Moderne Termlogik/ Semantische Folgerung

Im Kalkül der Termlogik haben wir den Begriff der logischen Folgerung,

,

definiert. Hier ist eine Menge von Aussagen, den Annahmen, und ist eine einzelne Aussage, die Folgerung. Wir erinnern noch einmal daran, dass die Gesetze der logische Folgerung rein syntaktischer Art sind; d.h. sie werden durch Regeln für die Manipulation von Zeichenketten bestimmt.

Bei der semantischen Folgerung von aus einer Aussagenmenge , geschrieben

geht es um etwas ganz anderes: Hierbei übersetzen wir sowohl die Voraussetzungen als auch die Folgerung in die Sprache der Mengenlehre, wie wir es im vorigen Abschnitt gezeigt haben, und prüfen, ob die so entstehende Beziehung gültig ist.

Definition (semantische Folgerung): Sei eine Menge von Aussagen und eine einzelne Aussage. Wir sagen, folge semantisch aus , in Zeichen

,

wenn jede Interpretation , die ein Modell für alle Aussagen von ist, auch Modell von ist.

Ausführlicher geschrieben bedeutet das das Folgende: Um zu zeigen, dass gilt, wähle man eine Interpretation , für die

für alle

gilt. Für jede solche Interpretation muss dann auch

gültig sein.

Dies alles sieht recht kompliziert an, besonders, weil man über alle Modelle von Aussagen machen muss. Wenn man aber den Formalismus der naiven Mengenlehre nutzt, der der Definition der semantischen Folgerung ja zugrunde liegt, wird es ganz einfach. Wir zeigen das an einem Beispiel (zur Wiederholung der Grundbegriffe der Mengenlehre s. Ing_Mathematik:_Mengenlehre.

Beispiel. Sei und . Wir wollen zeigen, dass gilt. Dazu müssen wir alle Interpretationen untersuchen, die Modelle von sind. Sei eine solche Interpretation. Hierbei gelte . Weil ein Modell von ist, gilt die Mengenbeziehung , und weil auch ein Modell von ist, gilt nach Definition . Sei nun . Dann ist wegen auch , woraus folgt, dass auch ein Modell von ist, was zu beweisen war.