Mathematrix: Alle Aufgaben nach Thema

Grundrechenarten und Bruchrechnungen

Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Dividieren Sie die Zahl 34 um 5 erhöht durch die Differenz von 17 und 4! Berechnen Sie die Summe von 4 und 3 und multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Zahl 31 um 25 reduziert! Addieren Sie zum Produkt aus 3 und 7 das 5-fache von 4! Teilen Sie die Zahl 63 auf 7 und subtrahieren Sie aus dem Ergebnis den Quotient von 39 und 3!

Vorrang der Rechenarten

Grundrechenartenvorrang

$\ 96:(3\cdot 5-23)+(-13)-(91:7-17)\cdot 2\$ $\ 63:(2\cdot 11-30:2)-(90:5-3\cdot 6)\cdot 4$ $\ (4\cdot 11-54:6):(39:3-2\cdot 9)$

Vorrang mit Klammern in Klammern

$\ -(+13)-[96:(3\cdot 5-23)+4]:(-4)-(+15-43)+(91:7-4\cdot 3{,}5)\cdot 2+(+11)\$

Bruchrechnungen

Gemischte Zahlen

Gemischte Zahl in unechten Bruch: $4{\frac {4}{9}}\ \qquad \ 9{\frac {3}{13}}\ \qquad \ 1{\frac {5}{7}}\ \$ Unechten Bruch in gemischte Zahl ${\frac {392}{11}}\ \qquad \ {\frac {56}{8}}\ \qquad \ {\frac {133}{12}}\ \$ Subtraktion: $4-{\frac {25}{9}}\ \quad \ 9-{\frac {3}{13}}\ \quad \ {\frac {13}{7}}-3\ \quad \ {\frac {23}{5}}-1\$

Bruchkürzen

Kürzen Sie folgende Brüche! $\ {\frac {6}{15}}=\qquad$ $\ {\frac {15}{35}}=\qquad$ $\ {\frac {21}{14}}=\qquad$ $\ {\frac {35}{14}}=\qquad$ $\ {\frac {42}{24}}=\qquad$

Strich und Punkt Bruchrechnungen

$\ {\frac {5}{13}}-{\frac {2}{13}}\qquad \qquad$ $\ {\frac {5}{4}}+{\frac {2}{3}}\$ ${\frac {5}{4}}\cdot {\frac {3}{7}}\qquad \qquad \quad$ $\ {\frac {5}{4}}:{\frac {3}{7}}\$

Doppelbrüche

$\quad$ ${\dfrac {\ {\frac {2}{3}}-{\frac {3}{4}}\ }{{\frac {3}{5}}-{\frac {3}{4}}}}$ $\quad$

Bruchrechnungen und Vorrang

${\frac {2}{3}}+\left({\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}\right)\cdot \left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)$

Textaufgaben zu den Bruchrechnungen

Manche Parteien behaupten, dass Leistung (allein?) belohnt werden soll und gleichzeitig, dass Vermögen nicht versteuert werden soll. Hier eine Aufgabe, die den Widerspruch zwischen den Behauptungen zeigen kann. In einem Staat mit 8,46 Millionen Einwohner trinkt jeder Einwohner durchschnittlich vier Neuntel Liter Milch täglich. Wie viel Liter werden dann täglich konsumiert? Der Gewinn für die Eigentümer ist 0,8¢/Liter Milch. Wie viel ist der tägliche Gewinn? Finden Sie ihn gerechtfertigt? $\quad$In einem anderen Staat gibt es 4 Supermarktketten. $\quad$Zusammen gewinnen die Eigentümer 105000€ täglich. $\quad$Eigentümer A bekommt zwei Fünftel des Gewinns, $\quad$Eigentümer B ein Drittel und den Rest teilen die anderen$\quad$ $\quad$zwei Eigentümer C und D. Wie viel gewinnt täglich jeder $\quad$Eigentümer? Finden Sie den Gewinn gerechtfertigt?

Primfaktorzerlegung

Anwendungen

Kürzen mit Primfaktorzerlegung

$\ {\frac {6664}{8820}}=\qquad$ $\ {\frac {15288}{16632}}=\qquad$ $\ {\frac {53361}{47124}}=\qquad$

Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung

${\frac {41}{120}}-3{\frac {11}{36}}+2{\frac {237}{300}}$

Schluss und Prozentrechnung

Direkte Proportionalität

Ein Supermarktketteneigentümer macht 0,09 € Gewinn pro Zwölfflaschenkiste eines Biers. Wie viel ist sein tägliches Gewinn aus diesem Bier, wenn im ganzen Land täglich 264000 Flaschen Bier verkauft werden? Wie viele Flaschen Bier müssen verkauft werden, damit sein Gewinn 990 € ist?

Indirekte Proportionalität

3 Arbeiter brauchen 15 Stunden, um ein Haus mit Fliesen zu verlegen. Wie viel Zeit brauchen dann 5 Arbeiter?

Vergleich direkter und indirekter Proportionalität

Nach heutigem Stand der Wissenschaft gibt es eine bestimmte Grenze am Energieverbrauch auf der Erde. Nehmen wir an, dass bei 7 Milliarden Menschen dies einen durchschnittlichen Stundenenergieverbrauch von 3 kWh pro Person ist. Wie viel wäre er in 33 Minuten? Wie viel wäre der durchschnittliche Stundenenergieverbrauch bei 5,4 Milliarden Menschen, wenn der gesamte Energieverbrauch gleich bleiben würde? Bei welcher Bevölkerung wäre der durchschnittliche Stundenenergieverbrauch 16,8 kWh, wenn der gesamte Energieverbrauch gleich bleiben würde? Wie viel wäre der durchschnittliche Energieverbrauch pro Person bei 5,4 Milliarden Menschen und in 570 Minuten, wenn der gesamte Energieverbrauch gleich bleiben würde?

Grundaufgaben der Prozentrechnung

Wie viel % von 23 kg sind 5329 kg? Wie viel ist 23% von 5329 kg? Von wie vielen kg sind 23 kg 5329%?

Vertiefende Aufgaben der Prozentrechnung

Prozentrechnung bei Wachstum oder Zerfall

Das Gehalt eines Beamten war 1800€ und wurde um 2,5% gekürzt. Berechnen sie das neue Gehalt! Um wie viel € wurde das Gehalt gekürzt?

Umkehraufgaben der Prozentrechnungv

Der pro Kopf Energieverbrauch in Deutschland ist zwischen den Jahren 2000 und 2011 um 20% auf 5,4 kW gestiegen. Wie viel war er im Jahr 2000?

Kombinationsaufgaben der Prozentrechnung

Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films! Ist der Film insgesamt länger oder kürzer geworden und um wie viel Prozent?

Prozentrechnung abstrakt

In den folgenden Beispielen gehen wir davon aus, dass es in der Bevölkerung so viele Männer gibt wie Frauen. Der Anteil der Raucher unter der Bevölkerung ist 27,5%. Der Anteil der Raucher unter den Männern ist 35%. Wie viel ist der Anteil der Raucherinnen unter den Frauen? Die Lebenserwartung der Bevölkerung ist 80 Jahre. Die Lebenserwartung der nicht-Raucher ist 82,4 Jahre. Wie viele Jahre weniger ist die Lebenserwartung der Rauchenden in Vergleich zu den nicht-Rauchenden Personen? Wäre das Rauchen die einzige Erklärung für den Unterschied der Lebenserwartung zwischen den beiden Geschlechtern, wie viel Jahre wäre diese für Männer und für Frauen? Welche Information ist noch notwendig, um den Einfluss des Rauchens auf den Lebenserwartungsunterschied zwischen den Geschlechtern genauer zu bestimmen? Wenn wir letztere Information haben, was ist noch notwendig, um zu entscheiden, ob das Rauchen bei dieser Frage tatsächlich der einzige bestimmende Faktor ist? Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit tatsächlichen offiziellen Statistiken!

Umsatzsteuer (USt.) und Rabatt

Umsatzsteuer (USt.)

Der Nettoverkaufspreis einer Ware ist 50 €, die USt. 12%. Berechnen Sie den Bruttoverkaufspreis und die USt..

Rabatt

Der Verkaufspreis einer Ware nach 15% Rabatt ist 56,1€. Berechnen Sie den Bruttoverkaufspreis.

USt. und Rabatt Kombination

USt. und Rabatt Gegebener Anfangswert

Mathematrix: Aufgabensammlung/ USt. und Rabatt Gegebener Anfangswert

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USt. und Rabatt Gegebener Endwert

Der Verkaufspreis einer Ware nach 15% Rabatt ist 56,1€. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis , wenn die USt. 10% ist. Wie viel € ist der Rabatt bzw. die USt.?

Zinsen und Kapitalertragssteuer (KESt.)

KESt., effektive Zinsen, Guthaben nach einem Jahr

Im Jahr 2013 war das Guthaben in einem Konto 6368,53€, der Zinssatz 0,6%. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2014?

Zinsen Umkehraufgaben

Im Jahr 2013 war das Guthaben in einem Konto 6368,53€, der Zinssatz 0,6%. Wie viel war das Guthaben im Jahr 2012?

Zinsrechnung

Im Jahr 2013 war das Guthaben in einem Konto 6368,53€, der Zinssatz 0,6%. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2014? Wie viel war das Guthaben im Jahr 2012? Wie viel wäre das Guthaben im Jahr 2058?

Exponential und Logarithmus Funktion

Wachstums- und Zerfallsprozessen

Wachstum

China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2466, wenn das Wachstum gleich bliebe?

Zerfall

Das Iod-Isotop 131I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) wird täglich um 8,3% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

Zinseszins

Im Jahr 2013 war das Guthaben in einem Konto 6368,53€, der Zinssatz 0,6%. Wie viel war das Guthaben, die Zinsen, die effektiven Zinsen und die KESt. im Jahr 2014? Wie viel war das Guthaben im Jahr 2012? Wie viel wäre das Guthaben im Jahr 2058?

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Exponentialfunktion und Logarithmus

Wie viel ist die gesuchte Variable in den folgenden Aufgaben? $e^{\lambda }=2\quad$ $\ln a=-1\quad$ ${\text{log}}_{7}v=7\quad$ $5^{b}=0{,}5$ $5^{4}=e^{4\lambda }$

Arbeiten mit Logarithmen

Rechenregeln zwischen Logarithmen

Zerlegen Sie folgenden Ausdruck unter Verwendung der Logarithmusregeln in den möglichst einfachsten Logarithmanden. $\log _{b}\left(a^{3}{\frac {b+c}{b^{m}}}\right)^{v}$ Fassen Sie folgenden Ausdruck unter Verwendung der Logarithmusregeln in einen Logarithmanden. $4\ln c-d\ln 6+5$

Exponentialfunktion Diagramm

Die allgemeine Exponentialfunktion lautet: $f(x)=ae^{bx}+c$ Geben Sie die Parameter a,b,c der roten Funktion im Bild an. Zum Vergleich die Funktion $e^{x}$ (schwarz)

Arbeiten mit Termen

Potenzen

Potenz Rechenarten

Punktrechnungen von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Schreiben Sie folgende Terme als eine Potenzzahl auf! Schreiben Sie folgende Terme als eine Potenzzahl auf! $\quad {a^{-7}}\cdot {a^{5}}\quad \qquad$ $\quad {4^{3}}\cdot {4^{b}}$ $\quad {\frac {c^{5}}{c^{9}}}\qquad \qquad$ $\quad {\frac {w^{-8}}{w^{-5}}}$

Potenzen mit negativer Hochzahl

Schreiben Sie folgende Terme ohne Bruch auf! $\ \ {\frac {1}{6^{x-4}}}=\quad$ $\ \ {\frac {3\cdot 7^{3u+4}}{7^{5u-8}}}=\quad$ $\ \ {\frac {5}{z^{-d}}}=\quad$

Potenzen Erklärung

Warum ist$\ a^{0}=1$?

Komplexe Beispiele mit Potenzzahlen

Vereinfachen Sie! ${\left(b^{3 \over 7}\right)}^{28 \over 9}$ ${\left({\sqrt[{35}]{w^{-5}}}\right)}^{-14}$ $\left(\left(b^{3 \over 5}\right)^{3}\cdot {\sqrt[{5}]{b^{6}}}\cdot b^{-2}\right)^{29}$ ${\dfrac {\sqrt[{3}]{{\Bigl (}b^{15 \over 7}{\Bigr )}^{28}}}{b^{3} \over b^{-8}}}$

Klammer Auflösen

Aufgaben mit einer Klammer

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Aufgaben mit einer Klammer

Aufgaben mit 2 Klammern

Mathematrix: Aufgabensammlung/ Aufgaben mit 2 Klammern

Ausmultiplizieren mit einer oder zwei Klammer

Lösen Sie die Klammer auf und fassen Sie die daraus entstandenen Termen ggf. zusammen! $\ 2x^{2}(3x^{5}-7+5x)\ \quad$ $\ (2m^{2}-5)(3m^{2}-4)$

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Herausheben

Faktorisieren Sie, so weit es mit natürlichen Zahlen geht: $45\ b^{4}y^{2}n^{7}-30\ y^{5}n^{9}-75\ b^{8}y^{8}n^{8}+105\ b\ y\ n^{7}$

Binomische Formeln

Binomische Formeln ausmultiplizieren

Multiplizieren Sie folgende binomische Formeln aus: $\ \left(a^{3}-4\right)^{2}\qquad$ $\ \left(5\ x^{2}+4\ z^{2{,}5}\right)^{2}\quad$

Binomische Formeln faktorisieren

Faktorisieren Sie folgende Terme: $\ 169\ a^{8}-52\ a^{4}+4\qquad$ $\ 81\ x^{4}+180\ x^{2}\ z^{4{,}5}+100\ z^{9}\quad$

Binomische Formeln erkennen

Können folgende Ausdrücke als binomische Formeln faktorisiert werden? Wenn nicht, was könnte geändert werden? $\ 169\ a^{8}-52\ a^{4}+16$ $\ 81\ x^{4}+180\ x^{2}\ z^{4{,}5}+100\ z^{9}$

Das pascalsche Dreieck Binompotenzen

Multiplizieren Sie mit Hilfe des pascalschen Dreiecks folgendes Binom aus: $\ (5x^{3}-7z^{2})^{4}\quad$

Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Berechnen Sie jeweils die unbekannte Variable! $\ c+4452=341\qquad$ $\ {\tfrac {k}{5}}=11\qquad$ $\ 3f=114\qquad$ $\ x-867=341\qquad$ $\ 23m=214\qquad$ $\ 11w=214\qquad$

Umformen einfache Kombinationen

Formen Sie auf die unbekannte Variable um! $5(2x-7)=2x+5$

Komplexe Umformungen

${\sqrt {p}}+c_{L}\cdot {\frac {m\cdot v^{2}}{2\cdot k_{B}\cdot T}}-{\frac {t-s}{w-z}}=2,2$ Formen Sie diese Formel auf z, m, v, T, p, t, s, kB, cL um!

Bruchterme kürzen

Kürzen Sie folgenden Bruchterm: ${\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}$

Bruchtermegleichungen

Finden Sie die Definitions- und die Lösungsmenge der folgenden Bruchtermegleichung ${\frac {2x-4}{x^{2}-4}}-{\frac {3x}{x^{2}-x}}={\frac {3x-13{,}5}{x^{2}-1}}$

Zahlendarstellungen Mengentheorie und Aussagenlogik

Zahlenmengen

Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen? $\quad$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {I}$ $\mathbb {R}$ $\textstyle {\frac {5}{13}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle {\frac {26}{13}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle -{\frac {\sqrt {5}}{13}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ ${\sqrt {7}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $-{\sqrt {196}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ ${\sqrt {-4}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ ${\sqrt {169}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\textstyle -{\frac {26}{13}}$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$ $\quad$

Mengenlehre

Mengenlehre Aufgabebeispiel

Im Diagramm sind mit S1 die Mathematik-StudentInnen gemeint, die Analysis gewählt haben, mit S2 diejenige, die lineare Algebra gewählt haben und mit S3 diejenige, die Zahlentheorie gewählt haben. Die Anzahl der Personen, die durch die weiteren Buchstaben dargestellt werden ist: A=6, B=9, C=13, D=3, E=20, F=33 und G=1. Wie viele Personen haben alle drei Fächer gewählt? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G. Wie viele Personen haben Analysis oder Zahlentheorie gewählt, ohne lineare Algebra gewählt zu haben? Beschreiben Sie diese Menge mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3. Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G. Was soll in diesem Zusammenhang $\left(S1\bigcup S2\right)\setminus S3\$bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm! Was soll in diesem Zusammenhang $\left(S3\bigcap S1\right)\setminus S2\$bedeuten? Wie viele Personen sind es? Beschreiben Sie die gleiche Menge auch mit Hilfe der Mengen A, B, C, D, E, F, G und kennzeichnen Sie diese Menge im Diagramm! Wie wurden Sie die Menge D mit Hilfe der Mengen S1, S2 und S3 schreiben? In einer Klasse mit 19 Personen wählen 11 die Partei G, 7 stammen aus dem Ort T und 4 haben keine der beiden Eigenschaften. Tragen Sie in Diagramm die richtigen Anzahlen! Wie viel Prozent der Personen haben beide Eigenschaften?

Aussagenlogik

Wahrheitstabellen

Seien $a,\ b,\ c\$ logische Aussagen. Erstellen Sie die Wahrheitstabelle für den Ausdruck: $(a\Rightarrow c){\dot {\lor }}(b\land c)$

Mengenlehre und Aussagenlogik

Wie wird die Menge $(A\cup B)\setminus C$ mit Hilfe der Symbolik der Aussagenlogik ausgedruckt?

Einheiten

Einheiten und physikalische Größen

Ordnen Sie die passenden Einheiten zu den entsprechenden physikalischen Größen richtig zu: Länge einer Zunge $\qquad$ $\$cm³ Dauer eines Filmes $\$km Dauer eines Herzschlags $\$m Länge eines Zuges $\$h Abstand zwischen Paris und Rom$\quad$ $\quad$ $\$s Volumen einer Spritze $\$cm

Einheiten Umwandeln

Einheiten ohne Hochzahl

Rechnen Sie um: 537 km in cm 537 mm in m 837 min in h 0,00047 t in g 0,032 Tage in s

Einheiten mit Hochzahl

Rechnen Sie um: 537 km² in dm² 537 mm³ in dm³ 537 dm² in km² 0,000537 km³ in dm³ 0,032 dm² in m²

Komplexes Beispiel zur Umwandlung von Einheiten

Laut einer Definition der Meile sind 5 Meilen gleich 8 Kilometer. Rechnen Sie 45 Meile/min in km/h um. Rechnen Sie 20 m/s in Meilen/h um.

Vorsilben Gleitkommadarstellung

Vorsilben und Gleitkommadarstellung

In den folgenden Beispielen finden Sie die unbekannte Hochzahl (x). A) 0,00004 nF = 400 · 10x kF $\qquad$ B) 87000 pV = 0,000087 · 10x MV C) 534 GW = 5340000 · 10x kW $\quad$ D) 0,038 THz = 380000 · 10x mHz E) 440 cm³ = 0,000044 · 10x m³ $\quad$ F) 670000000 dm² = 0,00067 · 10x km²

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Lageparameter

Lageparameter

Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall?

Vergleichen von Mittelwerten

Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall? Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen?

Mittelwerte Argumentationsaufgaben

Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie? Wie viel ist der Median und der Modus in diesem Fall? Vergleichen Sie Durchschnitt mit Median. Was können Sie über die Verteilung sagen? Wird die Verteilung durch diese Maßnahme gleichmäßiger? Wird sie dadurch gerechter? Es wird oft erwähnt, dass China im Jahr 2018 den größten CO2 Ausstoß hat. Was hat unseres Beispiel mit diesem Vergleich von China mit anderen Staaten zu tun? Was sollte man eigentlich vergleichen?

Streumaßen

Streuungsmaßen um den Median (den Zentralwert)

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für die folgenden Werten: 11, 14, 42, 0, 11, 14, 22, 9, 25, 10, 25, 28, 18. Geben Sie in den folgenden Diagrammen den Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite, die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Baumdiagramm

In einer Urne gibt es 5 schwarze und 4 rote Kugeln. Wir ziehen drei mal zufällig jeweils eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass: alle 3 Kugel rot sind? die ersten zwei schwarz und die dritte rot sind? wir zwei schwarze und eine rote Kugel ziehen? wir zwei rote und eine schwarze Kugel ziehen? das Letztere passiert, wenn wir doch zurücklegen?

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Binomialverteilung

In einer Tierart ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weibliches Tier geboren wird, 55%. Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 8 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass 3 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung nach 11 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten 9 weibliche Tiere geboren werden? Was ist das wahrscheinlichste Ergebnis? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten höchstens 10 weibliche Tiere geboren werden? Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten mehr als 7 weibliche Tiere geboren werden?

Normalverteilung

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Erwartungswert und Standardabweichung

Nehmen wir an, dass das Todesalter der Menschen Normalverteilt mit $\mu =80{,}2\ {\text{Jahre}},\ \sigma =7{,}7\ {\text{Jahre}}$ ist. Ein Todesalter oberhalb von 90 Monate mehr und unterhalb von 90 Monate weniger als die Lebenserwartung gilt als "später" bzw. "früher" Tod. Welcher Anteil der Todesfälle ist weder spät noch früh? Welches Alter wird von höchstens 75% der Menschen erreicht? Füllen Sie die fehlenden Werte in den Kästchen aus! Welche Eigenschaften hat der Punkt E? Zeichnen Sie eine Verteilung mit kleinerem $\mu$ und kleinerem $\sigma$ Veranschaulichen Sie in der Abbildung die Wahrscheinlichkeit, dass das Todesalter unterhalb von 89 Jahren liegt! Im nebenstehenden Bild endet die markierte Fläche an der Stelle 4,7. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert höchstens 4,7 ist! Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen 3,3 und 4,7 liegt! Skizzieren in einem Koordinatensystem eine Verteilung mit dem Erwartungswert 5,5 und die Standardabweichung 0,8!

Anwendung der Normalverteilung bei gegebenen Grenzwerten

Eine Bäckerei produziert Baguettes. Auf der Verpackung steht 450 g. Die Standardabweichung der Masse bei der Produktion ist 12 g. Wie viel muss der Erwartungswert sein, damit weniger als 3,5 % der Produktion unterhalb von 450 g bleibt? Wie viel muss die Standardabweichung (also die "Genauigkeit" der Produktionsmaschine) sein, damit 96 % aller Baguettes mehr als 450 g sind, wenn der Erwartungswert 483 g ist?

Normalverteilung und Funktionen

Bei einer Normalverteilung hat man festgestellt, dass die Standardabweichung vom Erwartungswert linear abhängig ist: $\textstyle \sigma ={\frac {\mu }{200}}+8$. Wie viel müssen Standardabweichung und Erwartungswert sein, damit 99 % der Werte oberhalb vom Wert 445 bleibt?

Satz von Bayes

Satz von Bayes konkretes Beispiel

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%, in Südafrika hingegen ca. 20%. Wie viel ist Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist, in diesen Regionen? Bevölkerung DE Raum ca. 100 Mil., Südaf. ca 55 Mil.

Satz von Bayes abstraktes Beispiel

Die Sensitivität des gewöhnlichen AIDS Tests ist ca. 99,9%, die Spezifität ca. 99,8%. Die Prävalenz im deutschsprachigen Raum ist ca. 0,15%. Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit beim positiven Test, dass die Person tatsächlich krank ist? Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test in der Bevölkerung positiv ist, 0,34955 % ist.

Regression Korrelation

Geben Sie die beste Annäherung der folgenden Daten durch eine Regressionsgerade als lineare Funktion an! Was zeigt uns der y-Achsenabschnitt in diesem Fall? Was zeigt uns die Steigung? Wie viel ist der Korrelationskoeffizient? Ist das lineare Modell für die Darstellung des Zusammenhangs geeignet? Wöchentliche Sexhäufigkeit ${\tfrac {1}{4}}$ 3 17 1 ${\tfrac {1}{2}}$ 6 Todesalter 79 82 83 79 75 80

Geometrie der Ebene

Anwendung der Formeln

Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie

Berechnen Sie in den folgenden Aufgaben jeweils den Umfang und die Fläche! Der Radius eines Autorads ist 28 cm. Die Breite eines Fensters ist 32 cm und seine Höhe 5 dm. Die Seiten des Verkehrszeichens sind alle gleich 3,2 cm.

Umformen in der ebenen Geometrie konkret

Der Umfang eines Quadrats ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!

Umformen in der ebenen Geometrie abstrakt

Begründen Sie, ob in einem Kreis mit Flächeninhalt A der Radius R mit der Formel:$\ R={\tfrac {\sqrt {A}}{\pi }}$ berechnet werden kann.

Ähnlichkeit von Figuren

Die Seiten eines Dreiecks sind: b=52 mm, c=0,8 dm und k=5,8 cm. Die entsprechende zu c Seite c' eines ähnlichen Dreiecks ist 4,9 cm. Wie lang sind die anderen Seiten k' und b'?

Zusammengesetzte Figuren

Drücken Sie den dunklen Flächeninhalt durch die Länge a der Seite des Quadrats aus!

Satz von Pythagoras

Die zwei Katheten eines rechtwinkeligen Dreiecks sind 1dm bzw. 105mm. Wie lang ist die Hypotenuse? Die Diagonale eines Rechtecks ist 145 mm, seine Breite 1dm. Wie viel ist seine Fläche?

Geometrie Beweise

Mit Hilfe der Figur beweisen Sie den Satz von Pythagoras.

Geometrie des Raums

Anwendung der Formeln

Formel Einsetzen in der Raumgeometrie

Die Länge eines Lineals ist 3,1 dm, seine Breite 2,5 cm, seine Dicke 2 mm. Berechnen Sie die Gesamtlänge seine Kanten, seine Oberfläche und sein Volumen!

Umformen in der Raumgeometrie konkret

Das Volumen eines Zylinders ist 12 π dm³, seine Höhe 30 cm. Wie viel ist seine Oberfläche?

Umformen in der Raumgeometrie abstrakt

Natascha gibt für die Berechnung des Radius R einer Kugel mit Volumen V folgende Formel an: $\qquad R={\sqrt {\frac {3\ V}{4\ \pi }}}$ Überprüfen Sie, ob die Formel richtig ist und, falls nicht, geben Sie die richtige Formel an!

Ähnlichkeit von Körpern

1. 
   

   Der Radius der Basis eines Kegels ist 4 dm, seine Höhe 60 cm. Die Fläche der Basis eines ähnlichen Kegels ist $144\ \pi \ dm^{2}.$ Wie hoch ist dieser Kegel?

2. 
   

   Die Seiten eines Quaders sind 2,5 cm, 60 mm bzw. 0,4 dm. Das Volumen eines ähnlichen Quaders ist 7,5 cm³. Wie lang sind seine Seiten?

3. 
   

   Der Radius der Basis eines Zylinders ist 3 dm, seine Höhe 60 cm. Der Mantel eines ähnlichen Zylinders ist $4\ \pi \ dm^{2}.$ Wie hoch ist dieser Kegel?

4. 
   

   Die Basis einer quadratischen Pyramide ist 225 dm², ihr Volumen 0,9 m³. Das Volumen einer ähnlichen Pyramide ist 112,5 m³. Wie lang ist die Seite ihrer Basis?

5. 
   

   Die Seiten eines Quaders sind 2 dm, 25 cm bzw. 0,45 m. Das Volumen eines ähnlichen Quaders ist 1,44 m³. Wie lang sind seine Seiten?

6. 
   

   Der Radius der Basis eines Kegels ist 5 dm, seine Höhe 40 cm. Die Fläche der Basis eines ähnlichen Kegels ist $25\ \pi \ dm^{2}.$ Wie hoch ist dieser Kegel?

7. 
   

   Die Basis einer quadratischen Pyramide ist 16 dm², ihr Volumen 0,08 m³. Das Volumen einer ähnlichen Pyramide ist 10 dm³. Wie lang ist die Seite ihrer Basis?

8. 
   

   Der Radius der Basis eines Zylinders ist 12,5 cm, seine Höhe 10 mm. Der Mantel eines ähnlichen Zylinders ist $\pi \ dm^{2}.$ Wie hoch ist dieser Kegel?

Diagramme

Säulendiagramm

Lesen Sie vom Diagramm ab, wie viele Packungen: genau 4 Bananen genau 3 Bananen keine Banane höchstens 3 Bananen mindestens 3 haben mindestens 2 und höchstens 4 Bananen haben!

Mittelwerte bei einem Säulendiagramm

Finden Sie die Mittelwerte im Diagramm!

Liniendiagramm

Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel war die Temperatur um 2, um 12, um 15 Uhr und um 16:15? Um wie viel Uhr war die Temperatur 36,2°C? Um wie viel Uhr war die Temperatur 36,3°C? Um wie viel Uhr war die Temperatur 36,4°C?

Lineare Funktion Diagramm

Das Diagramm stellt den Gewinn bei der Produktion von Mehl dar. Lesen Sie vom Diagramm ab: Wie viel war der Gewinn bei der Produktion von 3, 4, 0,5 und 0 Tonnen? Ab welcher Menge macht die Produktion Gewinn und wie viel sind die Grundkosten? Bei welcher Menge ist der Gewinn 2000, 3400 bzw. 6000 €?

Kreisdiagramm

Zu welchen der folgenden Aussagen passen die folgenden Diagrammen? Ein Stall hat 2 Ziegen, 3 Schafe, 8 Kühe, 2 Schweine und 1 Pferd. Ein Kind hat 3 Kartenspiele, 2 Brettspiele, 2 Bälle, 1 Puppe und 1 Spielschwert. In einer Schule gibt es 2 Lehrer für Mathematik, 2 für Englisch, 2 für Deutsch, 1 für Geographie und 1 für Musik. Ein Bauernhof hat 18 Hühner, 1 Hahn, 3 Gänsen, 3 Kanarinen, 2 Katzen und 9 Enten. In einem Tierheim gibt es 8 schwarze Katzen, 4 roten, 2 weißen, 1 dreifarbige und 1 schwarz-rot. In einer Klasse sind 8 Personen aus Österreich, 2 aus Deutschland, 2 aus der Türkei, 2 aus Serbien und 2 aus Tschechien. In einer Klasse wählen 6 Personen die Partei "Bild", 6 Personen die Partei "Welt", 2 die Partei "Nature", 2 die Partei "Grob" und 2 keine Partei. Ein Haus hat 6 Schlafzimmer, 3 WCs, 1 Küche, 1 Wohnraum und 1 Badezimmer. W X Y Z

Boxplot

Erstellen Sie das Box-Plot Diagramm für die folgenden Werten: 11, 14, 42, 0, 11, 14, 22, 9, 25, 10, 25, 28, 18. Geben Sie in den folgenden Diagrammen den Median, die Quartile, den IQR, die Spannweite, die Ausreißer, das Maximum und das Minimum an!

Funktionen

Lineare Funktion

Lineare Funktion Alltagsbeispiel

Die Talstation einer Seilbahn befindet sich auf 346 m Höhe, die erste Station auf dem Berg auf 930 m Höhe und in einer horizontalen Abstand von 2,84 km. Nehmen wir an, dass das Seil gerade ist. Fertigen Sie eine Skizze dieses Zusammenhangs in einem Koordinatensystem an. Wie lautet die entsprechende lineare Funktion? Auf welcher Höhe befindet sich das Seil in einem horizontalen Abstand von 490 m von der Talstation entfernt? Bei welchem horizontalen Abstand ist die Höhe 560 m?

Eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten ermitteln

Das Diagramm stellt den Gewinn bei der Produktion von Mehl dar.

Die Steigung und ihre Zusammenhänge

Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion $\textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\$ist!

Textaufgaben zu den linearen Funktionen

Der 69 Liter Tank eines Generators ist zu zwei drittel voll und verbraucht jede 10 Minuten halbes Liter Brennstoff. Geben Sie zuerst den Zusammenhang zwischen Zeit und Volumen des Brennstoffes als lineare Funktion an! Wie lang dauert es, bis der Tank leer wird? Nach wie viel Zeit hat der Tank noch 25 Liter?

Darstellungen der linearen Funktion

1. Wie lautet die implizite und die Vektorform der
   linearen Funktion $y={\tfrac {2}{3}}x-5$?
2. Wie lautet die explizite und die Vektorform der
   linearen Funktion $5x+2y=13$?
3. Wie lautet die explizite und die implizite Form der
   linearen Funktion ${\tbinom {x}{y}}={\tbinom {3}{4}}t+{\tbinom {0}{3}}$?
4. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Geraden der zweiten und der dritten Funktion!

Schnittpunkte von Funktionen

Schnittpunkte von Funktionen in einem Diagramm

Im Bild sehen wir eine Polynomfunktion r(x) (gestrichelt), drei quadratische Funktionen p(x), q(x) und h(x) (zwei Kurven p und h nach oben und eine Kurve q nach unten) und zwei lineare Funktionen g(x) und f(x) (Gerade g nach unten rechts und Gerade f nach oben rechts). Lesen Sie vom Diagramm ab: Die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion. Den y-Achsenabschnitt jeder Funktion. Die Lösungen der Gleischungssysteme, die aus folgenden Funktionen bestehen: i) g und f $\quad$ii) p und r $\quad$iii) p und g iv)f und q $\quad$v) r und f $\quad$vi) g und h

Schnittpunkte von Funktionen in einem Text

Gegeben sind die Funktionen $g(x)=2x-3$$\quad f(x)=-{\frac {7}{3}}x\quad$$q(x)=-0{,}04x^{2}+0{,}64$ $p(x)=-x^{2}-1\quad \ h(x)=0{,}25x^{2}-x+1$ Berechnen Sie die Lösungen (Nullstellen) jeder Funktion! Lesen Sie den y-Achsenabschnitt jeder Funktion ab! Finden Sie, ob der Punkt P:(2|−5) zu mancher der Funktionen gehört! Lesen Sie die Steigung der beiden Geraden ab! Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme i) g und f, ii) p und q, iii) p und g

Die quadratische Funktion

Die quadratische Gleichung

Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen: $3w^{2}-4w+1=0$ $4c^{2}+1=0$ $4m^{2}+12m+9=0$

Quadratische Gleichung Textaufgaben

Ein PKW fährt von Brüssels ins 212 km entfernte Amsterdam. Nachdem er 145 km zurückgelegt hat, begegnet ihm ein LKW, der 24 Minuten später von Amsterdam nach Brüssels abgefahren ist und in der Stunde 20 km weniger zurücklegt als der PKW. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des PKWs. Nach wie viel Zeit treffen die Wagen einander?

Quadratische Funktion Vertiefung

Ermitteln Sie den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion $c(k)=4k^{2}+7k-2$ Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung wandeln Sie diese Funktion zu einer Plus-Minus binomsiche Formel!

Polynomfunktionen Diagramm

In den folgenden Diagrammen bestimmen Sie den Grad der dargestellten Polynomfunktion, die Anzahl ihrer Lösungen, ihr Monotonieverhalten in den verschiedenen Intervallen, das Vorzeichen der Koeffizienten der Potenz mit dem höchsten Grad und wenn möglich den Wert des y-Achsenabschnitts! A B C D E F G H I

Umkehrfunktionen mit Umformen finden

Finden Sie die Umkehrfunktion: $\ y=5\ x+{\frac {1}{3}}\quad$

Funktionserkennung in Diagramm und Text

Funktionserkennung in Diagramm

Welches der folgenden Diagrammen stellt was dar? A) lineare Funktion, B) Polynomfunktion 2. Grades C) Wurzelfunktion, D) Polynomfunktion 3. Grades E) Polynomfunktion 4. Grades, F) Sinusfunktion G) Kosinusfunktion, H) quadratische Funktion, K) (natürlichen) Logarithmusfunktion, L) $\textstyle {\frac {a}{x}}$ M) Exponentialfunktion, N) Umkehrfunktionenpaar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Funktionsdiagramme Eigenschaften erkennen

Wählen Sie das jeweils richtige Diagramm und beantworten Sie die entsprechende Frage! Wie viel ist der y-Achsenabschnitt bei jedem Diagramm? Wie viel ist die Steigung der linearen Funktionen? $ax^{2}+bx+c\$ist die quadratische Funktion. Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv? $ae^{b\ x}\$ist die exponentielle Funktion. ${\frac {a}{x}}\$ist die indirekte Proportionalität. Bei welcher Funktion ist a negativ bzw. positiv? In welchen Intervallen sind die quadratischen und die linearen Funktionen, die Sinusfunktionen bzw die indirekte Proportionalität steigend bzw. fallend? Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und ihre Umkehrfunktion? Gibt es in irgendeinem Diagramm eine Funktion und ihre auf der y-Achse gespeigelte Funktion? Was gilt in diesem Fall für f(x) und ihre Spiegelfunktion fs(x)?

Funktionserkennung in Text

Im Folgenden finden wir verschiedene Diagramme, Formel und Namen von Funktionen als auch Textaufgaben darüber. Welche sind die richtigen Kombinationen für jede Textaufgabe? Mit Hilfe der Textaufgaben finden Sie die Werte der Parameter a und b in der dem Text entsprechenden Formel. Texte TA (Text A) Fanny will feststellen, ob ihre Katze einen freien Fall überlebt und lässt sie aus einem 8 m hohen Turm mit einer 3 m/s² festen Beschleunigung Fallen. TB (Text B) Die Bevölkerung in Deutschland ist ca. 82 Millionen und wird jede Jahrzehnte um 2,3% weniger. TC (Text C) Bei der Schwingung einer Feder ist die maximale Ablenkung 3 cm, eine vollständige Wiederholung braucht 350 ms. TD (Text D) Ein Baum ist 3,5 m groß und wächst pro Woche um 5 cm. TE (Text E) Eine 1,8 dm große Kerze schmilzt jede Stunde um 3 cm. TF (Text F) Wenn wir auf einen Nagel eine Kraft ausüben, ist der Druck desto größer, je kleiner die Fläche A an der Spitze des Nagels ist aber je größer die Kraft F ist. (Hier a und b durch entsprechende Symbole ersetzten) TG (Text G) Ein Bakterienkultur verdreifacht sich jede Stunde. Am Anfang gibt es 5 Bakterien. Diagramme DA (Diagramm A) DB (Diagramm B) DC (Diagramm C) DD (Diagramm D) DE (Diagramm E) DF (Diagramm F) DG (Diagramm G) DH (Diagramm H) DI (Diagramm I) Funktionsnamen NA: (Name A) lineare, NB:(Name B) quadratische, NC: (Name C) exponentielle, ND: (Name D) logarithmische, NE: (Name E) Potenzfunktion 3. Grades, NF: (Name F) Sinusfunktion, NG: (Name G) Wurzelfunktion, NH:(Name H) indirekte Proportionalität. Formeln FA: (Formel A)$\ y=a\ x+b\quad$FB: (Formel B)$\ y=a\ e^{b\ x}\quad$FC: (Formel C)$\ y=a\tan b\ x\quad$ FD: (Formel D)$\textstyle \ y={\frac {a}{b}}\quad$FE: (Formel E)$\ \textstyle \ y=a\sin {\frac {1}{2\pi b}}x\quad$ FF: (Formel F)$\ y=a\ x^{2}+b\quad$FG: (Formel G)$\ y=a\ x^{3{,}2}+b\quad$

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Einsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}-c+d=2\\3c+5d=26\end{matrix}}\ \right|$

Gleichsetzungsverfahren

Lösen Sie folgendes lineares Gleichungssystem mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}-c+d=2\\3c+5d=26\end{matrix}}\ \right|$

Additionsverfahren

Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Eliminationsverfahrens: $\ \left|\ {\begin{matrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{matrix}}\ \right|$ $\ \left|\ {\begin{matrix}-c+d=2\\3c+5d=26\end{matrix}}\ \right|$

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Sind folgende Gleichungsysteme Lösbar? Finden Sie die jeweilige Lösungsmenge. Finden Sie die Lösung, falls diese nur eine ist. $\ \left|\ {\begin{matrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{matrix}}\ \right|$ $\ \left|\ {\begin{matrix}x+y=8\\4x+4y=32\end{matrix}}\ \right|$

Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems

$\ \left|\ {\begin{matrix}2x+3y=5\\x-5y=9\end{matrix}}\ \right|$ $\left|\ {\begin{matrix}x+2y=8\\2x+4y=8\end{matrix}}\ \right|$ $\left|\ {\begin{matrix}x+2y=8\\3x+6y=24\end{matrix}}\ \right|$

Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen

$\ \left|\ {\begin{matrix}2x+3y=5\\x-5y=9\end{matrix}}\ \right|$ $\left|\ {\begin{matrix}x+2y=8\\2x+4y=8\end{matrix}}\ \right|$ $\left|\ {\begin{matrix}x+2y=8\\3x+6y=24\end{matrix}}\ \right|$

Textaufgaben linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Ein Balkon hat 33 Blumentöpfe, manche mit 3 und der Rest mit 8 Blumen. Insgesamt sind die Blumen 209. Wie viele Töpfe mit 3 bzw. 8 Blumen gibt es?

Lineare Gleichungssysteme mehrerer Variablen

Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen

Eine Bootverleihfirma hat insgesamt 43 Boote, manche Tretboote (maximal 5 Personen, Preis 8€/h), manche Ruderboote (maximal 3 Personen, Preis 7€/h) und Kanus (maximal 2 Personen, Preis 4€/h). Insgesamt kann die Firma höchstens 159 Personen bedienen, in so einem Fall sind die Einnahmen 271€/h. Wie viele Boote jeder Art hat die Firma?

Trigonometrische Funktionen

Definition von Sinus Kosinus und Tangens

Geben Sie Sinus, Kosinus und Tangens des kleinsten Winkels im folgenden rechtwinkeligen Dreieck an! Wie groß sind die entsprechenden Werte, wenn a= 0,06 m und b= 10 cm sind?

Trigonometrische Satz von Pythagoras

Pythagoras Satz in Trigonometrie Abstrakt

Beweisen Sie mit Hilfe der Definitionen der trigonometrischen Funktionen in einem rechtwinkeligem Dreieck! $\quad \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

Die kleinere Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 20 cm, die größere 2,1 dm. Wie viel ist der Tangens, der Sinus und der Kosinus des kleinsten Winkels? Wie groß ist dieser Winkel? Wie viel ist der Kosinus des anderen nicht rechten Winkels und wie groß der andere Winkel?

Trigonometrische Umkehrfunktionen

Der Sinus eines Winkels ist $\textstyle {\frac {5}{13}}$. Wie viel ist der Kosinus? Wie groß ist der Winkel? Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, wenn die Gegenkathete des Winkels mit Sinus $\textstyle {\frac {5}{13}}\$ 9 cm ist? Schreiben Sie eine Formel für den Winkel $\omega$ in Bezug auf die Seiten b und c auf! Wie groß ist der Winkel, wenn b=37 cm und c=200 mm sind? Die Steigung eines Winkels ist 230%. Wie groß ist der Winkel?

Einheitskreis

Einheitskreis und trigonometrische Funktionen

Mit Hilfe des Einheitskreises finden sie zumindest vier Winkel, deren i) Sinus 0,3 ist.$\quad$ii) Kosinus 0,3 ist.

Radiant

Rechnen Sie in Grad ° (Winkelmaß) um! A) $\ 3\pi \ rad$, B)$\ {\frac {5\pi }{9}}\ rad$, C)$\ 0{,}2\ rad$, D)$\ {\frac {5}{9\pi }}\ rad$, E)$\ 360\ rad$ Rechnen Sie in Radiants (Bogenmaß) um A)$\ 300^{\circ }$, B)$\ 0{,}2^{\circ }$, C)$\ 3\pi ^{\circ }$, D)$\ {\frac {170}{9\pi }}^{\circ }$, E)$\ 145^{\circ }$ Sind folgende Winkel mehr oder weniger als ein Halbkreis? Wo befinden sie sich im Einheitskreis? A)$\ 300^{\circ }$, B)$\ 100^{\circ }$, C)$\ 2\ rad$, D)$\ 1\ rad$, E)$\ 390^{\circ }$

Einheitskreis wichtige Punkte

Beoboachten Sie die Figur und entscheiden Sie! In welchem Quadrant des Kreises ist der Sinus, der Kosinus und der Tangens positiv oder negativ? Bei welchem Winkel ist der Sinus 0, 1 oder -1? Geben Sie diesen Winkel sowohl in Grad als auch in Radiants an!

Trigonometrische Funktionen Diagramm

Parameter im Diagramm der Sinusfunktion

Vergleichen Sie die Kurven im Bild. Welche Funktion hat die größte bzw. kleinste Amplitude und wie viel sind diese? Vergleichen Sie die Kurven im Bild. Welche ist die Sinusfunktion, wenn die Phasenverschiebung 0 ist? Wie viel ist die Phasenverschiebung der anderen Funktion? Vergleichen Sie die Kurven im Bild. Welche ist die Tangens-, die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion? Allgemeine Wellenfunktion: $f(x)=A_{0}\,\sin(\omega \,x+\phi )+c$ Geben Sie die Amplitude, die senkrechte Verschiebung, die Winkelfrequenz und die Phasenverschiebung der dargestellten Sinusfunktion an!

Sinus und Kosinussatz

Direkte Anwendung des Sinus und des Kosinussatzes

In der folgenden Figur betragen die Seiten $a={\sqrt {20}}\ cm,\ b=5\ cm,\ d={\sqrt {5}}\ cm$ und die Winkel $\beta =45^{\circ },\ \gamma =76^{\circ }$. Wie viel ist der Winkel $\phi$?

Vermessungsaufgaben

Lisa beobachtet die Antenne auf dem Dach eines Gebäudes. Ihre Augen sind 1,73 m hoch, die Antenne selber ist 2,8 m hoch. Den unteren Rand der Antenne sieht Lisa unter einem Höhenwinkel von 67°, den oberen unter 74°. Wie weit vom Gebäude (genauer: vom "Fuß" der Antenne) befindet sich Lisa und wie hoch ist das Gebäude? Machen Sie eine saubere Skizze für die Berechnung!

Vektoren

Vektorrechnungen

Der Vektor ${\vec {a}}\$ ist der Vektor vom Punkt F zum Punkt H. Berechnen Sie: $3{\vec {a}}-2{\vec {v}}_{2}$ $|a|\$ und den Betrag des Vektors $v_{2}$ $3{\vec {a}}\cdot 2{\vec {v}}_{2}$ Den Winkel zwischen ${\vec {a}}\$ und ${\vec {v}}_{2}$ Die Länge des Vektors ${\vec {c}}={\vec {v}}_{2}-2{\vec {a}}\$(genau und gerundet) Die Steigung der tragende Gerade des Vektors ${\vec {a}}$ Zerlegen Sie den Vektor ${\vec {a}}$ zu seinen Komponenten

Differentialrechnung

Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung als Steigung einer Funktion

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2? $b(v)=7\ v^{5}\quad$ $x(y)=y^{9}\quad$ $f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}$ Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion und ihrer Ableitung an der Stelle 2,4. $\ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3$ $\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$ $\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad$

Ableitung und Grenzwerten

Mit Hilfe von Grenzwerten berechnen Sie die Ableitung der Funktion $y=ax^{4}$!

Ableitung von Potenzfunktionen

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden Funktionen. Wie viel ist die Ableitung der jeweiligen Funktion an der Stelle 2? $b(v)=7\ v^{5}\quad$ $x(y)=y^{9}\quad$ $f(x)={\frac {5}{12}}x^{12}$

Ableitung von Potenzfunktionen komplex

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. $a(c)=b\ \left({\frac {1}{c}}\right)^{d}$ $v(t)={\sqrt[{4}]{t^{3}}}\quad$ $f(x)={\frac {5}{x^{5}}}\quad$

Ableitung von Potenzfunktionen schwierig

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. $V(h)={\sqrt[{4}]{\frac {1}{h^{5}}}}$ $H(x)={\sqrt[{3}]{\frac {27}{x^{7}}}}$ $m(n)={\sqrt[{5}]{\frac {3125}{n^{15}}}}$

Ableitungen von weiteren Funktionen

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktionen. Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion und ihrer Ableitung an der Stelle 2,4. $\ b(v)=7\ \sin v-\ln v+{\frac {3}{5\ v^{3}}}+3$ $\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$ $\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}+\tan b\quad$

Weitere Ableitungsregeln

Ableitungsregeln

Wie lautet die 1. Ableitung der Funktion $g(a)=a^{2}\ {\sqrt[{4}]{\cos ^{3}a\ }}$ (Mit Lösungsschritte!)

Kurvendiskussion

Ermittlung einer quadratischen Funktion

Eine quadratische Funktion geht durch die Punkte $\ P_{1}:(3|5)\$ und $\ P_{2}:(1{,}5|4{,}5)$. Ihre Ableitung an der Stelle 2 ist null. Wie lautet die Funktion?

Kurvendiskussion

Gegeben ist die Funktion $v(b)=b^{2}\sin b+1$ im Intervall $]-4;4[$. Welche sind die lokale Extrempunkte, die Wendepunkte und die Sattelpunkte der Funktion? Welche sind die Nullstellen der Funktion? Wie viel ist ihre Wert und der Wert ihrer Ableitung an der Stelle 1,2? Wie ist ihr Monotonieverhalten?

Kurvendiskussion Umkehraufgaben

Temperatur (°C): $4$ $5$ $1$ Höhe (dm): $\ \ 3\ \$ $\ \ 3{,}4\ \$ $\ \ 0\ \$ In einem Diagramm wird die Temperatur in Abhängigkeit von der Höhe in einem kleineren Kühlschrank gezeigt. Aus dem Diagramm werden die Werte in der nebenstehenden Tabelle entnommen. Die entsprechende Polynomfunktion 3. Grades hat an der Stelle 3,4 einen Extrempunkt. Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Funktion. Berechnen Sie die Koeffizienten der Funktion. Die nebenan im Intervall [6;8] als s abgebildete Funktion 2. Grades führt am Punkt (6|4) knickfrei zur entsprechenden Ebene und hat die Nullstelle 8. Wie lautet die Funktion?

Integralrechnung

Integral von Potenzfunktionen

Berechnen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen. $i)\ b(v)=7\ v^{5}\quad ii)\ v(t)={\sqrt[{4}]{t^{3}}}\quad iii)\ V(h)={\sqrt[{4}]{\frac {1}{h^{5}}}}$

Integrale von weiteren Funktionen

Berechnen Sie die Stammfunktion der folgenden Funktionen. Berechnen Sie auch den ungefähren Wert der Funktion an der Stelle 2,4 und ihrer Stammfunktion zwischen den Stellen −2,3 und −1 $\ b(v)=7\ \sin v-{\frac {3}{v}}+{\frac {0{,}5}{v^{3}}}+3$ $\ v(t)={\frac {5}{\sqrt[{4}]{t^{3}}}}-\cos t+t-t^{-3}$ $\ t(b)=5\ e^{b}-{\sqrt[{3}]{\frac {27}{b^{7}}}}-\sin b\quad$

Fläche zwischen zwei Funktionen

Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionen $\ g(x)=0{,}5e^{x}-1\$ und $\ f(x)=-0{,}16x^{2}-0{,}4x+2{,}75\$ und zwischen den Stellen −2 und 2.

Rotationskörper

Wie viel ist das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Funktion $g(a)=\cos(3a)$ um die x-Achse im Intervall $[-0{,}5;\ 2]$ entsteht?

Folgen

Folgen

Die Größe vier Geschwister stellt eine geometrische Folge dar. Vom kleinsten aus heißen sie Andi, Lisa, Tom und Aria. Andi ist $112\ cm$ groß, Lisa 5% größer. Wie viel Prozent größer als Tom ist Aria? Wie viel Prozent kleiner als Tom ist Lisa? Wie groß ist Aria?