicher wäre es, allerdings sagen zu können, wo sich diese in der Projektion auf dem Schirm befinden. Dazu bezeichnen wir die Strecke vom Mittelpunkt - dem Hauptmaximum - bis zum Punkt des Extremums mit $d$. Mit der Strecke $a$ als Abstand vom Doppelspalt zum Schirm bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck. Dieses möge an der Doppelspalt-Seite mit dem Winkel $\alpha '$ bezeichnet sein. Für das Dreieck gilt:

$\tan \alpha '={\frac {d}{a}}$

Da $a\gg g$ gilt, kann mit der  Taylor-Näherung die Näherung aufgestellt werden:

$\sin \alpha \approx \tan \alpha '\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\delta }{g}}\approx {\frac {d}{a}}$

Interessant ist es, sich zu überlegen, wie lange diese Näherung noch „genügend präzise“ Werte angibt. Dies sei dem Leser überlassen.

Als nächstes wird diese Gleichung nach $d$ umgestellt und die gefundene Relation für $\delta$ eingesetzt.

Es ergibt sich eine Gleichung für den Doppelspalt, der die Position eines k-ten Minimums angibt:

$d_{k,{\text{min}}}={\frac {\lambda \left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)a}{g}},\qquad k=1,2,3,\ldots$

Beugung am Gitter

Will man das vorangegangene Kapitel des Doppelspaltes für $N$ Spalte verallgemeinern, so kommt man zu einen Mehrfachspalt oder optischen Gitter.

Der Abstand von einem Spalt zum nächsten sei konstant und wieder mit $g$ bezeichnet. Dieser Abstand wird auch als Gitterkonstante bezeichnet. Außerdem werden die Größen $l$ und $\Delta s$ eingeführt. Dabei soll $\Delta s$ den Gangunterschied zweier benachbarter Spalte angeben. Da wir – wie zuvor beim Doppelspalt – die Bedingung $a\gg g$ stellen ist $\Delta s$ eine konstante und für jedes „Spaltpaar“ gleich. Dagegen ist $l$ der Abstand vom ersten Spalt bis zum Letzten. Es gilt also

$g={\frac {l}{N-1}}\;{\overset {N\gg 1}{\approx }}\;{\frac {l}{N}}$

Der Grund warum $N-1$ im Nenner steht sich kann am Fall für $N=2$ klargemacht werden. Es kann allerdings problemlos die Näherung verwendet werden, da $N$ in den Experimenten immer sehr viel größer als 1 ist. Mathematisch gesehen ergibt sich allerdings das Problem das $g$ für $N=1$ (die angesprochene Näherung kann jetzt natürlich nicht angewendet werden) nicht definiert ist. Da $N=1$ bei einem Gitter auch keinen Sinn ergibt kann es getrost aus der Definitionsmenge entfernt werden. Es bleibt: $N\in \{n\in \mathbb {N} ;n>1\}$ bzw. äquivalent dazu $N=2,3,4,\ldots$.

Doppelspalt (oben) und Fünffachspalt (unten) im Vergleich

Wenden wir uns nun dem Versuchsergebnis auf dem Schirm zu. Es ist zu sehen, dass die Intensitäten in den Maxima stärker werden und deren Breite abnimmt.

Die Superposition dieser drei Wellen ist gleich null

Zur Bestimmung der Minima wird das Problem zunächst auf $N=3$ vereinfacht. Analog zum Doppelspalt ist nun die Gleichung zu lösen:

${\begin{aligned}0&={\text{Welle 1}}+{\text{Welle 2}}+{\text{Welle 3}}\\0&=\sin x+\sin(x-a)+\sin(x-b)\end{aligned}}$

Da $g$ eine konstante ist, ist auch die Phasendifferenz zwischen den Wellen konstant. Es gilt also:

$0=\sin x+\sin(x-1\cdot c)+\sin(x-2\cdot c)$

Dies ist unter anderem erfüllt für $c={\frac {2\pi }{3}}\Rightarrow \delta _{1,{\text{min}}}={\frac {\lambda }{3}}$.

Verallgemeinert man dies nun für $N$ Spalte, so kommt man auf einen Gangunterschied für das k-te Minimum $\delta _{k,{\text{min}}}$ von

$\delta _{k,{\text{min}}}=\lambda \left(k-{\tfrac {1}{N}}\right),\qquad k=1,2,\ldots$

Speziell gilt $\delta _{1,{\text{min}}}={\tfrac {\lambda }{N}}$

Zusammengenommen ergibt sich eine Gleichung, die die Lage des Minimums für $N$ Öffnungen angibt:

$\alpha _{k,{\text{min}}}=\arcsin {\frac {\lambda (k-{\frac {1}{N}})}{g}},\qquad k=1,2,\ldots$

Beugung am Einfachspalt

Bislang wurde die Annahme gemacht, dass aus einem Spalt eine einzige Kugelwelle entspringt. Dies wollen wir im Folgenden verallgemeinern und somit eine genauere Formulierung des Spalt- und Gitterversuchs erreichen.

Die Verallgemeinerung erfolgt dadurch, dass statt einen Doppelspalt oder Gitter eine einzige (kleine) Öffnung beleuchtet werden soll. Dabei wird die Öffnung auch Einzelspalt oder Einfachspalt genannt. Des Weiteren soll der Abstand zum Schirm $a$ deutlich größer sein als die Einfachspaltöffnung $l$ (also $a\gg l$). Der restliche Aufbau und seine benutzten Größen sollen vom vorherigen Kapitel übernommen werden.

Wichtig für die theoretische Beschreibung des Einfachspaltes ist, dass jetzt nicht mehr angenommen wird, dass nur eine Kugelwelle ausgesendet wird, wie es beim Spalt der Fall war. Es ist vielmehr die Superposition von unendlich Vielen. Dabei zu beachten sind die verwendeten Wörter „Spalt“ und „Einfachspalt“, die zwar beide für eine Öffnung stehen, jedoch in ihrer physikalischen Beschreibung und den verwendeten Annahmen unterscheiden. Dies ist zwar nicht notwendig und kann je nach Quelle variieren, soll jedoch hier des besseren Verständnisses verwendet werden.

Falls man lediglich an den Minima bzw. Maxima der Intensitätsverteilung interessiert ist, kann man in wenigen Schritten in Analogie zu den vorherigen Abschnitten zum Ergebnis kommen. Dies soll im Folgenden nur schnell umrissen werden.

Man fasse dazu das vom Einfachspalt ausgehende Licht (abhängig vom Punkt $P$ auf dem Schirm) in Bündel zusammen. Dabei erfolgt die Einteilung so, dass der Gangunterschied $\delta$, welcher sich näherungsweise aus $\delta ={\frac {d\cdot l}{a}}$ bestimmen lässt, einer halben Wellenlänge entspricht. Je nach Anzahl der möglichen Bündel ergeben sich dadurch die Minima und Maxima.

Beschreibung der gesamten Intensitätsverteilung

Bislang wurden lediglich charakteristische Stellen - mit anderen Worten Extrema - in der Intensitätsverteilung untersucht. Im Folgenden soll nun ein Ausdruck für das komplette Spektrum gefunden werden. Dazu ist es nötig komplexe Zahlen einzuführen. Das häufig in Schulbücher zu findende sogenannte „Zeigermodell“ beruht auf ebendiesen Zahlen.

Crashkurs: Komplexe Zahlen

Zur vollständigen Behandlung der komplexen Zahlen sei zum Beispiel auf das Wikibook Komplexe Zahlen oder das Wikibookkapitel in Mathematik für die gymnasiale Oberstufe verwiesen

Motivation der Einführung der komplexen Zahlen ist es die Gleichung $x^{2}=-1$ lösen zu können. Dies erscheint zunächst nicht lösbar und so ist es auch, wenn man als Zahlenmenge nur die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ zur Verfügung hat. Man kann aber versuchen die Zahlenmenge so zu erweitern, dass es möglich wird.

In der Zahlenmenge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ wird die Gleichung lösbar und lautet $x=\pm \mathrm {i}$, wobei $\mathrm {i}$ die sogenannte imaginäre Einheit ist und per Definition gilt:

$\mathrm {i} ^{2}\;{\overset {\text{Def}}{=}}-1$

Anmerkungen:

• Manchmal wird auch das Zeichen $\mathrm {j}$ oder $i$ (in Kursivschrift) verwendet.
• Es können natürlich noch weitere Gleichungen der Form gelöst werden: $x^{2}=-25=-1\cdot 25$ $\Rightarrow x=\pm 5\mathrm {i}$.

Allgemein wird eine komplexe Zahl $x\in \mathbb {C}$ (sprich: x Element aus C) aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammengesetzt:

$x={\text{Realteil}}+\mathrm {i} \cdot {\text{Imaginärteil}}$.

Anmerkungen:

• Das in der Gleichung mit Real- bzw. Imaginärteil bezeichnete können irgendwelche reelle Zahlen aus $\mathbb {R}$ sein
• Die Zahl $5\mathrm {i}$ hat keinen Realteil bzw. anders formuliert ist ihr Realteil gleich null.

Die Gaußsche Zahlenebene und 3 Beispiele für Komplexe Zahlen

Die bisher bekannten Zahlenmengen $\mathbb {Z,N,Q,R}$ können auf einem Zahlenstrahl aufgetragen werden. Da sich eine komplexe Zahl aus zwei reellen Komponenten zusammensetzt ist für solche Zahlen eine Ebene nötig. Diese komplexe Ebene wird auch als Gaußsche Ebene bezeichnet. Per Konvention ist dabei der Realteil die Abszisse (x-Achse) und der Imaginärteil die Ordinate (y-Achse). Somit kann eine komplexe Zahl als Pfeil, der bei 0 beginnt und auf seinen Wert in der Ebene zeigt, dargestellt werden.

Als nächstes sollen zwei Zahlen addiert werden: $z_{1}=a_{1}+\mathrm {i} b_{1}$ und $z_{2}=a_{2}+\mathrm {i} b_{2}$. Die Addition erfolgt nun komponentenweise – Real- und Imaginärteil werden also getrennt voneinander betrachtet. Die Summe ist also:

$z_{1}+z_{2}=a_{1}+\mathrm {i} b_{1}+a_{2}+\mathrm {i} b_{2}=(a_{1}+a_{2})+\mathrm {i} (b_{1}+b_{2})$

Dies ist ähnlich zur Vektoraddition, wo ebenfalls die komponentenweise addiert wird. Die Addition kann man sich auch grafisch vorstellen, indem man an das Ende des einen Pfeils (der zum Beispiel zu $z_{1}$ gehört) den Anfang des zweiten Pfeils (der dann zu $z_{2}$ gehört) legt. Der Wert auf den der zuletzt platzierte Pfeil nun zeigt ist die Lösung der Aufgabe.

Bis hier sieht alles so aus, als ob es nur eine andere Formulierung von Vektoren wäre. Und in der Tat kann man in diesem Buchkapitel immer wenn von komplexen Zahlen die rede ist, sich zwei-dimensionale Vektoren vorstellen. Man muss aber dabei immer im Hinterkopf behalten, dass es keine Vektoren sind. Um etwas zu motivieren, dass man mit komplexen Zahlen noch viel mehr schöne Sachen machen kann zwei Beispiele:

• Komplexe Zahlen lassen sich multiplizieren. Hier findet sich keine Analogie zu Vektoren mehr.
• Eine wichtige Gleichung, die die eulersche Zahl, komplexe Zahlen und die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus in Relation zueinander setzt ist die  eulersche Formel

$\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x)$

Anmerkung:

• Eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen wird als  Hyperkomplexe Zahl bezeichnet.

Intensitätsverlauf des Einfachspalts

Achtung! Dieser Abschnitt wird gerade noch geschrieben und beinhaltet Bearbeitungsnotizen.

Ausgangspunkt für die Herleitung ist das Gitter. Es soll angenommen werden, dass jeder Spalt im Gitter nur eine einzige Kugelwelle aussendet. Später wird sich dies durch geeignete Grenzwertbildung als ein gerechtfertigter Ansatz erweisen.

Des Weiteren soll das Gitter $N$ Spalte besitzen. Dadurch ergeben sich $N-1$ Phasenbeziehungen $\varphi _{j}$ (wobei $j=1,\dots ,N-1$) zwischen benachbarten Spalten. Wenn man nun noch annimmt, dass die Spalte gleichmäßig verteilt sind, vereinfacht es sich zu einen spaltunabhängigen Phasenunterschied $\Delta \varphi$.

Das gesammte Gitter soll $b$ breit sein.

Interessiert man sich nun für die Intensität eines Punktes auf dem Schirm, muss über die Amplituden aller dazu beitragenden Kugelwellen aufsummiert werden:

${\displaystyle }$

Notizen:

• vorher in anderen Kapiteln Kugelwellen einführen
• Grenzwertbildung
•  Geometrische Reihe anwenden

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{0}q^{k}={\frac {a_{0}}{1-q}}$ (für $|q|<1$)

• Relation Phasendifferenz und Winkel/Schirmposition von oben verwenden