Himmelsgesetze der Bewegung/ Umformen

EinführungBearbeiten

Physik ist allgemein ein Versuch, Gesetzmäßigkeiten in der Welt (bzw. der Natur) festzustellen und sie in der mathematischen Sprache auszudrücken. Daher sind Umformungen nicht nur Teil des Physikunterrichts. Umformungen sind physikalisches Denken. Wenn man sagt, dass die Geschwindigkeit die zurücklegte Strecke durch dafür benötigte Zeit ist, dann macht es physikalisch gesehen Sinn zu sagen, dass die Strecke, Geschwindigkeit mal die benötigte Zeit ist!

Bei Umformungen geht es um Gleichungen. In so einer Gleichung befinden sich verschiedene Zahlen und Symbole (Variablen). In der Regel ist es gefragt, eine Variable durch die anderen so auszudrücken, dass die Anfangsgleichung stimmt. Dafür braucht man sogenannte Äquivalenzumformungen. Die Regel ist einfach und logisch. Damit das Gleichungsverhältnis zwischen beiden Seiten immer gilt, muss ich genau das gleiche auf beide Seiten tun. Das ist wie eine Waage die im Gleichgewicht bleiben soll. Wenn ich 2 von einer Seite einer Gleichung subtrahiere, muss ich auch auf der anderen 2 subtrahieren, damit die Gleichung immer noch gilt. Wenn ich eine Seite durch zwei dividiere, das muss ich auch auf der anderen Seite mache. Die Regel klingt einfach, es zeigt sich aber, dass bei der Umsetzung viele Leute doch Probleme haben. Da gibt es nur einen Weg: Übung macht den Meister! Ziel ist immer, dass die gesuchte Variable allein auf eine Seite der Gleichung steht.

Umformungen sind allgemein nicht leicht zu kategorisieren. Man soll einfach die unterschiedlichen Regeln üben und lernen.

UmkehrrechnungenBearbeiten

Für jede Rechnungsart gibt es eine „Umkehrrechnungsart“ oder „Gegenrechnung“ (man sagt in Mathematik „die Kehrfunktion“).

Für Addition ist die Gegenrechnung die Subtraktion und umgekehrt.

Für Multiplikation ist die Gegenrechnung die Division und umgekehrt.

Für das Quadrat ist die Gegenrechnung die Wurzel und umgekehrt.

Für die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens) sind die entsprechenden Arcus-Funktionen (arcsin, arccos, arctan) die Gegenfunktionen und umgekehrt (wenn jemand hier das nicht versteht, wird er später erfahren, worum es geht...).

… und die Liste kann noch länger werden, aber wir hören jetzt hier auf...

Die Struktur als Baustein der mathematischen SpracheBearbeiten

Mathematik ist viel leichter, wenn man begreift, dass sie eine strukturierte Sprache ist. Ein Hauptmerkmal dieser Sprache ist, dass sie aus Bausteine besteht. Egal wie kompliziert eine Formel aussieht, wird die Lösung verständlicher und dadurch einfacher, wenn man in der Lage ist, die Bausteine zu erkennen und zu verstehen, welche Rolle jeder Baustein spielt und wie man mit jeder Art von Baustein arbeitet. Beispiele, die sowas klar machen, findet man hier mit Strichrechnungen, Punktrechnungen und ihrer Kombinationen, als auch in Wurzeln und Quadraten und wenn sich die gesuchte Variable im Nenner oder in mehreren Termen befindet.

Solche Beispiele werden hier mit LUMBS vermerkt (Lasst Uns Mit Bausteinen Spielen!).

Ein höheres Niveau der Struktur der mathematischen Sprache ist die Verschachtelung der Strukturen. Eine Struktur, die das klarmacht ist, wenn sich die gesuchte Variable in einer Summe im Nenner oder in einer Wurzel befindet. Diese Beispiele machen es klar, dass es keine Regel der Form "erst Strichrechnung, dann Punktrechnung" geben kann. Was aber doch in der Regel wichtig ist, ist den Term, der die gesuchte Variable beinhaltet, zu isolieren.

Einfache UmformungenBearbeiten

StrichrechnungenBearbeiten

Wenn die gesuchte Variable in einer Summe oder Differenz steht, dann soll man die entsprechende Gegenrechnung benutzen, damit die gesuchte Variable allein bleibt:

  1.   a + b = c dann: a = c – b
  2.   a – b = c dann: a = c + b

Hier ist die Struktur: gesuchte Variable plus oder minus irgendwas (das wir hier b genannt haben) ist gleich irgendwas (das wir hier c genannt haben). In diesem Fall muss man die Gegenstrichrechnung benutzen, um die gesuchte Variable zu isolieren.

Beispeil (LUMBS)

 

Gesucht ist a. Manche kann diese Gleichung verwirren, man soll aber einfach die Struktur erkennen können; und die Struktur ist ganz einfach:

Struktur: a + b = c mit

a: die unbekannte Variable,

b =  ,

c = 2,2

Die Lösung ist ganz einfach: a = c – b also:

  also

 

PunktrechnungenBearbeiten

Jetzt mit Punktrechnung:

  1.   a · b = c    dann:     
  2.          dann   a = b · c

Hier ist die Struktur: gesuchte Variable mal oder durch irgendwas (das wir hier b genannt haben) ist gleich irgendwas (das wir hier c genannt haben). In diesem Fall muss man die Gegenpunktrechnung benutzen, um die gesuchte Variable zu isolieren.

Beispiel LUMBS

Hier ist die Struktur: gesuchte Variable mal oder durch irgendwas (das wir hier b genannt haben) ist gleich irgendwas (das wir hier c genannt haben). In diesem Fall muss man die Gegenpunktrechnung benutzen, um die gesuchte Variable zu isolieren. Ein komplizierteres Beispiel:

 

Gesucht ist T. Manche kann diese Gleichung verwirren, man soll aber einfach die Struktur erkennen können; und die Struktur ist ganz einfach:

Struktur: T ⋅ b = c mit

T: die unbekannte Variable,

b =  ,

c = 2,2

Hier sieht man das Ganze klarer:

 

Die Lösung ist ganz einfach:   also:

 

 

 

Kombinationen von einfachen UmformungenBearbeiten

Allgemein: wenn die gesuchte Variable nur in einem Term vorkommt, der sich in einer Summe oder einer Differenz befindet, dann muss der Term mit der gesuchten Variable erst isoliert werden. In den folgenden Beispielen ist a immer die gesuchte Variable:


  • Beispiel

a · b + c = d

Schritte: Erst den Term mit der gesuchten Variable a isolieren (Strichrechnung):

a · b = d – c

und dann mit der Gegenpunktrechnung (hier Division) die gesuchte Variable isolieren:

 

  • Beispiel

Entsprechend:

 

Also wieder: Erst Term mit der gesuchten Variable isolieren (Strichrechnung):

 

und dann mit der Gegenpunktrechnung (hier Multiplikation) die gesuchte Variable isolieren:

a = (d + c) · b

Vorsicht hier. Man multipliziert beide Seiten mit b: die ganzen Seiten; also auf der rechten Seite sowohl mit d als auch mit c! Daher muss man (d+c) in Klammer setzen!

  • Beispiel

 

Wieder: Erst Term mit der gesuchten Variable isolieren (erst Strichrechnung)

 

In diesem Fall kann man den Bruch auch so schreiben:

 

Man kann hier mit der Gegenpunktrechnung (hier Division durch den Bruch) die gesuchte Variabel a isolieren. Division durch einen Bruch aber bedeutet Multiplikation mit dem Kehrwert. Also statt

 

kann man schreiben

     oder     

Aus dem gleichen Grund wie im vorherigen Beispiel setzt man hier wieder d und c in Klammer.


Kompliziertes Beispiel mit Kombination von einfachen UmformungenBearbeiten

     LUMBS

Gesuchte Variable ist hier T.

Versuchen wir erst die Struktur zu analysieren. Wo befindet sich die gesuchte Variable T? Sie befindet sich im Zähler eines Bruches ( ). Sie wird auch gleichzeitig mit irgendwas (mit  ) multipliziert. Der ganze Term ( ), der T beinhaltet, befindet sich innerhalb einer Summe (und Differenz), also 2,2 und   werden zu diesem Term addiert. Wenn man das mit den Strukturen, die wir schon gesehen haben, vergleicht, ist es leicht zu sehen, dass es nicht um eine Strich- oder Punktrechnung geht, sondern tatsächlich um eine Kombination. In dieser Kombination wird die gesuchte Variable mit etwas multipliziert, sie steht im Zähler eines Bruches und ihr ganze Term steht in einer Summe (oder Differenz). Wir müssen daher den Schritten der Struktur 5 folgen.

Erst den Term der gesuchten Variable T ( ) mit Gegenstrichrechnung isolieren:

 

Hier können wir noch etwas lernen: um das Vorzeichen der rechten Seite (Minus) zu ändern (Minus zum Plus), muss man (beide Seiten selbstverständlich) mit -1 multiplizieren:

 

Vorsicht: die Vorzeichen auf der linken Seite sind jetzt anders! In der linken Seite kann man wohl die Reihe der Summanden ändern. Die rechte Seite kann man auch wie im Folgenden schreiben:

 

Wir können jetzt den nächsten Schritt wagen und durch den Bruch dividieren oder noch besser, mit seinem Kehrwert   multiplizieren!

 

Wenn man unbedingt auf der rechten Seite die gefragte Variable sehen will, geht das auch, man kann immer die ganze rechte mit der ganzen linken Seite austauschen!

 

Gesuchte Variable im NennerBearbeiten

Einfaches Beispiel mit der gesuchten Variabel im NennerBearbeiten

 

(Fast) Diese Gleichung haben wir auch wieder gesehen. Nehmen wir aber hier wieder eine andere Variable als gesuchte, nämlich b. Wenn die gesuchte Variable sich im Nenner befindet, müssen wir sie im Zähler bringen, wir müssen also beide Seiten mit dieser Variable multiplizieren. Aber Geduld! Es ist doch günstiger, erst den Term, der die gesuchte Variable im Nenner beinhaltet, zu isolieren. Also in diesem Beispiel:

 

Jetzt kann man mit b multiplizieren (Vorsicht aber!: jede Seite als Ganze, also die rechte Seite hier in Klammer):

 

Hier haben wir wieder eine einfache struktur, also wir müssen durch (d-c) dividieren:

 

(jetzt, dass wir es wissen, haben wir auf einmal auch die linke mit der rechten Seite vertauscht!)

Gesuchte Variable in einer Summe im NennerBearbeiten

 

Hier ist die gesuchte Variable wieder b. Weil die gesuchte Variable sich im Nenner befindet, müssen wir sie im Zähler bringen. In diesem Fall aber, weil eine Summe ein "Baustein" der Struktur ist, müssen wir mit der ganzen Summe multiplizieren. Aber Geduld! Wie immer ist es doch günstiger, erst den Term, der die gesuchte Variable im Nenner beinhaltet, zu isolieren. Also in diesem Beispiel:

 

Jetzt kann man mit der Summe im Nenner multiplizieren (Vorsicht aber!: sowohl die Summe als auch jede Seite als Ganze, also die rechte Seite und die Summe des Nenners in Klammer):

 

Hier haben wir wieder eine einfache Struktur (Punktrechnungen 2), also wir müssen durch (d-c) dividieren:

 

(wir haben wieder auf einmal die linke mit der rechten Seite vertauscht!)

Der letzte Schritt ist ganz einfach: g subtrahieren.

 

Dieses Beispiel macht klar, was mit Verschachtelung am Anfang des Artikels gemeint wurde. Die gesuchte Variable befindet sich zwar in einer Summe, aber im Nenner eines Bruches. Erst muss man daher diesen Term (also den Bruch) isolieren, dann den Nenner oben bringen und am Ende mit der Summe des (nicht mehr) Nenners arbeiten.

Kompliziertes Beispiel mit der gesuchten Variable im NennerBearbeiten

Schauen wir ein Beispiel (LUMBS), das etwas verwirrend wirken kann:

 

Überraschung! Noch einmal die gleiche Gleichung! Nun ändern wir wieder die gesuchte Variable. Nehmen wir diesmal m. Das wird jetzt hart sein.

Die Variable m ist im Nenner, also wir müssen sie „oben“ bringen. Aber, schon gesagt, die gute Sache braucht ihre Zeit. Erst müssen wir den Term, der die gesuchte Variable beinhaltet   isolieren. Machen wir es (fast) genau wie vorher:


 

Schon entdeckt? Hoffentlich! Wir hatten links drei Terme in einer Summe gehabt und wir haben zwei davon ( a und  ) rechts gebracht (mit dem Gegenvorzeichen). Jetzt erst dürfen wir die gesuchte Variable m vom Nenner nach „oben“ bringen (also beide Seiten mit m multiplizieren):

 

Wenn es jemandem nicht aufgefallen ist: wir haben wieder was vorher auf der rechten Seite war in Klammer gesetzt. Wir müssen ja immer die ganze Seite mit m multiplizieren.

Jetzt haben wir endlich wieder eine ganz einfache Struktur (auch wenn es nicht so aussieht), Punktrechnungen. Dividieren wir also durch die Klammer der rechten Seite (also durch  ):


 

Die Klammer im Nenner des Bruches unten ist hier nicht notwendig.

Wenn man vollständig sein will, dann muss man den letzten Bruch auch vereinfachen. Damit ist gemeint, dass der Doppelbruch zu einfachem Bruch umgewandelt werden muss. Wir werden hier nicht in Detail den Vorgang erklären. Die Grundidee ist, dass im großen Bruch sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Bruch steht. Dafür braucht man hier die drei Terme (  , 2,2 und a) des Nenners des großen Bruches auf den gleichen Nenner (d) bringen:


 


 

Den großen Bruch können wir jetzt als Division von Brüchen schreiben:

 

und wie hoffentlich schon bekannt, Division durch einen Bruch ist wie Multiplikation mit seinem Kehrwert, also:

 

und daher ist das Ergebnis:

 

Vielleicht sieht das schwer aus, wenn man aber doch versteht, wie die Struktur funktioniert, dann ist ist es nicht mehr so schwer. Es geht doch um die Struktur und diese haben wir schon gesehen und sie war nicht so schwer. Man soll einfach im Kopf eine ganze Reihe von Symbole als eine Sache darstellen (also z.B. hier     als eine Sache nennen, sagen wir b. Dann geht es viel leichter!

Wurzel und QuadratBearbeiten

  1.     dann     
  2.     dann     

Das ist wieder eine einfachere Struktur. Hier ist wieder a die gesuchte Variable. Ein paar Beispiele dazu:

Kompliziertes Beispiel mit der gesuchten Variable in einer WurzelBearbeiten

        (LUMBS)

Wie immer, wenn die gesuchte Variable (hier a) sich nur in einem Term befindet, muss man diesen Term erst isolieren. Der Term befindet sich innerhalb einer Summe, also benutzen wir die Gegenstrichrechnung:

 

Wenn die gesuchte Variable in einer Wurzel oder in einem Quadrat steht, dann muss man dies isolieren. In diesem Beispiel wird die Wurzel mit d multipliziert. Also dividieren wir durch d, damit die Wurzel allein bleibt.

 

Man soll normalerweise auch den Doppelbruch vereinfachen:

 

Damit wir jetzt die gesuchte Variable aus der Wurzel „befreien“, müssen wir beide Seiten quadrieren:

 

Jetzt haben wir wieder eine ganz einfache Struktur, also benutzen wir die Gegenstrichrechnung:

 

Dieses Beispiel macht wieder klar, was mit Verschachtelung am Anfang des Artikels gemeint wurde. Die gesuchte Variable befindet sich zwar in einer Summe, aber in einer Wurzel. Erst muss man daher diesen Term (also den Term, der die Wurzel beinhaltet) isolieren, dann die Wurzel allein lassen, dann quadrieren und am Ende mit der Summe in der (nicht mehr) Wurzel arbeiten.

Wir haben hier auch absichtlich in der Summe einen komplizierten Term benutzt      um zu zeigen, dass es absolut keine Rolle spielt, wie kompliziert die anderen Terme der Summe aussehen. Im Kopf soll man immer denken, dass      eine Sache ist. Man kann sogar im Kopf oder geschrieben das ganze durch ein einziges Symbol ersetzen (z.B. z) und damit arbeiten und am Ende wieder den Term von Anfang einsetzen:

          mit           dann:

 

Wir haben also den Term       durch z ersetzt. Dadurch wird die Struktur ganz durchsichtig. Man muss einfach erst z subtrahieren:

 

Dann durch d dividieren:

 

Quadrieren:

 

Und c addieren:

 

Jetzt kann man wieder z durch den Term       ersetzten und vereinfachen:

 

Gesuchte Variable in mehreren TermenBearbeiten

a∙b + a∙c +d - a∙g- f = e

Gesucht ist wieder a. Man braucht irgendwie a allein haben. Dafür lässt man zuerst alle Terme die a beinhalten auf einer Seite und den Rest auf der anderen:

a∙b + a∙c - a∙g = e-d+f

Damit jetzt a allein in einem Term bleibt, kann man nur a herausheben:

a∙(b+c-g) = e-d+f

Dann haben wir wieder eine einfache Struktur (Struktur 2). Man soll einfach durch die Klammer dividieren:

 

Regel: Wenn sich die gesuchte Variable in mehreren Termen befindet, muss man alle Terme mit der Variable auf einer Seite bringen, den Rest auf die andere und die gesuchte Variable herausheben.

Diese Struktur wirkt am öftesten verwirrend, besonders wenn die verschiedenen Terme etwas komplizierter sind (LUMBS).

 


Hier ist wieder a die gesuchte Variable. Man soll erst herausfinden, in welchen Termen sich a befindet:

 

Diese Terme soll man auf der linke Seite allein lassen und sie gleichzeitig in der Form a mal irgendwas schreiben:

 

Jetzt kann man a herausheben:

 

Dann haben wir wieder die einfache Struktur 2. Man soll einfach durch die Klammer dividieren:

 

Eh Voila! Das war es. Man soll selbstverständlich auch den Doppelbruch vereinfachen:

 

ZusammenfassungBearbeiten

Beim Umformen ist unsere erste Aufgabe den Term (oder die Terme) mit der gesuchten Variable zu isolieren (allein auf einer Seite lassen).

In den folgenden Gleichungen ist immer m die gefragte Variable. In der ersten Spalte sieht man eine Gleichung. Für jede Gleichung haben wir in der zweiten Spalte den Term (bzw. die Terme) mit der gesuchten Variable in einem Rahmen und die gesuchte Variable mit Rot hervorgehoben. In der letzten Spalte sieht man dann diesen Term (bzw. diese Terme) allein auf einer Seite, während alle andere Terme sich auf der anderen Seite befinden.

 
     
   
 
   
   
 
     
   
 
     
   
 
   
   

Man sieht in diesen Beispielen, dass der Term mit der gesuchten Variable von den anderen Summanden isoliert wird. Wenn man diesen Schritt schon gemacht hat, sind die weiteren Schritten viel einfacher. Im Folgenden werden wir immer mit der Gleichung der jeweiligen letzten Spalte anfangen.

 

 

Als Ganzes bedeutet also hier die linke Summe in Klammer zu setzen. Man dividiert dann durch die Klammer und dann haben wir schon das Ergebnis!

     oder in einem Bruch:        


  • Im zweiten Fall

 

muss man zuerst durch a dividieren und dann Wurzel ziehen. Das Ergebnis ist dann:

 

    oder in einem Bruch geschrieben:       


 

Es gibt verschiedenen Möglichkeiten das Minus weg zu kriegen (z.B. mit -1 multiplizieren). Wir ziehen aber hier vor, das Minus in den Nenner zu bringen, was dazu führt, dass sich die Vorzeichen ändern (also anstatt     haben wir  ). Wir arbeiten dann wie im ersten Fall aber mit dem Nenner als Ganzes:

       und das Ergebnis ist:       


 

Man muss also die gesuchte Variable zuerst herausheben:

 

und dann durch die dadurch entstandenen Klammer dividieren. Das Endergebnis (wenn man auch den Doppelbruch vereinfacht) ist:

 


  • Im fünften Fall befindet sich die gesuchte Variable innerhalb einer Wurzel im Nenner.

 

Man soll zuerst den Nenner "oben" bringen, also mit dem Nenner multiplizieren

 

Als zweites soll die Wurzel allein auf einer Seite bleiben:

 

Dann soll man die Wurzel "auflösen", in dem man beide Seiten quadriert:

 

Jetzt steht die gefragte Variable m (quadriert) in einer Summe rechts. Man soll sie erst "isolieren":

 

und dann einfach Wurzel ziehen:

 

Oft vorkommende FehlerBearbeiten

  • Im folgenden Beispiel

   (gefragt ist m)

kommt es oft vor, dass man erst mit den Nenner (k-m) multipliziert. Die Idee ist zwar nicht falsch, die Personen die aber so anfangen, neigen dazu, folgenden Fehler zu machen

   FALSCH

Der Fehler hier besteht darin, dass man die Linke Seite nur teilweise mit dem Nenner multipliziert hat. Man soll auch die anderen Summanden in der linken Seite mit dem Nenner Multiplizieren:

   RICHTIG aber AUFWENDIG

Dieser Variante ist zwar richtig, aber doch aufwendiger. Man soll dann alle Terme mit der Klammer mit der unbekannten Variabel auf die andere Seite bringen und diese Klammer herausheben. Um das zu vermeiden, ist es doch günstiger, den Term mit der unbekannte Variable erst zu isolieren, wie wir es im vorherigen Absatz gezeigt haben.


  • Im folgenden Beispiel

   (gefragt ist m)

kommt es wieder oft vor, dass man erst mit den Nenner   multipliziert. Aus den eben erklärten Gründen sollte man das vermeiden und erst den Term mit der unbekannte Variable isolieren:

 

Was hier aber dazu auch oft falsch gemacht wird, ist das "Kürzen" der Wurzel:

   FALSCH

MAN KANN NICHT DIE WURZEL VON SUMMEN VON QUADRATEN "KÜRZEN". Einfachstes Beispiel, dass dagegen spricht:    ist nicht so viel wie 1+1(!) sondern  !


Oft kommt auch vor, dass man durch den Zähler ω1 dividiert (oder sogar multipliziert!) und dann schreibt:

   FALSCH

Das richtige in diesem Fall ist:

   RICHTIG aber AUFWENDIG

Der günstigste Weg wurde schon im letzten Absatz gezeigt.