Moderne Termlogik/ Semantische Folgerung

Im Kalkül der Termlogik haben wir den Begriff der logischen Folgerung,

$\phi \vdash p$,

definiert. Hier ist $\Phi$ eine Menge von Aussagen, den Annahmen, und $p$ ist eine einzelne Aussage, die Folgerung. Wir erinnern noch einmal daran, dass die Gesetze der logische Folgerung rein syntaktischer Art sind; d.h. sie werden durch Regeln für die Manipulation von Zeichenketten bestimmt.

Bei der semantischen Folgerung von $p$ aus einer Aussagenmenge $\Phi \vdash p$, geschrieben

$\Phi \models p$

geht es um etwas ganz anderes: Hierbei übersetzen wir sowohl die Voraussetzungen als auch die Folgerung in die Sprache der Mengenlehre, wie wir es im vorigen Abschnitt gezeigt haben, und prüfen, ob die so entstehende Beziehung gültig ist.

Definition (semantische Folgerung): Sei $\Phi$ eine Menge von Aussagen und $p$ eine einzelne Aussage. Wir sagen, $p$ folge semantisch aus $\Phi$, in Zeichen

$\Phi \models p$

,

wenn jede Interpretation ${\mathfrak {I}}$, die ein Modell für alle Aussagen von $\Phi$ ist, auch Modell von $p$ ist.

Ausführlicher geschrieben bedeutet das das Folgende: Um zu zeigen, dass $\Phi \models p$ gilt, wähle man eine Interpretation ${\mathfrak {I}}=\left({\mathfrak {i,{\mathcal {U}}}}\right)$, für die

${\mathfrak {I}}\models \phi$ für alle $\phi \in \Phi$

gilt. Für jede solche Interpretation muss dann auch

${\mathfrak {I}}\models p$

gültig sein.

Dies alles sieht recht kompliziert an, besonders, weil man über alle Modelle von $\Phi$ Aussagen machen muss. Wenn man aber den Formalismus der naiven Mengenlehre nutzt, der der Definition der semantischen Folgerung ja zugrunde liegt, wird es ganz einfach. Wir zeigen das an einem Beispiel (zur Wiederholung der Grundbegriffe der Mengenlehre s. Ing_Mathematik:_Mengenlehre.

Beispiel. Sei $\Phi =\left\{Aba,Icb\right\}$ und $p=Iac$. Wir wollen zeigen, dass ${\mathfrak {I}}\models p$ gilt. Dazu müssen wir alle Interpretationen untersuchen, die Modelle von $\Phi =\left\{Aba,Icb\right\}$ sind. Sei ${\mathfrak {I}}=\left({\mathfrak {i,U}}\right))$ eine solche Interpretation. Hierbei gelte $A={\mathfrak {i}}(a),B={\mathfrak {i}}(b),C={\mathfrak {i}}(c)$. Weil ${\mathfrak {I}}$ ein Modell von $Aba$ ist, gilt die Mengenbeziehung $B\subset A$, und weil ${\mathfrak {I}}$ auch ein Modell von $Icb$ ist, gilt nach Definition $C\cap B\neq \emptyset$. Sei nun $z\in C\cap B$. Dann ist wegen $B\subset A$ auch $z\in C\cap A$, woraus folgt, dass ${\mathfrak {I}}$ auch ein Modell von $p=Iac$ ist, was zu beweisen war.