Mathematrix: AT PSA/ Theorie

G1 Grundniveau 1

G1.1. Grundrechenartenvorrang

Bei einer Rechnung muss die Reihenfolge der Rechnungen klar sein, sonst ist das Ergebnis nicht eindeutig:

$6+3-7+5$:

• Wenn man von links nach rechts liest, dann: $\ 6+3=9,\ 9-7=2,\ 2+5=7\quad$ also Ergebnis 7.
• Wenn man von rechts nach links liest, dann: $\ {\overleftarrow {{\color {red}12}=7+5}},\ {\overleftarrow {{\color {lime}9}=3-{\color {red}12}}},\ {\overleftarrow {15=6+{\color {lime}9}}}\quad$ also Ergebnis 15.

Das Ergebnis ist nicht das Gleiche! In den meisten Sprachen der Welt fängt man links an. Dann ist das richtige (und eindeutige) Ergebnis 7. Nur bei Addition oder Multiplikation spielt die Leserichtung und allgemein die Reihenfolge keine Rolle:

$6+5+11=5+6+11=11+5+6=5+11+6=22$

$2\cdot 4\cdot 5=4\cdot 2\cdot 5=2\cdot 5\cdot 4=40$

In diesem Buch wird die Deutsche Leserichtung benutzt, also von links nach rechts.

Was ist, wenn man Strich- und Punktrechnungen gleichzeitig hat? Spielt hier die Reihenfolge wieder keiner Rolle, wie bei der Addition oder der Multiplikation?

$2+3\cdot 4$

Machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, ist das Ergebnis: $2+3=5\ \to \ 5\cdot 4=20$

Ändern wir die Reihenfolge der Multiplikation: $2+4\cdot 3$

und machen wir die Rechnung einfach von links nach rechts, bekommen wir ein anderes Ergebnis: $2+4=6\ \to \ 6\cdot 3=18$

Es gilt auch:

• Wenn man erst die Strichrechnung macht, ist das Ergebnis: $2+3=5\ \to \ 5\cdot 4=20$
• Wenn man erst die Punktrechnung macht, ist das Ergebnis: $3\cdot 4=12\ \to 2+12=14$

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich.Ein unterschiedliches Ergebnis kommt auch dann vor, wenn die Reihenfolge bei der Addition geändert wird und die Multiplikation erst gemacht wird:

$2+3\cdot 4\$ und $\ 3+2\cdot 4$

Hier haben wir die Reihenfolge bei der Addition geändert (einmal steht 2+3 und dann 3+2). Machen wir in beiden Fällen erst die Multiplikation:

$2+3\cdot 4\ =2+12=14\$ und $\ 3+2\cdot 4=3+8=11$

Das Ergebnis ist wieder unterschiedlich. Wenn wir aber einen mathematischen Ausdruck haben, wollen wir ein eindeutiges Ergebnis. Damit das Ergebnis eindeutig ist, muss es eine Regel geben. In Mathematik haben die Punktrechnungen (mal und durch) immer Vorrang vor den Strichrechnungen (Plus und Minus). Man muss zuerst die Punktrechnungen machen und dann die Strichrechungen. Also ist hier 14 das richtige Ergebnis. Wenn es also in einer Rechnung Strich- und Punktrechnungen gibt, dann muss man zuerst die Punktrechnungen machen!

Wenn es aber eine Klammer gibt, dann muss man erst die Rechnung in der Klammer machen:

$(2+3)\cdot 4=5\cdot 4=20\$ Hier ist das Ergebnis doch $20$

$2+(3\cdot 4)=2+12=14\$ ...und hier ist das Ergebnis wieder $14$.

Wenn in einem mathematischen Ausdruck mehrere Rechenarten vorkommen, dann muss eine Regel gelten, damit das Ergebnis eindeutig ist. Die grundlegende Regel lautet:

Klammer vor Punkt vor Strich.

(Zu Erinnerung: Punktrechnungen sind mal und durch, Strichrechnungen sind plus und minus)

Wenn es wiederum innerhalb einer Klammer mehrere Rechnungen gibt, dann muss man die Klammer erst machen und in der Klammer an die Regeln halten:

$5+36:(3\cdot 5-6)-(56:7-2)\cdot 3=?$

Unterstreichen wir zuerst die Rechnungen in den Klammern:

$5+$	$36:$	${\underline {({\underline {3\cdot 5}}-6)}}\ -$	${\underline {({\underline {56:7}}-2)}}$	$\cdot 3$	$=$	In beiden Klammern muss man zuerst die Punktrechnung machen
		$15-6\quad$	$8-2$			und dann die Strichrechnung in Klammer
		$9$	$6$			Man kann also die Klammer durch das jeweilige Ergebnis ersetzen

$5+$	$36:$	${\cancelto {9}{(3\cdot 5-6)}}\ -$	${\cancelto {6}{(56:7-2)}}$	$\cdot 3=$
$5+$	$36:$	$9-$	$6$	$\cdot 3=$	Kompakter geschrieben ist die Rechnung jetzt:

$5+36:9-6\cdot 3\qquad \qquad$ Hier muss man erst die Punktrechnungen machen

$5+{\cancelto {4}{36:9}}-{\cancelto {18}{6\cdot 3}}=$

$5+4-18=-9$

Hier das Ganze noch einmal übersichtlicher und in einer Animation:

Alle Schritte kompakt dargestellt: ${\begin{array}{c}5+36:\underbrace {(\underbrace {3\cdot 5} _{15}-6)} _{9}-\underbrace {(\underbrace {56:7} _{8}-2)} _{6}\cdot 3=\\5+\underbrace {36:9} _{4}-\underbrace {6\cdot 3} _{18}=\\5+4-18=-9\end{array}}$

G1.2. Bruchrechnungen

Definitionen

Bruch:    $\textstyle {\begin{array}{ccc}10&\leftarrow {\text{Zähler}}\\{\boldsymbol {-}}&\leftarrow \mathrm {Bruchstrich} \\5&\leftarrow \mathrm {Nenner} \end{array}}$    

Es gilt:   $\textstyle {\frac {10}{5}}=10:5=2$   (Ein Bruch ist wie eine Division)

Unterschied: Ein Bruch ist eine Zahl. Eine Division ist eine Rechenart zwischen zwei Zahlen.

Echter Bruch: Wenn der Nenner größer als der Zähler ist: $\textstyle {\frac {5}{11}}$

Unechter Bruch: Wenn der Zähler größer als der Nenner ist: $\textstyle {\frac {11}{5}}$

Gleichnamige Brüche: Brüche, die den gleichen Nenner haben (z.B. $\textstyle {\frac {10}{5}}$,  $\textstyle {\frac {3}{5}}$ aber NICHT $\textstyle {\frac {5}{10}}$ und $\textstyle {\frac {5}{9}}$, wo der Zähler gleich ist, oder $\textstyle {\frac {10}{5}}$ und $\textstyle {\frac {5}{9}}$)

Strichbruchrechnungen

Wenn man zwei Brüche addiert oder subtrahiert, dann muss man auf den Nenner aufpassen:

Brüche mit gleichem Nenner:

${\frac {5}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {5+2}{4}}={\frac {7}{4}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern: Zähler und Nenner des ersten Bruches mit Nenner des zweiten erweitern (blaue Pfeile) und entsprechend für den zweiten Bruch (rote Pfeile)!

$={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}$$\textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot 3+2\cdot 4}{3\cdot 4}}\right)}$$={\frac {15}{12}}+{\frac {8}{12}}={\frac {15+8}{12}}={\frac {23}{12}}$

Dabei ist es nicht wichtig, ob man minus oder plus zwischen den Brüchen hat. Allein der Nenner (ob er der gleiche oder nicht ist) spielt einer Rolle.

Punktbruchrechnungen

Bei einer Multiplikation zwischen zwei Brüchen multipliziert man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner (Oben mal Oben, Unten mal Unten):

${\frac {5}{4}}\cdot {\frac {3}{7}}={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 7}}={\frac {15}{28}}$

Bei der Division von zwei Brüchen multipliziert man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweitens Bruches:

${\frac {5}{4}}:{\frac {3}{7}}={\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{3}}={\frac {5\cdot 7}{4\cdot 3}}={\frac {35}{12}}$   ($\textstyle {\frac {7}{3}}$ ist der Kehrwert von  $\textstyle {\frac {3}{7}}$)

Hier spielt der Nenner keine Rolle (im Gegenteil zu den Strichrechnungen).

G1.3. Direkte Proportionalität

Fangen wir direkt mit einem Beispiel an.

• 5 Tische kosten 315€. Wie viel kosten 2 Tische?

Hier spricht man von einer sogenannten direkte Proportionalität. Weniger Tische werden weniger Geld kosten. Das Beispiel besteht aus zwei Sätze:

was gegeben ist: „5 Tische kosten 315€“. Diese Daten schreibt man auf ein Zeile nebeneinander. Man schreibt also am Anfang:

5 Tische ... 315€

was gefragt ist: „Wie viel kosten 2 Tische?“ Hier ist der Preis der Tische in € gefragt. Man schreibt eine zweite Zeile unter die erste: Dabei schreiben wir das Gefragte (Preis der Tische) als x und die Anzahl der Tische unter der Anzahl Tische von der ersten Zeile:

5 Tische ... 315€

2 Tische ... x

Man fängt mit der gefragten Größe an (hier €), also mit der Zahl, die an der gleichen
Spalte mit x steht, und multipliziert diese Zahl mit der Zahl schräg gegenüber.

315·2=630.

Das Ergebnis dividiert man mit der verbliebenden Zahl (hier 5).

630:5=126

Jetzt kommt die Frage: 126 was? Was haben wir hier gerechnet? Sicherlich nicht Frösche und auch nicht Äpfel. Wie kann man herausfinden, was hier gerechnet wurde? Eine Möglichkeit ist es, die folgende Frage zu stellen: „Wieviel kosten 2 Tische?“ Kosten sind gefragt, also €. Das Ergebnis ist daher der Wert in €. Ein anderer Weg ist es darauf zu schauen, wo x steht: Es steht unterhalb von „315€“. Wir haben gesagt, dass in jeder Spalte die Sachen (in Mathematik „Einheiten“ genannt) übereinstimmen müssen. Unterhalb von € müssen € stehen. Daher sollte die Einheit von x auch € sein. Somit ist die Antwort:

„Zwei Tische kosten 126€.“

Der ganze Prozess noch einmal Schritt für Schritt:

Noch ein Beispiel:

3,5 Liter eines Stoffes wiegen 14,7 kg.

a) Wie viel wiegen 0,0175 Liter?

b) Wie viel Liter sind 3850kg?

Hier gibt es zwei Fragen, das gegebene ist aber in beiden Fällen das gleiche, nämlich der erste Satz.

a) Für die erste Frage schreiben wir das gegebene an einer Zeile und das gefragte darunter (gleiche Sachen unter gleichem):

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\uparrow :\\{\text{0,0175 Liter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$

Die Zahl, die an der gleichen Spalte mit x steht, mal die Zahl schräg gegenüber und durch die andere Zahl:

$\left({\frac {14{,}7\cdot 0{,}0175}{3{,}5}}\right)\qquad x=0{,}735\ \ kg$

Noch einmal stellt sich die Frage: 0,735 was? Was haben wir hier gerechnet? Wieso haben wir kg geschrieben? Die Frage war „Wie viel wiegen 0,0175 Liter?“ Also muss die Einheit vom Ergebnis kg sein. Wenn wir die Schlussrechnung betrachten, sehen wir ebenfalls, dass x unterhalb von „14,7 kg“ steht. In einer Spalte müssen die Einheiten übereinstimmen, unterhalb von kg müssen gleichfalls kg stehen. Somit ist die Antwort:

„0,0175 Liter des Stoffes wiegen 0,735kg.“

b) Für die zweite Frage schreiben wir wieder das gegebene in einer Zeile und das gefragte darunter (gleiche Sachen (Einheiten) unter gleiche):

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\:\uparrow \\{\text{3850 kg}}\end{matrix}}$     $\left({\frac {3{,}5\cdot 3850}{14{,}7}}\right)\qquad x\approx 916{,}7\ {\text{ Liter}}$

Ob man die Liter links oder rechts schreibt oder das gegebene oben oder unten, spielt keiner Rolle. Wichtig ist: das Gegebene in einer Zeil und gleiche Sachen (Einheiten) in der gleichen Spalte!

${\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\\uparrow :\\{\text{3850 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}$     $\left({\frac {3{,}5\cdot 3850}{14{,}7}}\right)\qquad x\approx 916{,}7\ {\text{Liter}}$

In diesen Aufgaben ist es wichtig zu verstehen: Man braucht nicht wissen, was die Wörter bedeuten! Man soll einfach die Struktur der Sätze der Aufgabe verstehen!

G1.4. Prozentrechnung

Prozentrechnung Begriffe

Das Wort „Prozent“ kommt aus dem lateinischen und bedeutet pro Hundert. Ein Prozent IST ein Hundertstel.

$1\%=\textstyle {\frac {1}{100}}=0{,}01$

In diesem Sinn ist z.B.:

$5\%=\textstyle {\frac {5}{100}}=0{,}05\qquad \quad 20\%={\frac {20}{100}}=0{,}20=0{,}2\qquad \quad {\frac {1}{4}}=0{,}25={\frac {25}{100}}=25\%$

Bei Aufgaben, die mit Prozentrechnung zu tun haben, ist der Wert am Anfang immer 100%.

100% ist gleich 1, also das „Ganze“:

100%=1

Diesen Anfangswert nennt man Grundwert. Es gibt dazu auch den Prozentwert (oder Prozentanteil) und den Prozentsatz. Um zu verstehen, was die Begriffe bedeuten, nehmen wir folgendes Beispiel:

Wie viel % von 55 Personen sind 11 Personen?

Wir wollen einen Teil von den 55 Personen in Prozent (in Hundertstel) berechnen. Dieser Teil sind die 11 Personen. Die 11 Personen sind der Prozentanteil oder Prozentwert.

Das Ganze (100%, Anfangswert) sind die 55 Personen. Der Grundwert ist "55 Personen".

Herauszufinden welcher Wert der Grundwert ist, ist in der Prozentrechnung eine entscheidende Aufgabe. Um den Grundwert im Satz zu erkennen, schaut man in der Regel, welches Wort im Genitiv steht. Wenn man sagt "des Gewichts", "der Bevölkerung", "von 55 Personen", dann sind diese Ausdrücke der Grundwert (100%). Der andere Wert ist der Prozentanteil.

Es kann aber sein, dass kein Wort in der Aufgabe im Genitiv steht, sondern, dass eine zeitliche Reihenfolge vorkommt. Wenn nichts anderes angegeben wird, ist der Wert in der früheren Zeit der Wert am Anfang, der Grundwert (100%). Beispielsweise, wenn ein Baum wächst, ist der Wert am zeitlichen Anfang der Grundwert, der Prozentwert kann dann variieren, je nachdem was gefragt ist: Er kann die Höhe am Ende sein oder der Höhenunterschied.

Wenn beides vorkommt (zeitliche Folge und Genitiv), dann ist der Genitiv der Grundwert. Im Beispiel mit dem Baum kann gefragt werden, wie viel Prozent der Höhe am Ende die Höhe am Anfang ist. In diesem Fall ist die Höhe am Ende der Anfangswert (Genitiv ist "stärker" als die zeitliche Reihenfolge).

Der Prozentsatz beschreibt, wie viele Hundertstel des Ganzen der Prozentanteil ist. In unserem Beispiel:

${\frac {11}{55}}\ \ {\stackrel {\text{kürzen}}{=}}\ \ {\frac {1}{5}}\ \ {\stackrel {\text{erweitern}}{=}}\ \ {\frac {20}{100}}\ =\ 20\%$

Grundaufgaben der Prozentrechnung

Nicht vergessen: Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%

• Wie viel % von 55 Personen sind 11 Personen?

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier ist der Prozentsatz eines Teils von 55 Personen gefragt. 55 Personen sind 100%. (Nach dem Wort „von“ steht der Wert, der 100% ist). Wir schreiben das so auf, wie wir es in der Schlussrechnung (genauer in der direkten Proportionalität) gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{55 Personen }}\\\uparrow :\\{\text{11 Personen }}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {100\cdot 11}{55}}\right)\qquad x=20\%$.

• Wie viele Personen sind 11% von 55 Personen?

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier ist ein Prozentsatz von 55 Personen gefragt, also haben wir am Anfang 55 Personen, die dann 100% sind! (Also nach dem Wort „von“ steht der Wert, der 100% ist). Wir schreiben das auf, wie wir es in der Schlussrechnung (genauer in der direkten Proportionalität) gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{55 Personen }}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\11\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {55\cdot 11}{100}}=6{,}05\right)\qquad x\approx 6\ {\text{Personen}}$.

• Wie viel % von 23 kg sind 5329kg?

Hier steht nach „von“ 23 kg, also sind 23kg 100%

${\begin{matrix}{\text{23 kg}}\\\uparrow :\\{\text{5329 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {100\cdot 5329}{23}}\right)\qquad x\approx 23170\%$.

• Wie viel ist 0,3% von 0,26 Liter?

${\begin{matrix}{\text{0,26 Liter}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\0{,}3\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {0{,}26\cdot 0{,}3}{100}}\right)\qquad x=0{,}00078\ {\text{Liter}}$.

• Von wie vielen Personen sind 55 Personen 11%?

Hier steht nach dem Wort „von“ eine Frage. Das Gefragte schreibt man in der Mathematik mit x. Daher ist x 100%. Das Gefragte ist 100%.

${\begin{matrix}x\\{}\\{\text{55 Personen }}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nearrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\downarrow \\11\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {55\cdot 100}{11}}\right)\qquad x=500\ {\text{Personen}}$.

G1.5. Klammer auflösen

Term Definition

Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck. $\textstyle {\color {Red}3+4}$,  $\textstyle {\color {Blue}s+x}$,  $\textstyle {\color {Red}t^{2}}$,  $\textstyle {\color {Cyan}r^{2}x-4r}$,  $\textstyle {\color {Red}{\frac {r^{2}x-4r}{w+9}}}$   sind alles Terme, wobei  $\textstyle {\color {Red}{\frac {r^{2}x-4r}{w+9}}}$   aus mehreren Teiltermen besteht.

Potenzen

Potenz Definition

Jeder Term der Form mⁿ ist eine Potenz. Was unten steht (hier m) nennt man Basis, was oben rechts (hier n) Hochzahl.

Potenz    $4_{\ \leftarrow {\text{Basis}}}^{3\ \ \leftarrow {\text{Hochzahl}}}$     Was bedeutet diese Schreibweise?

Wenn man 4+4+4 hat, kann man auch 3·4 schreiben: $\textstyle \underbrace {4+4+4} _{3\ mal}=3\cdot 4$. Eine Multiplikation zeigt, wie oft man eine Zahl mit sich selbst addiert.

Wenn man 4·4·4 hat, dann kann man 4³ schreiben. Eine Potenzzahl (hier 4³) zeigt, wie oft (so oft, wie die Hochzahl, hier 3) man eine Zahl (die Basis, hier 4) mit sich selbst multipliziert.

Strichrechnungen unter Potenzzahlen

Wir haben gelernt, dass eine Multiplikation uns zeigt, wie oft die gleiche Zahl innerhalb einer Summe vorkommt. Beispielsweise ist $\textstyle \ \underbrace {4+4+4+4+4+4+4} _{{\color {red}7}\ mal}={\color {red}7}\cdot 4$. Das bedeutet allerdings auch, dass $\textstyle \ 2a+5a=7a\$ ist, weil $\textstyle \ 2a+5a=\underbrace {a+a} _{{\color {red}2}\ mal}+\underbrace {a+a+a+a+a} _{{\color {red}5}\ mal}=\underbrace {a+a+a+a+a+a+a} _{{\color {red}7}\ mal}=({\color {red}2+5})\cdot a={\color {red}7}a$

Eine Potenzzahl zeigt, wie oft die gleiche Zahl innerhalb eines Produktes vorkommt. Beispielsweise: $\textstyle \ \underbrace {5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5} _{{\color {red}6}\ mal}=5^{\color {red}6}$.

Was ist jetzt, wenn wir Potenzzahlen addieren (oder subtrahieren)?

Eine Vereinfachung einer Strichrechnung zwischen Potenzen ist nur dann möglich, wenn die Potenzzahl die gleiche Basis und die gleiche Hochzahl hat.

Nehmen wir ein Beispiel: $\textstyle \ 3a^{2}+5a^{4}-2a^{4}+7a^{2}-6b^{2}$.

Bei 3a² und 7a² hat die Potenzzahl a² die gleiche Basis a und die gleiche Hochzahl 2. Diese Potenzen können zusammengerechnet werden:

$\textstyle \ 3a^{2}+7a^{2}=10a^{2}$

Entsprechend können wir mit a⁴ arbeiten:

$\textstyle \ 5a^{4}-2a^{4}=3a^{4}$

a² und a⁴ können wir hingegen nicht zusammenrechnen, da sie zwar die gleiche Basis a aber nicht die gleiche Hochzahl (2 bzw. 4) haben.

a² und b² können wir auch nicht zusammenrechnen, da sie zwar die gleiche Hochzahl 2 aber nicht die gleiche Basis (a bzw. b) haben.

Daher ist: $\textstyle \ 3a^{2}+5a^{4}-2a^{4}+7a^{2}-6b^{2}=10a^{2}+3a^{4}-6b^{2}$

Warum ist es so? Wie schon erwähnt, können nur gleiche Summanden durch eine Multiplikation ersetzt werden:

$\textstyle \ \underbrace {3+3+3+3+3+3+3} _{{\color {red}7}\ mal}={\color {red}7}\cdot 3$

Wenn wir 3⁴ und 3² anstatt 3 haben, sind die Summanden nicht gleich, da 3⁴=3·3·3·3=81 und 3²=3·3=9 ist:

$\textstyle \ {3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}}\neq {\color {red}7}\cdot 3$

$\textstyle \ {3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}+3^{2}+3^{4}+3^{4}}=81+9+81+81+9+81+81=\dots$

$\textstyle \ \dots =\underbrace {81+81+81+81+81} _{{\color {red}5}\ mal}+\underbrace {9+9} _{{\color {red}2}\ mal}={\color {red}5}\cdot 81+{\color {red}2}\cdot 9={\color {red}5}\cdot 3^{4}+{\color {red}2}\cdot 3^{2}(=423)$

Nur Potenzen, die sowohl die gleiche Basis als auch die gleiche Hochzahl haben, können zusammengerechnet werden.

Noch ein Beispiel: $\textstyle \ 11w^{3}+5c^{3}-7w^{3}+8c^{5}-12c^{3}+2w^{3}-3c^{5}=6w^{3}-7c^{3}+5c^{5}$

 

Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man multiplizieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Summe der Hochzahlen schreibt.

$4^{3}\cdot 4^{6}=4^{3+6}=4^{9}\quad \quad a^{t}\cdot a^{q}=a^{t+q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{57}=x^{3+57}=x^{60}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

$4^{3}\cdot 4^{6}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4} _{3\ mal}\cdot \underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{6\ mal}=\underbrace {4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4} _{9\ mal}=4^{9}\quad _{(=4^{3+6})}$

Die Hochzahlen addiert man, auch wenn sie negativ sind:

$4^{7}\cdot 4^{-2}=4^{7+(-2)}=4^{5}\quad \quad a^{t}\cdot a^{-q}=a^{t+(-q)}=a^{t-q}\quad \quad x^{3}\cdot x^{-7}=x^{3+(-7)}=x^{3-7}=x^{-4}$

Allgemein kann man daher folgern:

$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können. Für den Fall von natürlichen Hochzahlen können wir schreiben:

$a^{n}\cdot a^{m}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n\ mal}\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{m\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot \dots \ \cdot a} _{n+m\ mal}=a^{n+m}$

Vorischt! Bei einer Addition oder Subtraktion von Potenzen kann man dagegen die Hochzahlen nicht addieren!

$4^{3}+4^{6}\neq 4^{9}$

Klammer Ausmultiplizieren

Ziel des Ausmultiplizierens

Lösen Sie die Klammern auf!

$2(3x-5)\qquad (1)$

Ziel solcher Aufgaben ist, einen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben, der gleichwertig zu diesem Ausdruck (mit Klammern) ist. Probieren wir zunächst einmal die Klammern einfach wegzulassen. Zuerst soll man etwas erklären:

Wenn zwischen zwei mathematischen Ausdrücken nichts (keine Rechenart) steht, ist ein "mal" gemeint (Multiplikation) (einzige Ausnahme sind hier die gemischten Zahlen)

${\begin{matrix}2(3x-5)=\\6x-5\end{matrix}}\qquad (2)$

Probieren wir jetzt in beiden Ausdrücken eine Zahl an der Stelle von x einzusetzen, beispielsweise 0:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=0}-5)=-10$ $(2)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=0}-5=-5$

Die beide Ausdrücke sind nicht gleich. Probieren wir es auch mit 1:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=1}-5)=-4$ $(2)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=1}-5=1$

Wieder sind die Ausdrücke nicht gleich. Man sagt dann, dass  $2(3x-5)\neq 6x-5$  ist, dass  $2(3x-5)$  nicht gleich zu  $6x-5$  ist. Obwohl eine Zahl schon ausreichen könnte, stimmt das eigentlich für alle Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann.

Probieren wir dann beide Summanden in der Klammer mit dem Ausdruck außerhalb der Klammer zu multiplizieren:

${\begin{matrix}2(3x-5)=\\6x-10\end{matrix}}\qquad (3)$

Egal mit welcher Zahl wir es jetzt ausprobieren, werden die beide Ausdrücke immer gleich sein! Beispielsweise mit $4$:

$(1)\quad \rightarrow \quad 2(3{\cancel {x}}^{=4}-5)=14$ $(3)\quad \rightarrow \quad 6{\cancel {x}}^{=4}-10=14$

Da das immer gilt, kann man schreiben:

$2(3x-5)=6x-10$

Wir haben daher unser Ziel erreicht! Wir haben einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern!

Klammern werden aufgelöst, indem jeder Summand in Klammern mit dem Ausdruck außerhalb der Klammer multipliziert wird.

Erklärung des Ausmultiplizierens

Denken wir an eine Kiste die 2 Zitronen und 4 Birnen hat:

Nehmen wir an, dass wir diese Kiste 3 mal haben:

In diesem Fall haben wir 3 mal 2 also 6 Zitronen und 3 mal 4 also 12 Birnen.

Den Inhalt der Kiste müssen wir mit 3 multiplizieren und zwar muss jede verschiedene Sorte, die in der Kiste ist, mit 3 multipliziert werden.

Ein Klammer ist genau so wie eine Kiste:

$3\cdot (2z+4b)=3\cdot 2z+3\cdot 4b=6z+12b$

Wir haben einfach statt Bilder für die Zitronen den Buchstabe z und für die Birnen den Buchstabe b benutzt.

Es spielt keine Rolle, ob außerhalb der Kiste eine Zahl oder ein Symbol steht:

$a\cdot (2z+4b)=a\cdot 2z+a\cdot 4b=2a\ z+4a\ b$

Zwischen 2z und 4b steht ein Plus. Der Vorgang ist der gleiche bei Minus:

$a\cdot (2z-4b)=a\cdot 2z-a\cdot 4b=2a\ z-4a\ b$

Auch wenn wir Minus haben, können wir die verschiedenen Sorten (hier 2z und 4b) Summanden nennen.

Ein Klammer wird ausmultipliziert, indem jeder Summand in der Klammer mit der Sache außerhalb der Klammer multipliziert wird.

Beispiel: $\ 5a\cdot (2z-4b+3c)=5a\cdot 2z-5a\cdot 4b+5a\cdot 3c=10a\ z-20a\ b+15a\ c$  

Aufgaben mit einer Klammer

Lösen Sie die Klammern auf!

$2x^{2}(3x^{5}-7+5x)$

Die Aufgabe hier ist, einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben. Wie eben erklärt, multipliziert man dafür den Term außerhalb der Klammer ( $2x^{2}$ ) mit jedem Summand in den Klammern (also erst mit  $3x^{5}$ , dann mit  $7$  und dann mit  $5x$ ):

Der Ausdruck am Ende ist immer gleich mit dem Ausdruck am Anfang. Wir haben also die Klammer aufgelöst!

Aufgaben mit 2 Klammern

Lösen Sie die Klammern auf!

$(2x^{2}-5)(3x^{2}-4)$

Die Aufgabe hier ist wieder, einen gleichwertigen Ausdruck ohne Klammern zu schreiben. Um das zu machen, multipliziert man jeden Summand der ersten Klammer  $(2x^{2}-5)$  mit jedem Summand der zweiten Klammer  $(3x^{2}-4)$ :

Zu bemerken ist, dass −8x²−15x² eine Strichrechnung zwischen Potenzen ist. Daher gelten hier die entsprechenden Regel der Strichrechnungen unter Potenzzahlen

Hier gilt die Multiplikationsregel der Vorzeichen: plus mal plus ist plus, plus mal minus ist minus, minus mal plus ist minus, minus mal minus ist plus. (Das Gleiche gilt bei durch)

+ · + = +

+ · − = −

− · + = −

− · − = +

Hier ist darauf zu achten, dass die Regel ausschließlich bei Punktrechnungen gilt (Multiplikation und Division). Hier ein paar Beispiele, die den Zusammenhang klar machen sollten:

5−6=−1
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen: 5 MINUS 6, was insgesamt MINUS 1 beträgt.

5·(−6)=−30
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (mal) zwischen eine positive und eine negative Zahl, also hier gilt + · − = − und die Werte 5 und 6 müssen wir multiplizieren (5 mal 6 ist 30).

−20−4=−24
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen, wobei die erste Zahl negativ ist, also MINUS 20 MINUS 4, was insgesamt MINUS 24 beträgt.

−20 : (−4)=5
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (durch) zwischen zwei negative Zahlen, also hier gilt − · − = + und die Werte 20 und 4 müssen wir dividieren (20 durch 4 ist 5).

5+6=11
In diesem Fall haben wir eine Strichrechnung zwischen zwei Zahlen: 5 PLUS 6, was insgesamt 11 beträgt.

5·6=30
In diesem Fall haben wir eine Punktrechnung (mal) zwischen zwei positive Zahlen, also hier gilt + · + = + und die Werte 5 und 6 müssen wir multiplizieren (5 mal 6 ist 30). Diese Berechnung ist gleichbedeutend mit (+5)·(+6)=30.

Die Berechnung 5−6=−1 ist gleichbedeutend mit 5+(−6)=−1. Hier haben wir zwar keine ausdrückliche Multiplikation, wir addieren allerdings eine negative Zahl. In solchen Fällen sollen wir schon die plus mal minus Regel anwenden, wir haben aber doch keine Multiplikation, also 5 wird NICHT mit 6 multipliziert. Die Regel gilt nur für die Vorzeichen. Daher gilt:
5+(+6)=11
5−(+6)=−1
5−(−6)=5+6=11
5+(−6)=−1
Es gilt auch: −5+6=1

G1.6. Textaufgaben zu den Grundrechenarten

Rechenart	Ausgedrückt als	Symbol	Namen der Teile	Name des Ergebnisses
Addition	plus	+	$2$        $+$      $7$      $=$	$9$
(addieren, erhöhen)			Summand $+$ Summand $=$	Summe
Subtraktion	minus	−	$65$      $-$      $22$      $=$	$43$
(subtrahieren, reduzieren, vermindern, abziehen)			Minuend $-$ Subtrahend $=$	Differenz
Multiplikation	mal	⋅  (×)	$9$      $\cdot$      $13$      $=$	$117$
(multiplizieren, vervielfachen, -fach)			Faktor  ⋅  Faktor $=$	Produkt
Division	durch	:  (÷, /)	$84$      $:$      $7$      $=$	$12$
(dividieren, teilen)			Dividend $:$ Divisor $=$	Quotient

Mit den Grundrechenarten kann man auch Textaufgaben bilden. Bei diesen Aufgaben ist in der Regel die Bedeutung der Wörter nicht so wichtig, wie der Aufbau des Satzes:

• Dividieren Sie die Differenz von 125 und 20 mit der Summe von 4 und 3.

Schauen wir mal, wie der Satz aufgebaut ist. Erst steht, dass man dividieren muss (also durch machen). Was muss man aber dividieren? Was steht nach dem Wort dividieren? Die Zahlen 125 und 20? NEIN! Nach dem Wort dividieren (durch machen) steht das Wort Differenz! Man muss also erst eine Differenz berechnen! Welche Differenz? Die Differenz von 125 und 20(was nach dem Wort Differenz steht)! Das steht ja auch da! Die Differenz (Minus) von 125 und 20 ist 125−20=105. Diese Differenz muss man durch irgendwas dividieren. Ist das durch 4, durch 3 oder doch was anderes? Doch was anderes! Die Differenz muss man mit der Summe (Plus machen) dividieren. Man muss also erst eine Summe berechnen, die Summe von 4 und 3 (was nach dem Wort Summe steht), 4+3=7. Man soll also die Differenz (105) durch die Summe (7) dividieren:

105:7=15. 15 ist also die Antwort zur Aufgabe!

G2 Grundniveau 2

G2.1. Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl besteht aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch:  $\textstyle 6{\frac {4}{5}}$

Gemischte Zahl in unechten Bruch umwandeln

Um eine gemischte Zahl in einen Bruch umzuwandeln, multipliziert man die natürliche Zahl mit dem Nenner des Bruches und addiert das Ergebnis zum Zähler. Das neue Ergebnis ist dann der Zähler des neuen Bruches, der Nenner bleibt der gleiche:

$6{\frac {4}{5}}={\frac {6\cdot 5+4}{5}}={\frac {34}{5}}$

Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln

Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, dividiert man den Zähler mit dem Nenner (ohne Nachkommastellen). Das Ergebnis der Division ist der „Zahlteil“ der gemischten Zahl, der Rest ist der Zähler des „Bruchteils“, der Nenner bleibt der gleiche:

    (siehe Division)

Folgendes Beispiel setzt die Anwendung eines Taschenrechners voraus:

${\frac {1895}{23}}=?\qquad \qquad {\begin{array}{rrl}1895&:{\boldsymbol {2}}3&={\color {red}{\boldsymbol {8}}2}{,}\dots \\\ {\color {red}{\boldsymbol {8}}2}&\cdot \ {\boldsymbol {2}}3&={\color {YellowOrange}1886}\\1895&-{\color {YellowOrange}1886}&={\color {blue}{\boldsymbol {9}}}\end{array}}\qquad \qquad {\text{ also }}\quad {\frac {1895}{23}}={\color {red}{\boldsymbol {8}}2}{\frac {\color {blue}{\boldsymbol {9}}}{{\boldsymbol {2}}3}}$

Eintausend-achthundert-fünfundneunzig Dreiundzwanzigstel sind so viel wie zweiundachtzig Ganzen und neun Zwanzigstel.

Das Ergebnis der Division 1895:23 mit dem Taschenrechner ist 82 Komma einige Nachkommastellen. Dieses Ergebnis ohne Nachkommastellen (82) wird die ganze Zahl in der gemischte Zahl sein. Das Ergebnis ohne Nachkommastellen (82) wird dann mit den Nenner (hier 23) multipliziert: 82·23=1886. Dieses Produkt (1886) wird dann vom Zähler (1895) subtrahiert: 1895-1886=9. Diese Differenz (9) stellt den neuen Zähler in der gemischten Zahl dar, der Nenner bleibt unverändert (23).

Der Prozess also mit Anwendung eines Taschenrechners könnte so aussehen:

${\frac {1895}{23}}=?$

Division mit dem Taschenrechner durchführen (1895:23=82 Komma einige Nachkommastellen). Ergebnis nach dem Gleichzeichen samt Bruchstrich und Nenner (23) schreiben:

${\frac {\color {red}1895}{23}}={\color {red}81}{\frac {?}{\color {red}23}}$

Die Diagonale (hier oben mit roten Zahlen markiert:) Zähler links (1895) minus ganze Zahl (81) mal Nenner rechts (23) wie im folgenden benutzen und Ergebnis in den Zähler rechts schreiben:

$1895-81\cdot 23={\color {red}9}$

also

${\frac {1895}{23}}=81{\frac {\color {red}9}{23}}$

G2.2. Erweitern und Kürzen

Erweitern

Erweitern ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

${\frac {4}{7}}={\frac {4\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {20}{35}}$

Bruchkürzen

Kürzen ist, wenn man sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl dividiert. Der neue Bruch bleibt dann doch gleich:

${\frac {12}{8}}={\frac {12:4}{8:4}}={\frac {3}{2}}$

In all diesen Fällen arbeitet man mit natürlichen Zahlen (positive Zahlen ohne Komma).

Erklärung des Erweiterns und des Kürzens

7 2         5

Vergleichen wir die beiden Bilder. Im ersten Bild wird das Ganze im $5$ geteilt, zwei Teile davon werden dunkel dargestellt. Das ist also eine Repräsentation des Bruches $\textstyle \ {\frac {2}{5}}$. Im zweiten Bild wird das Ganze nicht nur in $5$ (waagerecht) sondern auch in $7$ (senkrecht) geteilt. Dadurch entstehen im Ganzen $\ 5\cdot 7=35\$ kleine "Quadrate". Jedes kleines Quadrat ist daher $\textstyle \ {\frac {1}{35}}\$ des Ganzen. Die dunkle Region ($\textstyle \ {\frac {2}{5}}$) beinhaltet allerdings $\ 2\cdot 7=14\$ solche "Quadrate" also $\textstyle \ {\frac {14}{35}}$. Man folgt daraus, dass $\textstyle \ {\frac {2}{5}}={\frac {14}{35}}\$ ist. Man hat in diesem Fall sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen Zahl (hier $7$) multipliziert: $\textstyle \ {\frac {2}{5}}={\frac {2\cdot 7}{5\cdot 7}}={\frac {14}{35}}\$. Diesen Prozess nennt man erweitern.

Der Gegenprozess ist dann das Kürzen. Im ersten Bild wird das Ganze in $5$ Zeilen und $7$ Spalten also insgesamt in $\ 7\cdot 5=35\$ kleine "Quadrate" geteilt (das könnte selbstverständlich eine andere Austeilung sein). Die blaue Region ist $\ 3\cdot 5=15\$ solche Teile, also $\textstyle \ {\frac {15}{35}}$. Wenn man jetzt die waagerechte Austeilung (in Fünf Zeilen geteilt) entfernt (zweites Bild), dann ist das ganze nur in $7$ (Spalten) geteilt, wobei jetzt die blaue Region $3$ Spalten davon ist also $\textstyle \ {\frac {3}{7}}$. In diesem Fall haben wir sowohl Zähler als auch Nenner durch die gleichen Zahl (hier $5$) dividiert: $\textstyle \ {\frac {15}{35}}={\frac {15:5}{35:5}}={\frac {3}{7}}$. Diesen Prozess nennt man kürzen.

G2.3. Umformen Grundwissen Gegenrechnungen

Nachdem Vassili Lisa drei Äpfel gibt, hat er fünf Äpfel. Wie viele Äpfel hatte er vorher?

Wie kann man diese Aufgabe in der mathematischen Sprache schreiben? Für das Gefragte (wie viele Äpfel) wird in Mathematik irgendein Symbol benutzt, als Stellvertreter für die noch unbekannte Zahl. In der Regel wird als Symbol ein Buchstabe verwendet und nicht allzu selten x.
Mit x sind also die Äpfel gemeint, die Vassili am Anfang hatte. Wir wissen noch nicht, wie viele sie waren, daher schreiben wir ein Symbol dafür, ein Buchstabe, also x.

Wenn Vassili drei Äpfel der Lisa gibt, dann hat er weniger Äpfel als zuvor, es geht um eine Subtraktion. Von den x Äpfeln am Anfang sind drei Äpfel zu subtrahieren. Dass dann noch fünf Äpfel bleiben, wird durch den folgenden mathematischen Ausdruck geschrieben:

x−3=5

Man kann für x verschiedene Zahlen ausprobieren, z.B. 2, 3, 7, 8 oder 9. So kann man schon feststellen, dass nur acht minus drei gleich fünf ist. „x“ muss also 8 sein, damit die Rechnung stimmt. Vassili hatte also 8 Äpfel am Anfang.

Die ganze Zeit ausprobieren ist allerdings nicht gerade geschickt. Besonders bei größeren Zahlen wird es sogar ziemlich schwer. Es gibt in der Mathematik einen geschickteren Weg, die Aufgabe zu lösen. Man benutzt die sogenannte Gegenrechnung. Bei allen Gleichungen gibt es zwei Teile, ein Teil links vom „=“ und ein Teil rechts vom „=“. Bringt man einen Term von einer Seite zur anderen, dann muss man die Gegenrechnung benutzen.

Die Gegenrechnung der Subtraktion ist die Addition und umgekehrt.

Wenn x−3=5 ist, dann kann man die 3 auf die andere Seite vom „=“ bringen und statt minus die Gegenrechnung (plus) benutzen:

x=5+3       also x=8

Bei der Aufgabe c+4452 = 341 bringt man 4452 auf die andere Seite und benutzt die Gegenrechnung von minus. Die Lösung ist daher:

c+4452 = 341 → c= 341−4452 → c = −4111

Die Gegenrechnung der Multiplikation ist die Division und umgekehrt.

3f=114

Zwischen 3 und f steht nichts.

Wenn in Mathematik zwischen zwei Ausdrucken (zum Beispiel einer Zahl und einem Symbol, einer Klammer und einer Zahl und so weiter) nichts steht, dann ist Multiplikation gemeint (einzige Ausnahme: die gemischten Zahlen).

Da zwischen 3 und f nichts steht, ist mal gemeint. f ist ein Symbol und steht für irgendeine Zahl. Die Aufgabe ist herauszufinden, wie viel f sein soll, damit die Rechnung stimmt. In diesem fall soll 3 auf die andere Seite gebracht und die Gegenrechnung von mal (also durch) benutzt werden:

3f=114 (nichts zwischen 3 und f, also mal gemeint):

3·f=114 (3 auf die andere Seite von „=“ bringen und Gegenrechnung, also hier Division, benutzen)

f=114:3 und daher

f = 38.

Man kann auch einen Bruch statt einer Division benutzen:

$f={\frac {114}{3}}=38$

Entsprechend ist die Gegenrechnung der Division die Multiplikation:

$\textstyle {\frac {k}{5}}=11$    also k:5 = 11 und daher k = 11 · 5

k = 55

Was ist aber die Gegenrechnung vom Quadrat?

Die Gegenrechnung von Quadrat ist die sogenannte „Wurzel“:

z² = 81 also z = ${\sqrt {81}}$  und daher z=9

9 ist die Zahl, deren Quadrat 81 ist, daher ist die Wurzel von 81 gleich 9. Wenn wir in der Gleichung z² = 81 z durch 9 ersetzen, dann stimmt die Gleichung tatsächlich: 9² = 81

Selbstverständlich ist die Gegenrechnung der Wurzel das Quadrat.

${\sqrt {m}}$ = 13 also m = 13² und daher m=169

Obwohl es für das Niveau dieses Buches nicht absolut notwendig ist, können wir doch auf eine Tatsache aufmerksam machen: Die Gleichung z² = 81 hat noch eine Lösung, wenn z gleich −9 ist. Freilich stimmt die Gleichung (−9)² = 81. (−9)² bedeutet (−9)·(−9). Minus mal minus ist plus und daher:

(−9)² =(−9)·(−9)= + 9·9 = 81 also

(−9)² = 81

G2.4. Einheiten und physikalische Größen

Unsere Umgebung, die Natur, wir selber haben viele Eigenschaften: ein Wald kann schön sein, ein Berg kann groß oder klein sein, das Meer blau usw. Manche Eigenschaften, die man messen kann, sind für die Physik wichtig. Solche Eigenschaften sind z.B. die Länge (oder der Abstand, der Weg usw.), die Masse (grob gesagt: das Gewicht), die Zeit, die Geschwindigkeit, die Kraft, die elektrische Ladung usw. Alle diese Eigenschaften, die für die Physik wichtig sind und die man messen kann, nennt man physikalische Größen.

Jede Größe kann man mit verschiedenen Einheiten messen. Für den Abstand z.B. benutzt man Meter (oder auch Zolle, Kilometer, Millimeter usw.), für die Zeit Sekunde (oder Stunden, Tagen, Minuten usw.) für die Masse Kilogramm (oder Gramm, Tonne usw.), für die Kraft Newton usw..

Vorsätze von Einheiten

Für jede Einheit gibt es verschiedene Vorsätze, also kleine Wörter, die einen gewissen Anteil der Einheit zeigen:

Milli (m) bedeutet ein Tausendstel, Zenti (c) ein Hundertstel, Deci (d) ein Zehntel, Kilo (k) bedeutet Tausend. Ein Milligramm (mg) bedeutet daher ein Tausendstel eines Gramms, ein Zentimeter (cm) bedeutet ein Hundertstel eines Meters, ein Kilogramm (kg) Tausend Gramms, ein Decivolt (dV) ein Zehntel eines Volts, ein Zentiliter (cL) ein Hundertstel eines Liters, ein Kilowatt (kW) Tausent Watts.

G2.5. Einheiten ohne Hochzahl

Abstand

Für die Umrechnungen eines Abstandes benutzt man folgendes Schema:

In diesem Bild:

• Wenn ein Abstand z.B. in km gegeben ist und in dm umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel einmal mit 1000 und einmal mit 10:

2,35km= 2,35 ·1000 ·10 dm = 23500 dm

• wenn ein Abstand z.B. in cm gegeben ist und in m umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel zwei mal durch 10:

0,054cm= 0,054:10:10 m = 0,00054m

Masse

Für die Umrechnungen einer Masse benutzt man folgendes Schema:

In diesem Bild:

• wenn eine Masse z.B. in kg gegeben ist und in mg umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel zwei mal mit 1000:

0,087kg= 0,087 ·1000 ·1000 mg = 87000mg

• wenn eine Masse z.B. in g gegeben ist und in Tonnen (t) umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel zwei mal durch 1000:

36530g= 36530:1000:1000 t = 0,03653t

Zeit

Für die Umrechnungen der Zeit benutzt man folgendes Schema:

In diesem Bild:

• wenn eine Zeit z.B. in Minuten gegeben ist und in Sekunden umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel einmal mit 60:

0,08min= 0,08·60 s = 4,8s

• wenn eine Zeit z.B. in Minuten gegeben ist und in Tage umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel einmal durch 60 und einmal durch 24:

36630 min= 36630:60:24 Tage = 25,4375 Tage

G2.6. Lageparameter

Lageparameter Einführung

In der Mathematik, besonders im Bereich der Statistik, gibt es viele sogenannten Mittelwerte. Was ist ein Mittelwert? Wenn man viele Werte (viele Zahlen, die irgendwas messen) hat, dann gibt es eine Zahl, die sich irgendwie in der Mitte dieser Werte befindet. Das ist ein Mittelwert. Es gibt aber verschiedene „Mitten“, also verschiedene Wege um diese Mitte zu berechnen, je nachdem wie das Problem ist. Zwei von diesen Wegen werden wir hier lernen, den Durchschnitt (auch arithmetisches Mittel genannt) und den Median (auch Zentralwert genannt). Wir werden auch den sogenannten Modalwert (Modus) kennenlernen, der zwar kein Mittelwert aber für die Beschreibung von Daten oft hilfreich ist.

Durchschnitt (arithmetisches Mittel)

Fangen wir mit einem Beispiel an:

• Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie?

Um diese Frage zu beantworten, soll man erst die ganze Ernte berechnen, also die Teilernten addieren. Dann wird die ganze Ernte auf die Anzahl der Familien geteilt. So wird jede Familie gleich so viele Kirschen bekommen. Das Ergebnis nennt man Durchschnitt.

$\mathbf {Durchschnitt} ={\frac {\mathrm {Summe\ der\ Werte} }{\mathrm {Anzahl\ der\ Werte} }}={\frac {54+65+48+76+52+65+45}{7}}\approx 57{,}86$  (das sind kg)

Jede Familie bekommt dann ca. 57,86 kg.

Den Durchschnitt (auch arithmetisches Mittel genannt) mehrerer Werte berechnet man, indem man ihre Summe durch ihre Anzahl (wie viele Werte wir haben) dividiert:

$\mathbf {Durchschnitt} ={\frac {\mathbf {Summe\ der\ Werte} }{\mathbf {Anzahl\ der\ Werte} }}$

Median (Zentralwert)

Den Median (auch Zentralwert genannt) mehrerer Werte findet man, indem man die Werte zuerst der Größe nach ordnet (z.B. vom kleineren zum größeren) und dann den Wert in der Mitte der Reihe wählt.

Ein Beispiel!

• Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Wie viel ist der Median?

Zuerst der Größe nach ordnen!

45, 48, 52, 54, 65, 65, 76

(ALLE Werte schreiben, also zwei oder mehr mal schreiben, wenn der Wert mehrmals vorkommt; jeden Wert muss man schreiben, so oft wie er vorkommt)

Der Wert in der Mitte ist 54. Es gibt 3 Werte links und 3 Werte rechts. Also 54 ist genau in der Mitte. Daher ist 54kg der Median!

Was ist aber, wenn die Anzahl der Werte eine gerade Zahl ist, wenn wir z.B. 12 Werte haben (12 ist eine gerade Zahl) und nicht 7 wie vorher (7 ist eine ungerade Zahl). Wenn man 7 Werte hat (oder irgendeine andere ungerade Zahl) dann gibt es genau eine Zahl in der Mitte. Bei gerader Anzahl der Werte gibt es doch 2 Zahlen in der Mitte. In diesem Fall wird als Median der Wert definiert, der genau zwischen den beiden Zahlen in der Mitte steht, also der Durchschnitt der beide Zahlen. Schauen wir ein Beispiel an!

• Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 52kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg, 65kg, 45 kg, 45kg, 78kg, 69kg. Wie viel ist der Median?

Zuerst der Größe nach ordnen!

45, 45, 45, 48, 52, 52, 65, 65, 65, 69, 76, 78

(ALLE Werte schreiben, also jeden Wert schreiben, so oft wie er vorkommt)

Hier gibt es zwei Werte in der Mitte, 52 und 65. Der Median ist genau in der Mitte also die beide Werte addieren und durch 2 dividieren:

$\mathbf {Median} ={\frac {52kg+65kg}{2}}=58{,}5\ kg$

Modus (Modalwert)

Der Modus (auch Modalwert genannt) von mehreren Werten ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Ein Beispiel!

• Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 54kg, 63kg, 48kg, 76kg, 52kg, 63kg, 45kg. Wie viel ist der Modalwert?

Hier kommt 63 zwei mal vor, alle andere Werte kommen nur einmal vor. Daher ist 63kg der Modus.

Was ist aber, wenn mehrere Werte öfters vorkommen? Noch ein Beispiel!

• Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 52kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg, 65kg, 45 kg, 45kg, 78kg, 69kg.

Hier kommt 45 drei mal vor, 65 drei mal vor, 52 zwei mal vor und die restlichen Werte nur ein mal vor. 45 und 65 kommen am öftesten vor. Daher sind sie beide Modalwerte. 52 hingegen kommt nicht so oft vor wie 45 und 65 (also „nur“ zwei mal), daher ist 52 kein Modalwert. Es gilt also:

Modalwerte (Modi): 45kg und 65kg

G2.7. Säulendiagramm

Was ist ein Diagramm

In Diagrammen kann man verschiedene Daten in einem Bild darstellen, die man dann schnell ablesen kann. Diagramme können helfen, einen schnellen Überblick zu bekommen, werden aber auch oft benutzt, um einen falschen Eindruck zu bewirken. Hier werden das Säulendiagramm, das Liniendiagramm, das Kreisdiagramm und das Boxplotdiagramm präsentiert, es gibt aber auch zahlreiche andere Diagrammarten, wie z.B. Punktdiagramm, Balkendiagramm usw.

Das Säulendiagramm

Das Diagramm mit den Farben gibt die Anzahl der Steine in einem Kinderspiel, die eine gewisse Farbe haben. 4 Steine sind rot, 1 ist orange, 1 ist gelb, keine ist grün, es gibt 6 türkis usw. So ein Diagramm nennt man Säulendiagramm, weil es aus „Säulen“ besteht, wie in einem alten Tempel (Bild rechts). Die Farben sind sogenannte nominale Variablen. Nominale Variablen können wir zwar voneinander unterscheiden, wir können aber nicht z.B. sagen, dass rot "größer" als blau ist, wie z.B. wir sagen können, dass 4 mehr als 1 ist. Nominalen Variablen können wir also nicht der Größe nach ordnen. In diesem Diagramm können wir allerdings den sogenannten Modus ablesen, also welche Farbe am häufigsten vorkommt (Türkis).

Das folgende Diagramm gibt die Anzahl der Packungen, die eine gewisse Anzahl von Bananen pro Packung beinhalten. Die Anzahl der Bananen pro Packung ist eine sogenannte kardinale Größe (genauer gesagt: Variable einer Verhältnisskala). Wir können die einzelne Werte addieren, wir können auch dadurch einen Durchschnitt finden. Das geht allerdings nicht mit den Werten, die auf der x-Achse stehen (hier Bananen pro Packung), sondern nur mit den einzelnen Werten.

Säulendiagramm

Wenn die Frage z.B. ist, wie viele Packungen 4 Bananen haben, geht man so vor:

Auf der Achse unten (waagerechte Achse, x-Achse, auch Abszissenachse oder einfach Abszisse genannt) kann man die Bananen pro Packung ablesen, also kann man Bananen ablesen. Da wo 4 Bananen stehen (unten am Diagramm) befindet sich eine Säule. Man kann sehen, wie hoch diese Säule ist. Sie ist so hoch wie 5 Packungen. Die Anzahl der Packungen kann man links ablesen (auf der senkrechte Achse, der y-Achse, auch Ordinatenachse oder einfach Ordinate genannt). Also es gibt 5 Packungen mit 4 Bananen.

Wie viele Packungen haben 3 Bananen? Da, wo 3 Bananen stehen (unten, x-Achse), gibt es keine Säule! Die Höhe der Säule ist daher 0. Es gibt also keine (0) Packung, die 3 Bananen hat!

Wie viele Packungen haben keine Banane? Da, wo 0 Bananen stehen (unten, x-Achse), gibt es eine Säule, die 4 Packungen hoch ist. Es gibt also 4 Packungen mit keiner Banane!

Wie viele Packungen haben höchstens 3 Bananen? Höchstens bedeutet bis, also so viel wie 3 Bananen oder weniger (also 2, 1 oder keine Banane). Es gibt keine Packung mit 3 Bananen, 3 Pack. mit 2 Ban., 2 Pack. mit 1 Banane und 4 Pack. mit keiner Banane, also insgesamt 0+3+2+4=9 Pack..

Wie viele Packungen haben mindestens 3 Bananen? Mindestens bedeutet ab, also so viel wie 3 Bananen oder mehr (also 4, 5, 6 oder mehr Bananen). Es gibt keine Packung mit 3 Bananen, 5 Pack. mit 4 Ban. und 1 Pack. mit 5 Ban., also insgesamt 0+5+1=6 Pack..

G2.8 Kürzen mit Primfaktorzerlegung

Was sind Primzahlen

Primzahlen sind die natürlichen Zahlen (Zahlen ohne Komma und Minus), die nur durch 1 und sich selbst geteilt werden können. (teilbar: dividieren, ohne dass eine Kommazahl entsteht)

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
geht auch durch			2		2 3		2 4	3	2 5		2 3 4 6
Prim- zahl	✔	✔	✘	✔	✘	✔	✘	✘	✘	✔	✘	✔

Z.B.:

2 ist nur durch 2 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

3 ist nur durch 3 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

4 ist nur durch 4 und 1, aber auch durch 2 teilbar und daher keine Primzahl.

5 ist nur durch 5 und 1 teilbar und daher eine Primzahl.

6 ist nur durch 6 und 1, aber auch durch 2 und 3 teilbar und daher keine Primzahl.

usw.

Was bedeutet in diesen Sätzen "teilbar"? Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn das Ergebnis der Division kein Nachkommastellen enthält.

Nehmen wir die Zahl 5.

$5:1=5$

$5:2=2{,}5$

$5:3=1{,}{\dot {3}}$ 

$5:4=1{,}25$

$5:5=1$

Dividiert man 5 durch jede größere natürlich Zahl (also: 6,7,8…), erhält man als Ergebnis eine Kommazahl kleiner als 1 (also Null-Komma-irgendwas). Beispielsweise:

$5:6=0{,}8{\dot {3}}$

Teilbar ist die Zahl 5 also nur durch eins (5:1=5) und sich selbst (5:5=1). Da bei unserem Beispiel alle anderen Ergebnisse ein Komma enthalten ist die Zahl 5 eine Primzahl.

Für 6 hingegen ist das nicht der Fall. 6 ist selbstverständlich durch 1 und 6 teilbar, aber eben auch durch 2 (6:2=3) und durch 3 (6:3=2). Daher ist 6 KEINE Primzahl.

Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ...

Faktor ist ein Teil einer Multiplikation.

Primfaktorzerlegung (PFZ) bedeutet daher, eine Zahl als Produkt von Primzahlen auszudrücken (die dann Faktoren sind; Primzahlen die auch Faktoren sind, nennt man Primfaktoren; wenn man eine Zahl in Primfaktoren zerlegt, hat man die PFZ).

Vorgangsweise

Nehmen wir die Zahl 7800. Wir versuchen sie durch die Primzahlen der Reihe nach und soweit es jedes Mal geht zu dividieren. Die erste Primzahl ist 2 7800 : 2 = 3900. Geht es weiter durch 2? Ja! 3900 : 2 = 1950. Geht es noch weiter? Ja! 1950:2=975. Weiter durch 2 geht es aber nicht.

Probieren wir dann durch 3. Geht es? Ja! 975:3=325. Geht es weiter durch 3? Nein! (325:3 = 108,33

Probieren wir die nächste Primzahl: 325:5=65. Das geht nochmal: 65:5=13.

Die nächsten Primzahlen sind 7 und 11, da geht es nicht. Es geht wieder durch 13 13:13=1.

Hier sind wir fertig. Wir haben 7800 drei mal durch 2, ein mal durch 3, zwei mal durch 5 und ein mal durch 13 dividiert und dann war das Ergebnis 1. Es gilt daher: 7800:2:2:2:3:5:5:13=1 und umgekehrt (Gegenrechnung) 7800=2·2·2·3·5·5·13.

Schreibweise

Den ganzen Prozess Schritt zum Schritt kann man so darstellen:

7800

7800	2
3900

7800	2
3900	2
1950

7800	2
3900	2
1950	2
975	3
325

7800	2
3900	2
1950	2
975	3
325	5
65

7800	2
3900	2
1950	2
975	3
325	5
65	5
13

7800	2
3900	2
1950	2
975	3
325	5
65	5
13	13
1

Anwendung der Primfaktorzerlegung beim Kürzen

Wir haben schon das Kürzen von Brüchen gesehen:

${\frac {45}{35}}={\frac {45:5}{35:5}}={\frac {9}{7}}$

Hier sieht man sofort, dass man sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 5 teilen kann. Was ist aber, wenn man große Zahlen hat. In diesem Fall ist es besser, die PFZ der Zahlen erst durchzuführen:

${\frac {6664}{8820}}=$?

6664	2
3332	2
1666	2
833	7
119	7
17	17
1

8820	2
4410	2
2205	3
735	3
245	5
49	7
7	7
1

Man schreibt Zähler und Nenner als Produkt von Primzahlen und kürzt den Bruch (also Primzahlen, die oben und unten vorkommen, werden gestrichen)

${\frac {6664}{8820}}={\frac {{\cancel {2}}\cdot {\cancel {2}}\cdot 2\cdot {\cancel {7}}\cdot {\cancel {7}}\cdot 17}{{\cancel {2}}\cdot {\cancel {2}}\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot {\cancel {7}}\cdot {\cancel {7}}}}={\frac {2\cdot 17}{3\cdot 3\cdot 5}}={\frac {34}{45}}$

G2.9. Prozentrechnung bei Wachstum und Abnahme

In diesem Absatz werden wir uns mit Aufgaben beschäftigen, bei denen irgendeine Größe mehr oder weniger wird.

• Das Gehalt eines Beamten war 1800€ und wurde um 2,5% gekürzt. Berechnen sie das neue Gehalt! Um wie viel € wurde das Gehalt gekürzt?

Es gibt zumindest zwei Wege, um diese Aufgabe zu lösen. Wir werden hier nur den Weg lernen, der für die Umkehraufgaben (die wir im nächsten Absatz lernen werden) notwendig ist.

Zur Erinnerung: der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Das Gehalt am Anfang war 1800€, daher sind 1800€ (der Wert am Anfang) 100%. Das Gehalt wurde gekürzt, also wurde es um 2,5% weniger. Daher bleibt dann 100%-2,5%=97,5% des Gehaltes. Wir wollen wissen, wie viel Geld in € diesen 97,5% ist:

${\begin{matrix}{\text{1800 €}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\97{,}5\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {1800\cdot 97{,}5}{100}}\right)\qquad x=1755{\text{ €}}$

Das Gehalt wurde daher um 1800€-1755€= 45€ gekürzt. Diese 45€ sind 2,5% des Gehalts (also 2,5% von 1800€).

Wenn die einzige Frage ist, wie viel das Gehalt gekürzt wurde, dann soll 2,5% bei der Schlussrechnung benutzt werden:

${\begin{matrix}{\text{1800 €}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\:\uparrow \\2{,}5\%\end{matrix}}$$\qquad \left({\frac {1800\cdot 2{,}5}{100}}\right)\qquad x=45{\text{ €}}$

Es ist dann auch möglich, in dieser Weise das Gehalt am Ende zu berechnen: 1800€-45€= 1755€. Diesen Weg kann man aber in den Umkehraufgaben (nächster Absatz) nicht mehr benutzen.

• Ein Baum ist 5,6m groß und wächst in einem Jahr auf 6m. Um wie viel % ist er gewachsen?

Zur Erinnerung: der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Der Baum war am Anfang 5,6m, daher sind 5,6m (der Wert am Anfang) 100%. Er ist auf 6m gewachsen, also um 6m-5,6m= 0,4m größer geworden. Wir wollen wissen, wie viel % (von 5,6m) diese 0,4m sind:

${\begin{matrix}{\text{5,6 m}}\\\uparrow :\\{\text{0,4 m}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {100\cdot 0{,}4}{5{,}6}}\right)\qquad x\approx 7{,}14\%$.

G2.10. Einheiten mit Hochzahl

Flächeninhalt

Für die Umrechnungen einer Fläche benutzt man wieder das Schema des Abstandes:

ABER!!!

Fläche ist immer mit Quadrat: km², m², dm², cm², mm²

Es ist immer hoch 2. Daher muss man jeden Schritt (oder alle Schritte zusammen) 2 mal machen! Daher kann man folgendes bild benutzen:

In diesem Bild:

• Wenn eine Fläche z.B. in km² gegeben ist und in dm² umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel einmal mit 1000² und einmal mit 10².

2,35km²= 2,35 ·1000² ·10²dm² = 2,35 ·1000000 ·100 dm² = 235000000dm²

• Wenn eine Fläche z.B. in cm² gegeben ist und in m² umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel zwei mal durch 10², also zwei mal durch 100 dividieren.

0,054cm² = 0,054:10² :10² m² = 0,054:100 :100 m² = 0,0000054m²

Volumen

Für die Umrechnungen eines Volumens benutzt man wieder das Schema des Abstandes:

Volumen ist immer Kubik: km³, m³, dm³, cm³, mm³

Es ist immer hoch 3. Daher muss man jeden Schritt (oder alle Schritte zusammen) hoch 3 machen! Daher kann man folgendes Bild benutzen:

In diesem Bild:

• Wenn das Volumen z.B. in km³ gegeben ist und in dm³ umgerechnet werden soll (von links nach rechts, vom größten zum kleinsten) muss man multiplizieren, in diesem Beispiel einmal mit 1000³ und einmal mit 10³.

2,35 km³ = 2,35 ·1000³ ·10³ dm³ = 2,35 ·1000000000·1000 dm³ = 2350000000000 dm³ (=2,35·10¹² dm³)

• Wenn das Volumen z.B. in cm³ gegeben ist und in m³ umgerechnet werden soll (von rechts nach links, vom kleinsten zum größten) muss man dividieren, in diesem Beispiel zwei mal durch 10³.

0,054cm³ = 0,054:10³:10³ m³ = 0,054:1000 :1000 m³ = 0,000000054 m³ (= 5,4 ·10^-8 m³)

Eine Einheit, die oft am Alltag für das Volumen benutzt wird, ist der Liter. Ein Liter ist genau so viel wie ein dm³. Daher ist ein$\ m\ell \$(Milliliter) so viel wie ein cm³.

G2.11. Formel Einsetzen in der ebenen Geometrie

Definitionen der ebenen Geometrie

Strecke

Strecke Definition

Strecke ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Z.B von den beiden gezeichneten Möglichkeiten zwischen A und B im Bild "Strecken Definition", welche ist die kürzeste?

Gerade und Strahl

Gerade und Strahl

Wenn ich eine Strecke auf einer Seite unendlich lang verlängere, dann habe ich einen Strahl. Wenn ich das an beiden Seiten tue, dann hab ich eine Gerade.

Winkel

Winkel Darstellung

Zwischen zwei Strahlen, die vom gleichen Punkt ausgehen, entsteht ein Winkel. Mit einem Winkel misst man eine Drehung.

Rechter Winkel

vier rechte Winkel

Wenn sich zwei Geraden einander so schneiden, dass vier gleichen Winkel entstehen, dann ist jeder von diesen Winkeln ein rechter Winkel.

Parallelen

zwei Parallele Geraden

Wenn zwei Geraden so nebeneinander liegen, dass sie nie einander schneiden und immer den Gleichen Abstand haben, dann sind sie parallel zueinander.

Punkt

Um alle Begriffe bisher zu definieren, haben wir den Punkt gebraucht. Was ist aber wieder ein Punkt? Diese ist die schwerste Definition. Wenn man beispielsweise den Abstand zwischen Wien und Linz berechnen will, muss man einen Ort in jeder Stadt wählen, sonst kann der Abstand bis 15km mehr oder weniger sein! Dieser Ort könnte z.B. eine Säule in der Mitte von jeder Stadt sein. Für so einen großen Abstand reicht eine Säule schon. Sie ist sozusagen ein Punkt.

Wenn man aber die Säule selber messen will, geht es nicht mehr. Man nimmt dann zwei winzigen Flächen am Rand der Säule. Je kleiner das Objekt ist, das wir messen wollen, desto kleiner muss der „Punkt“ sein.

Im idealen Fall ist der Punkt gar nichts, hat selber keine Länge, keine Breite und keine Höhe! So kann man sich einen Punkt vorstellen und so wird er auch definiert.

Eckpunkt

In einer ebenen Figur sind die Eckpunkte, die Punkte bei denen sich zwei Seiten einander schneiden.

Seite und Diagonale

Die Seiten einer ebenen Figur sind die Abgrenzungen der Figur vom Rest der Ebene. Im folgenden Bild eines Quadrats werden alle seine Seiten mit a bezeichnet, im Bild des Rechtecks werden zwei Seiten mit a und zwei mit b bezeichnet. Eine Seite verbindet zwei Punkte die nacheinander liegen. Die Diagonale verbindet hingegen zwei gegenüberliegenden Eckpunkte, die sich nicht am Rand der gleichen Seite befinden. Ein Quadrat und ein Rechteck haben jeweils zwei Diagonalen, die gleich lang sind, in einem Parallelogramm hingegen sind sie nicht gleich lang.

Figuren

Quadrat

Quadrat

Ein Quadrat ist eine viereckige geschlossene Figur, deren Seiten als auch deren Winkel gleich zu einander sind. Formeln: u=4a, A=a² (u ist der Umfang, a die Seite, A die Fläche). Mit d ist hier die sogenannte Diagonale gezeigt (verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte).

Rechteck

Rechteck

Ein Rechteck ist eine viereckige geschlossene Figur, deren Winkel gleich zueinander sind und deren gegenüberliegenden Seiten auch gleich sind. Formeln: u=2a+2b oder u=2(a+b), A=a·b. Mit d ist wieder die Diagonale bezeichnet, mit a und b die Seiten (in der Figur ist a für die Länge, also die längere Seite und b für die Breite, also die kürzere Seite).

Parallelogramm

Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist eine viereckige geschlossene Figur, deren gegenüberliegenden Seiten gleich sind. Daher sind sie auch parallel. Formeln: u=2a+2b oder u=2(a+b), A=a·h_a oder A=b·h_b. In der Figur ist h_a die Höhe zur Seite a und h_b die Höhe zur Seite b. Mit d wird eine der beiden Diagonalen bezeichnet (hier die kürzeste).

Raute (Rhombus)

Rhobus

Eine Raute ist eine viereckige geschlossene Figur, deren Seiten gleich sind. Daher sind auch alle Winkeln gleich. Formeln: u=4a, A=$\textstyle {\frac {e\cdot f}{2}}$. Mit e und f sind die beiden Diagonale bezeichnet, mit a die Seite.

Trapez

Trapez

Ein Trapez ist eine viereckige geschlossene Figur mit zwei gegenüberliegenden parallele Seiten. Formeln: u=a+b+c+d, $\textstyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot h$. Mit a, b, c und d werden die vier (nicht unbedingt gleichen) Seiten bezeichnet, mit h die Höhe auf die Basis (Basis ist nicht nur beim Trapez, sondern bei jeder Figur die untere Seite, beim Trapez im Bild hier die Seite a, also die Seite die im Bild unten steht). In der Figur sieht man auch die Diagonalen (ohne Symbol).

Deltoid

Deltoid1

Ein Deltoid ist eine viereckige geschlossene Figur mit zwei Paaren nacheinander liegenden gleichen Seiten.

Vieleck (regelmäßiges)

Siebeneck

Ein Vieleck ist eine Figur mit mehreren Winkeln. Wenn die Figur geschlossen ist und alle Seiten (und Winkel) gleich zueinander, dann ist das Vieleck regelmäßig. Im Bild sieht man ein regelmäßiges Siebeneck, die Seite ist hier mit s bezeichnet.

Dreieck, Besondere Dreiecke

• 
  spitz
• 
  gleichseitiges
• 
  gleichschenkliges
• 
  rechtwinkeliges
• 
  stumpfwinkeliges

Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur mit drei Winkel. Ist einer Winkel mehr als 90°, dann heißt das Dreieck stumpfwinkeliges, wenn alle Winkel kleiner als 90° sind, dann spitzwinkeliges.

Bei allen Dreiecken gilt für den Umfang: u=a+b+c, wobei a, b und c die Symbole für die Seiten sind. Die allgemeinen Formeln für die Fläche sind  $\textstyle A={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}={\frac {b\cdot h_{b}}{2}}={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}$, wobei h_a, h_b und h_c die Höhen zu den entsprechenden Seiten sind (im Bild nicht zu sehen).

Ist einer der Winkeln 90°, dann wird das Dreieck rechtwinkelig genannt. Die Formel für die Fläche ist in diesem Fall  $\textstyle A={\frac {a\cdot b}{2}}$, wobei hier a und b die kleineren Seiten sind (Katheten genannt). Die größte Seite (dem rechten Winkel gegenüber) nennt man Hypotenuse.

Sind zwei der drei Winkel (und auch zwei Seiten) gleich, dann nennt man das Dreieck gleichschenklig. Sind alle Winkel (und Seiten) gleich, dann ist es ein gleichseitiges Dreieck (mit Seite a). Für die Fläche des gleichseitigen Dreiecks gilt:  $\textstyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}$.

Kreis, Kreissektor, Kreisring

• 
  Kreis
• 
  Kreisteile
• 
  Kreisring

Ein Kreis ist die Menge aller Punkten, die von einem Punkt M (Mittelpunkt genannt) den gleichen Abstand r (Radius genannt) haben. Formeln: u=2πr, A=πr². r ist der Radius. Hier wird mit d der Durchmesser bezeichnet. π ist eine Zahl (wie 2 oder 5,632), mit dem Unterschied, dass man diese Zahl (π) nicht genau angeben kann. π ist ungefähr 3,14159... Sie ist das Verhältnis (also der Bruch) des Umfangs zum Durchmesser $\textstyle ({\boldsymbol {\pi }}={\frac {\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {d}}})$.

Schneidet man einen Kreis wie einen Torten-schnitt (also zwei Schnitte von Mittelpunkt aus bis am Rand), dann hat man einen Kreissektor. Schneidet man ein Stück mit einer Strecke von einem zu einem anderen Punkt des Kreises, hat man ein Kreissegment. Im Bild steht für den Bogen das englische Wort "arc". Schneidet man von der Mitte eines Kreises einen kleineren Kreis mit den selben Mittelpunkt ab, dann bekommt man ein Kreisring.

Ellipse

Ellipse

Schneidet man einen Zylinder schief, dann entsteht eine Ellipse. Die sieht wie ein zerquetschter Kreis aus. Die genauere Definition ist kompliziert:

Man nimmt zwei Punkte, die Brennpunkte (im Bild B₁ und B₂). Jeder Punkt der Ellipse (im Bild z.B. X) hat zu jedem Brennpunkt einen gewissen Abstand (im Bild z.B. ist der Abstand zum Brennpunkt B₁ mit s bezeichnet und zum B₂ mit p). In einer Ellipse ist die Summe der beiden Abständen (also s+p) immer gleich (im Bild gleich 2a, wobei a die sogenannte große Halbachse ist). Mit b wird hier die sogenannte kleine Halbachse bezeichnet.

Intuitiver Beweis der Formeln des Flächeninhalts mancher ebenen Figuren

Definition des Quadratzentimeters

1 cm²

Ein Zentimeter Quadrat (1 cm², ein Zentimeter hoch zwei) ist ganz einfach ein Quadrat, dessen Seite ein Zentimeter ist (erstes Bild).

Fläche des Rechtecks

Rechteck

Im zweiten Bild sieht man ein Rechteck, dass aus mehreren Quadrat Zentimeter besteht. Hier haben wir zwei Zeilen, jede mit 3 Quadraten. Insgesamt 2x3=6 (cm²). Man kann offenbar sagen, dass der Flächeninhalt A eines Rechtecks die Länge a der einer Seite mal die Länge b der anderen ist.

A = a · b

Sonderfall: Das Quadrat. Da gilt A = a · a = a², da die Seiten gleich sind.

Fläche des Parallelogramms

Parallelogramm

Im Fall eines Parallelogramms kann man sich vorstellen, dass ein Stück der Figur so wie im Bild geschnitten und auf der anderen Seite wieder hinzugefügt werden kann. Dadurch entsteht wieder ein Rechteck, dessen Seiten jetzt die Basis a und die Höhe h_a des Parallelogramms sind. Die Fläche des dadurch entstandenen Rechtecks ist daher der Flächeninhalt des Parallelogramms:

A= a · h_a

Fläche des Dreiecks

Fläche des Dreiecks

Im Fall eines Dreiecks kann man sich wie im Bild vorstellen, dass ein zweites Dreieck, gleich groß wie das erste, umgedreht und auf das erste zugefügt wird. So entsteht wieder ein Parallelogramm, dessen Flächeninhalt A = b · h_b ist. Weil aber dieses Parallelogramm aus 2 gleiche Dreiecke besteht, muss man für den Flächeninhalt des Dreiecks das ganze mit 2 dividieren:

$A={\frac {b\cdot h_{b}}{2}}$

Entsprechend für die anderen Seiten kann man schreiben:

$A={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}$

$A={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}$

Sonderfälle: Rechtwinkeliges, gleichschenkeliges und gleichseitiges Dreieck. In den zwei letzten Fällen kann man den Satz des Pythagoras benutzen, um eine Formel zu erzeugen (machen wir aber hier nicht).

Fläche des Trapezes

Fläche des Trapezes

Genauso geht man bei einem Trapez vor. Es entsteht ein Parallelogramm, dessen Basis aber jetzt a+b ist und den Flächeninhalt daher (a+b) · h. Weil, wie vorher beim Dreieck, das Trapez zwei mal vorkommt, muss man wieder für den Flächeninhalt des Trapezes das ganze durch 2 dividieren:

$A={\frac {a+c}{2}}\cdot h$

Anwendung der Formeln

Variablen in der Geometrie

Bei allen Formeln gibt es sogenannten „Variablen“. Es geht in der Regel um ein Buchstabe, der für irgendwas steht. Hier schreiben wir, wofür diese Symbole in der Geometrie stehen.

• Ein großes A, steht in der Regel für die Fläche (genauer für den Flächeninhalt)

• Ein u steht i.d.R. für den Umfang (also wie lang das Rum-herum der Figur ist)

• a, b, c usw. stehen i.d.R. für die Seiten (auch Länge oder Breite) von Figuren

• h (oder H) steht i.d.R. für die Höhe einer Figur. Oft gibt es dann ein Index, z.B. h_b, was dann bedeutet, dass diese die Höhe für die Seite b ist.

• r (oder R) steht i.d.R. für den Radius eines Kreises.

• d steht bei einem Kreis für den Durchmesser des Kreises, bei einem Parallelogramm (oder Rechteck, Quadrat, Trapez, Vieleck) aber für die Diagonale!

• Griechische kleine Buchstaben (α, β, γ, δ, ε, θ, φ) stehen i.d.R. für Winkel.

• Allerdings ist mit dem griechischen Buchstabe π die Kreiszahl bezeichnet (π≈3,1415...).

Einfache Anwendung von Formeln in der ebenen Geometrie

Bei einer Aufgabe sind immer gewisse Informationen gegeben, z.B.:

• Ein Zimmer ist 4m lang und 2,8m breit. Finden Sie seinen Umfang und seine Fläche heraus!

In solchen Problemen soll man die gegebenen Zahlen in die Formel sinnvoll einsetzen. Das bedeutet, dass man die Buchstaben in der Formel durch Zahlen ersetzt. In diesem Beispiel sucht man in einer Formelsammlung das Rechteck (da ein Zimmer die Form eines Rechtecks hat).

Rechteck

In der Figur, die man in der Formelsammlung finden kann, kann man sehen, dass mit a die Länge und mit b die Breite bezeichnet wird. In der Formelsammlung kann man auch die Formel für den Umfang finden:

u=2a+2b

Die Länge a ist gegeben: 4m. Die Breite b auch: 2,8m. Wenn nichts zwischen einer Zahl und einer Variable steht (hier z.B. 2a), dann ist mal gemeint (2 mal a). Man schreibt also an der Stelle von a und b die Zahlen 4 und 2,8:

$u=2a+2b=2{\cancel {a}}^{=4}+2{\cancel {b}}^{=2{,}8}=2\cdot 4+2\cdot 2,8=13,6\ (m$, da wie m mit m addiert haben)

In der Spalte für die Fläche steht beim Rechteck:

A=a·b   also

$A=a\cdot b={\cancel {a}}^{=4}\cdot {\cancel {b}}^{=2{,}8}=4\cdot 2,8=11,2\ (m^{2}$, da wie m mit m multipliziert haben)

Man soll auch auf die Einheiten aufpassen:

Der Umfang ist eine Strecke, also er wird in Streckeneinheiten gemessen (hier m), die Fläche hingegen in Flächeneinheiten (hier in m²).

Andererseites kann es sein, dass eine Größe in verschiedenen Einheiten gegeben wird, z.B.:

• Die Länge eines Rechtecks ist 5dm und seine Breite 32cm. Finden Sie seinen Umfang und seine Fläche heraus!

Das Einsetzen von Werten in einer Formel setzt voraus, dass die Einheiten übereinstimmen. Man muss z.B. überall in der Formel Werte in Stunden haben und nicht irgendwo Stunden, an einer anderen Stelle Minuten usw. Hier muss man den Wert einer der beiden Seiten umwandeln, z.B.:

32cm=32:10 dm = 3,2 dm

Jetzt sind beide Seiten (Länge und Breite) in dm und es kann weiter berechnet werden:

u=2a+2b und A=a·b

Die Länge a ist gegeben: a=5dm. Die Breite b haben wir jetzt auch in dm umgerechet: b=3,2dm:

$u=2a+2b=2{\cancel {a}}^{=5}+2{\cancel {b}}^{=3{,}2}=2\cdot 5+2\cdot 3{,}2=16{,}4\ (dm$, da wie hier dm mit dm addiert haben)      und

$A=a\cdot b={\cancel {a}}^{=5}\cdot {\cancel {b}}^{=3{,}2}=5\cdot 3{,}2=16\ (dm^{2}$,da wie hier dm mit dm multipliziert haben)

Hätten wir die Einheiten (die 32cm) nicht umgewandelt, hätten wir Probleme mit dem Einheit am Ende oder sogar ein völlig falsche Antwort:

• Bei der Multiplikation hätten wir:

$\textstyle A=a\cdot b={\cancel {a}}^{=5}\cdot {\cancel {b}}^{=32}=5\cdot 32=160\qquad$FALSCH! Wenn man hier dm² oder cm² als Einheit schreibt, ist das Ergebnis völlig falsch, die Einheit, die wir schreiben hätten sollen, wäre dm⋅cm, das wäre zwar richtig, aber diese Einheit wird für die Fläche nie benutzt.

• Bei der Addition hätten wir:

$u=2a+2b=2{\cancel {a}}^{=5}+2{\cancel {b}}^{=32}=2\cdot 5+2\cdot 32=74\qquad$FALSCH! Hier ist sogar der Wert völlig falsch! Der richtige Wert, wie wir gesehen haben, ist 16,4 dm (oder 164 cm). Man kann nicht dm und cm addieren oder subtrahieren, genauso wie man nicht dm und kg addieren kann! Addieren (oder subtrahieren) kann man nur Sachen, die genau die gleichen Einheiten haben!

Nicht nur bei Multiplikation oder Addition müssen die Einheiten übereinstimmen, sondern auch bei Division und allen anderen Rechenarten. Bei Multiplikation und Addition haben wir das Beispiel gerade eben gesehen (Fläche und Umfang des Rechtecks am letzten Beispiel). Ein Beispiel für Division, ist wenn man die Fläche eines Rechtecks durch seine Länge dividiert, um die Breite zu berechnen. Wenn die Fläche 6cm² und die Länge 30mm, dann kann man NICHT die Division so durchführen:  $\textstyle b={\frac {6}{30}}$, da 6 in cm gegeben ist und 30 in mm. Man soll zuerst z.B. die mm in cm umwandeln (30mm=3cm) und dann die Division durchführen:  $\textstyle b={\frac {6}{3}}=2$ (das sind dann cm, da wir cm² durch cm dividiert haben und man die Hochzahl und dann kann man die Einheiten kürzen:  $\textstyle {\frac {cm^{\cancel {2}}}{\cancel {cm}}}=cm$.

Wir können also schreiben:

Bei Rechnungen müssen die Einheiten immer übereinstimmen!

Bei einer Rechnung (oder Gleichung) muss man immer erst kontrollieren, ob die Einheiten übereinstimmen, dann die Einheiten, die nicht übereinstimmen, in übereinstimmenden Einheiten umwandeln und erst am Ende die Rechnung durchführen! Das gilt immer (auch bei der Schluss-und Prozentrechnung)!

In Physik benutzt man sogar Einheitssysteme, das ist aber für dieses Buch ein fortgeschrittenes Thema.

G2.12. Liniendiagramm

Die Kurve in einem Liniendiagramm kann irgendeine Form haben (und nicht nur eine Gerade). Das folgende Beispiel zeigt die Körpertemperatur von einer Person (namens Gregor) am 12.3.15. Man kann sich aber vorstellen, was im Diagramm dargestellt wird. Man kann z.B. sehen welche Temperatur Gregor um 6 oder um 22.15 Uhr hatte, oder am welchen Zeitpunkten seine Temperatur z.B. 36,45°C oder 36,6°C war.

G2.13. Indirekte Proportionalität

In der direkten Proportionalität haben wir gesehen, wie man vorgeht, wenn zwei Größen gleichzeitig größer oder kleiner werden. Wenn man mehr von einer Ware kaufen will, dann muss man auch mehr bezahlen. Wenn man weniger kaufen will, dann zahlt man auch weniger. Wenn man mehr kg von einem Stoff hat, dann hat man auch mehr Liter des Stoffes. Es gibt aber auch Fälle, bei denen die Erhöhung einer Größe die Verminderung einer anderen bedeutet:

• 3 Arbeiter brauchen 15 Stunden, um ein Haus mit Fliesen zu verlegen. Wie viel Zeit brauchen dann 5 Arbeiter?

1 Arbeiter würde in diesem Fall mehr Zeit brauchen. Es gibt für einen Arbeiter viel mehr Boden zu verlegen, wenn er alleine arbeitet. Also weniger Arbeiter brauchen mehr Zeit. Das ist also KEINE direkte sondern eine indirekte Proportionalität.

Wie bei der direkten Proportionalität schreibt man hier auch die gegebenen Größen nebeneinander und gleiche Größen untereinander.

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\x\end{matrix}}$

In diesem Fall multipliziert man mit der Zahl gerade gegenüber (und NICHT schräg gegenüber, wie in der direkten Proportionalität) und dividiert dann durch die andere Zahl:

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\\downarrow :\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\dot {\longleftarrow }}\\\\{}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {15\cdot 3}{5}}\right)\qquad x=9\ {\text{Stunden}}\ \$  (die die Arbeiter in diesem Fall brauchen).

Um zu unterscheiden, ob man eine direkte oder indirekte Proportionalität hat, muss man schon die Sprache und die Zusammenhänge gut verstehen können!

G2.14. Textaufgaben zu den Bruchrechnungen

Die Textaufgaben mit Bruchrechnungen werden i.d.R. leicht in die mathematische Sprache umgewandelt:

In einem Staat mit 8,46 Millionen Einwohner trinkt jeder Einwohner durchschnittlich vier Neuntel Liter Milch täglich.

1. 1. Wie viel Liter werden dann täglich konsumiert?
   2. Der Gewinn für die Eigentümer ist 0,8¢/Liter Milch. Wie viel ist der tägliche Gewinn? Finden Sie ihn gerechtfertigt?
2. Im einem anderen Staat gibt es 4 Supermarktketten. Zusammen gewinnen die Eigentümer 105000€ täglich. Eigentümer A bekommt zwei Fünftel des Gewinns, Eigentümer B ein Drittel und den Rest teilen die anderen zwei Eigentümer C und D. Wie viel gewinnt täglich jeder Eigentümer? Finden Sie den Gewinn gerechtfertigt?

Aufgabe a lässt sich leicht berechnen:

$8{,}46\cdot {\frac {4}{9}}=3,76\ {\text{(Millionen Liter)}}$

Da der Gewinn pro Liter 0,8¢ ist, soll man 0,8 mit 3,76 Mil. multiplizieren (dann hat man ¢) und dann durch 100 dividieren (dann hat man €):

$3{,}76\cdot {\frac {0{,}8\cdot 1000000}{100}}=30080\ {\text{(€)}}$

Ob dieser Gewinn gerechtfertigt ist, soll jeder für sich entscheiden (die Eigentümer werden ihn sicherlich gerechtfertigt finden, sonst würden sie ihn nicht machen...).

Aufgabe b ist ebenfalls nicht besonders schwer:

Eigentümer A: $105000\cdot {\frac {2}{5}}=44000\ {\text{(€)}}$

Eigentümer B: $105000\cdot {\frac {1}{3}}=35000\ {\text{(€)}}$

Eigentümer C und D teilen den Rest: $105000-44000-35000=26000\qquad 26000:2=13000\ {\text{(€ jeweils für Eigentümer C und D)}}$

G2.15. Sachaufgaben zu den Grundrechenarten

Bei den Sachaufgaben sollte man langsam den Text entziffern.

V1 Vertiefendes Niveau 1

V1.1. Umkehraufgaben der Prozentrechnung

• Man hat in seinem Haus ein neues Zimmer aufgebaut. Die Fläche des Hauses ist dadurch um 15% auf 112,7m² gewachsen. Berechnen Sie die ursprüngliche Fläche!

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Hier wissen wir nicht, wie groß das Haus am Anfang war, das ist doch gefragt! Das gefragte schreibt man in Mathematik mit x. 100% ist also x. Das Haus ist um 15% gewachsen, also die Fläche am Ende (112,7m²) ist 100%+15%=115%. Daher sind 112,7m² 115%.

Schreiben wir diese Information auf, wie wir das gelernt haben:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\115\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{112,7 m}}^{2}\end{matrix}}$      $\left({\frac {112{,}7\cdot 100}{115}}\right)\qquad x=98\ \mathrm {m} ^{2}$.

• Ein Tisch wurde um 10% geschnitten. Die neue Länge ist 2,7m. Berechnen Sie die ursprüngliche Länge!

Der Wert am Anfang (das „Ganze“) ist immer 100%. Er ist aber nicht gegeben. Daher ist x 100%. Der Tisch wurde um 10% geschnitten, war am Anfang 100%, daher bleibt noch 100%-10%=90%. 2,7m (der Wert am Ende) sind daher 90%. Schreiben wir das Ganze auf:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\90\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{2,7 m}}\end{matrix}}$      $x=3\ \mathrm {m}$.

V1.2. Bruchstrichrechnungen mit Primfaktorzerlegung

Schauen wir folgendes Beispiel an:

$2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Wir haben schon gesehen, wie man zwei Brüche addiert oder subtrahiert. Was ist es aber, wenn man mehrere Brüche hat? Man könnte selbstverständlich erst die zwei Brüche machen, das Ergebnis mit dem nächsten Bruch usw. Das kann lang dauern und Brüche mit sehr große Nennern als Ergebnis haben. Es gibt eine Methode, die schneller ist und die Primfaktorzerlegung (PFZ) benutzt. Schauen wir ein Beispiel an. In unserem Beispiel wandeln wir erst die gemischte Zahlen in „unechten“ Brüchen um:

$2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}={\frac {83}{36}}-{\frac {85}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Jetzt machen wir die PFZ der Nenner:

36	2
18	2
9	3
3	3
1

24	2
12	2
6	3
3	3
1

45	3
15	3
5	5
1

40	2
20	2
10	2
5	5
1

also:

36 = 2·2·3·3

24 = 2·2·2·3

45 = 3·3·5

40 = 2·2·2·5

Als nächstes sollen wir das sogenannte „kleinste gemeinsame Vielfache“ (kgV) bilden. Das geht so: Wir schauen welche Faktoren in den Nennern vorkommen. In unserem Fall sind es 2, 3 und 5. Dann schauen wir, wo jeder von diesen Faktoren am häufigsten vorkommt.

2 kommt in 36 zwei mal vor, in 24 drei mal vor, in 45 kein mal und in 40 wieder drei mal vor. Am häufigsten also kommt 2 drei mal vor (in 36 oder in 40, das spielt keine Rolle, wichtig ist, dass 2 am häufigsten in irgendeinem Nenner drei mal vorkommt). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 2 drei mal benutzen.

3 kommt in 36 zwei mal vor, in 24 ein mal, in 45 zwei mal und 40 kein mal vor. Am häufigsten kommt 3 also zwei mal vor (in 36 oder in 45, wir benutzen also nur 36 oder nur 45, also die 3 zwei mal). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 3 zwei mal benutzen.

5 kommt in 36 kein mal, in 24 auch kein mal, in 45 ein mal und 40 auch ein mal vor. Am häufigsten kommt 5 also ein mal vor (in 45 oder in 40, das spielt keine Rolle, wichtig ist, dass 5 am häufigsten in irgendeinem Nenner ein mal vorkommt). In diesem Fall müssen wir für das kgV die 5 ein mal benutzen.

Also die 2 kommt in kgV als drei mal Faktor vor, die 3 zwei mal und die 5 ein mal vor:

kgV=2·2·2·3·3·5=360

Für den nächsten Schritt gibt es verschiedene Wege, wir schreiben hier den Weg, den wir für den einfachsten halten. Unsere Rechnung nach dem ersten Schritt (gemischte Zahlen in unechten Brüchen umwandeln) ist jetzt:

${\frac {83}{36}}-{\frac {85}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}$

Wir multiplizieren unser kgV jeweils mit dem Zähler und dividieren jeweils durch den Nenner für jeden Bruch. Die Ergebnisse schreiben wir in einem Zähler auf, mit den jeweiligen Strichrechnungen dazwischen. Im Nenner kommt das kgV (hier 360) vor. Also:

Für den ersten Bruch: 360⋅83:36=830
Für den zweiten Bruch: 360⋅85:24=1275
Für den dritten Bruch: 360⋅44:45=352
Für den vierten Bruch: 360⋅1:40=9

Diese vier Zahlen kommen im Zähler mit den jeweiligen Strichrechnungen dazwischen vor, im Nenner kommt das kgV vor. Im Zähler machen wir dann auch die Strichrechnungen:

${\frac {830-1275+352-9}{360}}=-{\frac {102}{360}}$

In diesem Fall können wir den Bruch auch weiter kürzen (hier mit 6). Daher ist das Ergebnis:

$-{\frac {102}{360}}=-{\frac {17}{60}}$

Wiederholen wir das Ganze:

$\ 2{\frac {11}{36}}-3{\frac {13}{24}}+{\frac {44}{45}}-{\frac {1}{40}}=\qquad \qquad (kgV=360)$ $\ =\overbrace {\frac {83}{36}} ^{360\cdot 83:36=830}-\overbrace {\frac {85}{24}} ^{360\cdot 85:24=1275}+\overbrace {\frac {44}{45}} ^{360\cdot 44:45=352}-\overbrace {\frac {1}{40}} ^{360\cdot 1:40=9}=$ $={\frac {830-1275+352-9}{360}}=-{\frac {102}{360}}=-{\frac {17}{60}}$

Berechnung kgV: 36=2⋅2⋅3⋅3 24=2⋅2⋅2⋅3 45=3⋅3⋅5 40=2⋅2⋅2⋅5 kgV=2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5 =360

V1.3. Umformen einfache Kombinationen

Wenn man mehrere Summanden und Rechenarten und eine unbekannte Variable hat, dann soll man alle Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable auf eine Seite bringen. Im Folgenden werden alle Terme mit der gesuchten Variable nach links gebracht. Die restlichen Terme werden auf die andere Seite gebracht (das geht aber selbstverständlich auch umgekehrt). Schauen wir ein Beispiel an:

5x − 7 = 3x + 11

Wir wählen die linke Seite als die Seite, in der die Teilterme (Summanden) mit der gesuchten Variable (x) sein werden. Wir haben zwei solchen Teilterme, 5x und 3x. 5x ist schon auf der linken Seite, wir müssen also noch 3x auf die andere Seite bringen. Vor 3x steht das Symbol „=“. Ist 3x jetzt positiv oder negativ? Wenn man b=4 schreibt, ist +4 oder −4 gemeint? Die Antwort ist +4. Daher auch hier, wenn nach dem Symbol „=“ kein plus oder minus steht, dann ist ein plus gemeint. Wenn man 5x − 7 = 3x + 11 schreibt, ist es das Gleiche wie + 5x − 7 = + 3x + 11. Wenn man den Term 3x auf die andere Seite bringt, muss man die Gegenrechnung benutzen, also Subtraktion (minus).

5x − 7 − 3x = 11

7 hat kein x neben sich, sie muss auch auf die rechte Seite gebracht werden, wieder mit der Gegenrechnung, also diesmal mit Addition (plus):

5x − 3x = 11 + 7

Das Ganze kann man in einem Schritt machen:

5x − 7 = 3x + 11

5x − 3x = 11 +7

2x = 18
(Hier haben wir einfach die Rechnungen gemacht: 5x-3x ist 2x und 11+7 ist 18).

Es bleibt noch, 2 auf die andere Seite zu bringen. Zwischen 2 und x steht nichts, daher ist eine Multiplikation gemeint. Die Gegenrechnung ist eine Division:

x = $\textstyle {\frac {18}{2}}$ und daher x = 9

Man kann das ganze auch so erklären:

5x − 7 = 3x + 11

Man will, dass auf der rechten Seite 3x verschwindet. Das kann passieren, indem man 3x subtrahiert. Ein Gleichung aber ist wie eine Waage. Das Gleichungssymbol (=) teilt die Gleichung in zwei Teilen, links und rechts. Was auf der einen Seite passiert, muss auch auf der anderen stattfinden, damit das Gleichgewicht erhalten bleibt. Man benutzt folgende Schreibweise:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x (Man schreibt am Rand, was auf beiden Seiten zu tun ist)

5x − 7 − 3x = 3x + 11 − 3x

2x − 7 = 11

Man will aber auf der linken Seite nur Teilterme (Summanden) mit x haben, deshalb muss die -7 dort verschwinden. Das geht, indem man 7 auf beiden Seiten addiert.

2x − 7 = 11      | +7

2x − 7 + 7 = 11 + 7

2x = 18

Jetzt bleibt nur die Division:

2x = 18      | :2

x = 18 : 2      (Man kann auch  $\textstyle x={\frac {18}{2}}$  schreiben)

x = 9

Sofern mehrere Teilrechnungen oder Zwischenschritte im Kopf durchgeführt werden, wird zusammengefasst und kürzer notiert:

5x − 7 = 3x + 11      | −3x+7

2x = 18      | :2

x =  $\textstyle {\frac {18}{2}}$

x = 9

Wenn die Variable innerhalb einer Klammer steht, ist der erste Schritt, die Klammer aufzulösen, sonst geht man wie vorher vor:

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21

4y − 15y = 11 − 6y −21 | +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

− 5y = −10 | : (−5)

y=2

Wenn man y durch 2 in der Anfangsgleichung 4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y ersetzt, stellt man fest, dass die Gleichung tatsächlich stimmt.

4y + 3 (7 − 5y) = 11 − 6y

4·2 + 3 (7 − 5·2) = 11 − 6·2

8 + 3 ·(−3) = 11 − 12

8 − 9 = − 1

In der Tat ist 2 der einziger Wert von y, für den die Gleichung wirklich stimmt. Die LeserInnen können andere Werte ausprobieren und feststellen, dass die Gleichung dann nicht mehr stimmt.

Das Gleichheitszeichen in Umformungen

Die Gegenrechnungen und den ganzen Vorgang beim Umformen nennt man auch Äquivalenzumformungen.

Im Kapitel über die Grundrechenarten haben wir gelernt, dass das Gleichheitszeichen auch in Kettengleichungen benutzt werden kann. Das ist in der Regel nicht der Fall bei Äquivalenzumformungen. Wie wir gesehen haben, wird jeder Schritt nacheinander gemacht und die Gleichung (mit so vielen Gleichheitszeichen wie am Anfang, also hier mit einem Gleichheitszeichen) wieder darunter geschrieben. Jeder Schritt wird an den Rand geschrieben und in jedem Teil der Gleichung (hier rechts und links des Gleichheitszeichens) durchgeführt.

4y + 21 − 15y = 11 − 6y | −21 +6y

4y + 21 − 15y + −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y

4y − 15y + 6y = 11 − 21

Es ist falsch zu schreiben:

4y + 21 − 15y = 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y = 11 − 6y −21 +6y

Die folgenden beiden Teile sind doch nicht gleich: 11 − 6y = 4y + 21 − 15y −21 +6y (falsch). Wenn man die Gleichungen nebeneinander schreiben will, gibt es ein anderes Zeichen dafür, den doppelten Folgepfeil:

4y + 21 − 15y = 11 − 6y ⇔ 4y − 15y + 6y = 11 − 21 (richtig)

Diese Schreibweise wird allerdings nur in fortgeschrittener Mathematik und nur unter bestimmten Bedingungen benutzt.

Arbeiten mit negativen Zahlen

Wir haben die Regeln für die Multiplikation mit Plus und Minus gesehen. Wie kann man diese Regeln mit Zahlen erklären?

Dass $\ (+5)\cdot (+3)=(+15)\ \$ist, ist trivial. $+5$ ist $5$ und $+3$ ist $3$. $\ (+5)\cdot (+3)=(+15)\ \$ ist daher gleichbedeutend wie $5\cdot 3$ und, wie Multiplikation definiert wird, ist das 15.

Dass $\ 5\cdot (-3)=(-15)\ \$ist, macht eben auch Sinn. Laut Definition der Multiplikation ist $\ 5\cdot (-3)=-3-3-3-3-3=-15\ \$, wie man beim Arbeiten mit negativen Zahlen lernt.

Wenn man $\ (-5)\cdot 3\ \$hat, ist die Erklärung ebenso leicht. In der Multiplikation spielt die Reihenfolge keine Rolle, daher ist $\ (-5)\cdot 3=3\cdot (-5)=-5-5-5=-15\ \$.

Warum ist aber Minus mal Minus doch Plus?

Um das zu erklären, kann man folgende Rechnung betrachten:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))$

Macht man nach der Regel erst die Rechnung in Klammern, ist das Ergebnis:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))=(-5)\cdot 2a=-10a$

Wenn erst die Klammer aufgelöst wird, wie wir das vorher gelernt haben, dann ergibt sich Folgendes:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))=(-5)\cdot 5a+(-5)\cdot (-3a)$

$(-5)\cdot 5a\$ist $-25a$, wie wir eben gelernt haben.

Wenn Minus mal Minus Plus ist, dann ist $(-5)\cdot (-3a)=(+15a)$ und das Ganze ergibt:

$-25a+15a=-10a$

Wenn Minus mal Minus Minus wäre, dann wäre $(-5)\cdot (-3a)=(-15a)$ und das Ganze ergäbe:

$-25a-15a=-35a$

was ein falsches Ergebnis ist, da wir schon gesehen haben, dass das Ergebnis, wenn man erst die Rechnung in Klammern macht, $-10a$ ist. Ähnliche Ergebnisse bekommt man, egal welches Beispiel benutzt wird. Daher ist Minus mal Minus Plus.

Ähnliches gilt, wenn man nur Vorzeichen hat:

$+(+3)=+3=3\qquad -(+3)=-3\qquad +(-3)=-3\qquad -(-3)=+3=3$

V1.4. Proportionalitätenvergleich

Wie wir in den vorherigen Absätzen gesehen haben, muss man sowohl bei der direkten als auch bei der indirekten Proportionalität die Daten, die (in der Regel in einem Satz) in Verbindung gebracht werden, in einer Zeile nebeneinander schreiben (hier bei der direkten Proportionalität 3,5 Liter und 14,7 kg und bei der indirekten 3 Arbeiter und 15 Stunden) und dafür sorgen, dass in jeder Spalte die gleichen Einheiten geschrieben werden.

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\\{\text{0,0175 Lit}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\{}\\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\{}\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$

Bei beiden Vorgängen fängt man dann mit der Zahl an, die nur an der gleichen Spalte mit x steht (hier 14,7 kg in der direkten und 15 Stunden in der indirekten Proporionalität). Der Unterschied ist: bei der direkten Proportionalität geht man dann schräg, bei der indirekten gerade gegenüber, und multiplitiert mit dieser Zahl (hier 0,0175 Liter in der direkten und 3 Arbeiter in der indirekten Proporionalität). Am Ende dividiert man in beiden Fällen mit der übriggebliebenen Zahl (hier 3,5 Liter in der direkten und 5 Arbeiter in der indirekten Proporionalität).

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\uparrow :\\{\text{0,0175 Lit}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\\downarrow :\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\dot {\longleftarrow }}\\\\{}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$

Wie kann man verstehen, ob eine direkte oder eine indirekte Proportionalität vorliegt?

Nehmen wir den folgenden Bruch b:  $\textstyle b={\frac {z}{n}}$,  wobei z der Zähler und n der Nenner ist. Wenn z=20 und n=5 ist, dann ist der Bruch b=4: $\textstyle b={\frac {20}{5}}=4$. Wenn jetzt der Zähler z größer wird (z.B. z=30), dann wird der ganze Bruch b auch größer:  $\textstyle b={\frac {30}{5}}=6$. Wenn der Zählerz kleiner wird (z.B. z=10), dann wird der ganze Bruch auch kleiner:  $\textstyle b={\frac {10}{5}}=2$. Je größer der Zähler, desto größer der Bruch. Je kleiner der Zähler, desto kleiner der Bruch. Diesen Zusammenhang nennt man direkte Proportionalität.

Wenn jetzt der Nenner größer wird (z.B. n=10), dann wird der ganze Bruch das Gegenteil, also kleiner:

Wenn der Zähler z=20 und der Nenner n=5 ist, dann ist der Bruch b=4: $\textstyle b={\frac {20}{5}}=4$. Wird der Nenner n größer, z.B. 10, dann wird der Bruch b kleiner:  $\textstyle b={\frac {20}{10}}=2$. Wenn der Nenner kleiner wird (z.B. n=2), dann wird der ganze Bruch das Gegenteil, also größer:  $\textstyle b={\frac {20}{2}}=10$. Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch. Je kleiner der Nenner, desto größer der Bruch. Diesen Zusammenhang nennt man indirekte Proportionalität.

Wenn zwei Größen (z.B. Volumen und grob gesagt Gewicht) gleichzeitig wachsen oder gleichzeitig weniger werden, dann liegt eine direkte Proportionalität vor (z.B. wenn man mehr Wasser hat, ist sowohl das Volumen als auch das Gewicht mehr). Wenn das Wachstum einer Größe zur Verminderung einer anderen führt, dann liegt eine indirekte Proportionalität vor (z.B. mehr Arbeiter brauchen weniger Zeit, um die gleiche Arbeit zu erledigen). So kann man verstehen, ob man direkte oder indirekte Proportionalität benutzen soll. Beim nächsten Kapitel allerdings (Prozentrechnung) kommt nur die direkte Proportionalität vor!

V1.5. Potenzzahlen Punktrechnungen

Die Multiplikation von zwei Potenzen mit der gleichen Basis haben wir schon im Grundniveau 1 gesehen und erklärt. Hier wird dazu die Division von zwei Potenzen mit der gleichen Basis erklärt.

Zwei Potenzzahlen mit der gleichen Basis kann man dividieren, indem man die gleiche Basis und als Hochzahl die Differenz der Hochzahlen (oben minus unten!) schreibt.

${\frac {a^{7}}{a^{5}}}=a^{7-5}=7^{2}\quad \quad {\frac {7^{74}}{7^{5}}}=7^{74-5}=7^{69}\quad \quad {\frac {4^{z}}{4^{x}}}=4^{z-x}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

${\frac {a^{7}}{a^{5}}}={\frac {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}={\frac {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot a\cdot a}{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}\ _{({\text{kürzen}})}={\frac {a\cdot a}{1}}=a^{2}\quad _{=(a^{7-5})}$

Die Hochzahlen subtrahiert man (oben minus unten), auch wenn sie negativ sind:

${\frac {w^{5}}{w^{-7}}}=w^{5}:w^{-7}=w^{5-(-7)}=w^{5+7}=w^{12}$

${\frac {a^{-7}}{a^{5}}}=a^{-7}:a^{5}=a^{-7-5}=a^{-12}$

${\frac {4^{-7}}{4^{-c}}}=4^{-7}:4^{-c}=4^{-7-(-c)}=4^{-7+c}$

Da ein Bruch (fast) gleichbedeutend mit einer Division ist, kann man auch sagen, dass bei der Division von Potenzzahlen mit gleicher Basis das Ergebnis die gleiche Basis ist, mit einer Hochzahl, die die Differenz aus der Hochzahl des Dividends und der Hochzahl des Divisors ist. Allgemein kann man daher schreiben:

${\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können.

V1.6. Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Textaufgaben

Einsetzungsverfahren

In einem Café gibt es 8 Tische. Manche sind für 3 Personen und der Rest für 5 Personen. Insgesamt kann das Café 36 Personen bedienen. Wie viele 3 bzw. 5 Personen-Tische gibt es im Café?

Wie löst man so eine Aufgabe? Man benutzt ein sogenanntes lineares Gleichungssystem. Wir werden uns hier mit der einfachste Form eines Gleichungssystems beschäftigen, einem Gleichungssystem mit zwei unbekannten und zwei Gleichungen. Es gibt verschiedene Wege so ein System zu lösen, wir werden hier zunächst einmal einen Weg zeigen.

Hier gibt es zwei unbekannte, die Anzahl der Tische für 3 Personen und die Anzahl der Tische für 5 Personen. Wenn man in Mathematik etwas nicht kennt, benutzt man ein Symbol dafür, in der Regel $x$ (kann aber a, b, z, A₁, oder irgendwas sein). Lass uns dann mit $x$ die Anzahl der Tische für 3 Personen bezeichnen. Wir wissen nicht, ob die Anzahl der Tische für 5 Personen gleich so groß wie die Anzahl der Tische für 3 Personen ist. Daher müssen wir für die Anzahl der Tische für 5 Personen ein anderes Symbol benutzen, z.B. $y$. Also:

$x$: die Anzahl der Tische für 3 Personen

$y$: die Anzahl der Tische für 5 Personen

Wie schon gesagt, wir wissen nicht, wie viele Tische es für 3 oder für 5 Personen gibt. Wir wissen aber schon, dass es insgesamt 8 Tische gibt. Also die x Tische und die y Tische zusammen sind 8 Tische:

$x+y=8$

Die $x$ Tische sind für 3 Personen. Wir wissen zwar nicht, wie viel $x$ ist, aber wir können sagen, dass

1 Tisch   →	(3 · 1 =)	3	Personen
2 Tische →	(3 · 2 =)	6	Personen
5 Tische →	(3 · 5 =)	15	Personen
8 Tische →	(3 · 8 =)	24	Personen also
x Tische →	(3 · x =)	$3x$	Personen

da wir x Tische haben, anstatt eine bestimmte Zahl, wie 1, 2, 5 oder 8 Tische.

In der gleichen Weise kann man sagen, dass die $y$ Tische (für 5 Personen) $5y$ Gäste bedienen können.

Wir haben also $3x$ Personen an den $x$ Tischen und $5y$ Personen an den $y$ Tischen.

Wir wissen jetzt nicht, wie viel 3x oder 5y ist (das sind Personen), wir wissen aber, dass insgesamt 36 Personen bedient werden können, also:

$3x+5y=36$

Wir schreiben jetzt beide Gleichungen zusammen:

$x+y=8$

$3x+5y=36$

Mit einer Gleichung können wir weder x noch y finden, wir können aber hier die erste Gleichung (am einfachsten) umformen:

$x=8-y$

Da wir es wissen, dass x=8−y ist, können wir dann in der zweiten Gleichung statt x, 8−y schreiben:

$3{\cancel {x}}^{(=8-y)}+5y=36$    (x wird also durch 8-y ersetzt)

$3\cdot \overbrace {(8-y)} ^{(hier\ war\ x)}+5y=36$

Jetzt haben wir eine Gleichung mit einem Unbekannten. So was können wir schon lösen, wie wir beim Kapitel Umformen gelernt haben:

$3\cdot (8-y)+5y=36$	|Klammer auflösen
$24-3y+5y=36$	|-24 (und y zusammenrechnen)
$2y=12$	| :2
$y=6$

y sind die Tische mit 5 Personen. Es gibt also 6 Tische für 5 Personen. Wie viele sind die restlichen? Wir benutzen unsere Gleichung:

$x=8-{\cancel {y}}^{=6}\ \ \rightarrow \ \ x=8-6=2$

Es gibt also x=2 Tische für 3 Personen und y=6 Tische für 5 Personen. Somit haben wir die Aufgabe gelöst!

Lineare Gleichungssysteme Begriffe

Lass uns jetzt ein paar Begriffe erklären.

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der das Symbol „=“ („ist“, „gleich“ oder „ist gleich“ ausgedrückt) zumindest einmal beinhaltet und bei dem auf beide Seiten des Symbols „=“ andere mathematische Ausdrücke stehen. „6+3=“ ist noch keine Gleichung, „6+3=9“ oder „6+3=x“ oder „6+y=x“ schon.

Wenn alle Variablen in der Gleichung ohne Hochzahl oder sonst was vorkommen, dann spricht man von einer linearen Gleichung⁽¹⁾. $6+3=x$ oder $6+y=x$ oder $\textstyle 6+5y={\frac {x}{3}}$ sind lineare Gleichungen. $6+3=x^{2}$, $6+3={\sqrt {x}}$ oder $\textstyle 6+5y={\frac {3}{x}}$ hingegen nicht (letztere weil $x$ im Nenner ist).

Eine Gleichung kann keine, eine oder mehrere Variablen beinhalten. $6+3=9$ hat keine Variable (und ist allerdings eine wahre Aussage: 6+3 ist tatsächlich 9). $6+3=x$, $6+3=x^{2}$, $6+3={\sqrt {x}}$ haben eine Variable. $6+y=x$, $\textstyle 6+5y={\frac {x}{3}}$ und $\textstyle 6+5y={\frac {3}{x}}$ haben zwei Variablen.

Wenn man zwei oder mehrere Gleichungen irgendwie verbindet, dann hat man ein Gleichungssystem. In diesem Kapitel haben wir 2 Gleichungen je mit 2 unbekannten gehabt:

$x+y=8$

$3x+5y=36$

Da beide Gleichungen hier linear sind, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. So ein System kann man in verschiedenen Wege lösen. Der Weg, den wir hier benutzt haben, nennt man Einsetzungsverfahren. Es gibt dann noch das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren (wir werden sie gleich lernen). Das Einsetzungsverfahren ist sehr wichtig (auch in anderen Wissenschaften, wie in der Physik), da man es leicht auch bei nicht lineare Gleichungssysteme anwenden kann. Dieses Thema ist von einem höheren Niveau und daher nicht in diesem Buch behandelt.

Die Zahlen (manchmal aber auch Symbole), die vor den Variablen stehen und mit diesen multipliziert werden, nennt man Koeffizienten. In der zweiten Gleichung ($3x+5y=36$) ist der Koeffizient von $x$ 3 und von $y$ 5. In der ersten Gleichung ($x+y=8$) steht keine Zahl vor den Variablen. Trotzdem sagt man dann, dass der Koeffizient 1 ist (es gilt ja, dass $1\cdot x=x$ und $1y=y$ ist). Bei $\textstyle {\frac {x}{5}}-{\frac {3y}{7}}-z+c\ v=d$ ist der x-Koeffizient ${\frac {1}{5}}$, der y-Koeffizient $-{\frac {3}{7}}$ und der z-Koeffizient $-1$. Die Symbole c und d sind in dieser Gleichung nicht Variablen (das ist aber nicht immer klar, man soll in solchen Fällen immer die Vorgaben lesen). Wenn ein Symbol benutzt wird, der eine feste Zahl (und daher keine Variable) darstellt, dann nennt man diese Symbol eine Konstante. Die Konstante c ist hier gleichzeitig der Koeffizient der Variablen v. Die Konstante d hingegen ist keiner Koeffizient.

Ein Gleichungssystem kann keine, zwei oder unendlich viele Lösungen haben. Das ist allerdings Thema eines anderen Kapitels.

Textaufgaben linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Im Kapitel über das Einsetzungsverfahren haben wir uns mit einer Textaufgabe beschäftigt. Dort haben wir schon gelernt, wie Textaufgaben zu lösen sind. Die Aufgabe war:

In einem Café gibt es 8 Tische. Manche sind für 3 Personen und der Rest für 5 Personen. Insgesamt kann das Café 36 Personen bedienen. Wie viele 3 bzw. 5 Personen-Tische gibt es im Café?

Schauen wir die Denkweise genauer an. Die Anzahl der Tische ist bekannt, als auch die der Personen insgesamt. Was ist hier unbekannt (und letztendlich auch gefragt)? Wie viele Tische für 5 Personen und wie viele für 3 Personen es gibt. Für die Unbekannten in jedem mathematischem Problem benutzt man irgendwelche Symbole. Wir haben x und y benutzt, dass könnte aber genauso a und b, oder m und n, oder f und d oder irgendwas anders sein. Wichtig: Es gibt zwei Unbekannte, wir müssen also zwei verschiedenen Symbole dafür benutzen. Wenn es drei Unbekannte gibt, dann soll mal drei unterschiedlichen Symbole benutzen usw. (wie werden uns aber hier nur mit Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten beschäftigen).

Am Anfang muss man definieren, was jedes Symbol darstellt. In dieser Aufgabe haben wir gesagt, dass die Tische für 3 Personen und y die Tische für 5 Personen sind:

x: die Tische für 3 Personen

y: die Tische für 5 Personen

Dieser Schritt sollte nicht so schwer sein. Man gibt einfach Namen (Symbole) für die unbekannten Sachen. Beim nächsten Schritt haben viele Menschen die größten Schwierigkeiten. Dabei ist die Sache nicht wirklich so schwer. Man soll das Problem vorsichtig lesen und den Text in die mathematische Sprache umsetzen. Dafür muss man nicht den ganzen Text verstehen, sondern auf Schlüsselworte beachten. In dieser Aufgabe steht, dass es 8 Tische gibt. Auch wenn man nicht wüsste, was ein Tisch ist, kann man schon schreiben, dass die Tische zusammen 8 sind. Welche Rechenart steht in Mathematik für zusammen? Die Addition. Also:

x+y=8

Wir haben zwei Unbekannte, also wir brauchen zwei Gleichungen, um die Aufgabe eindeutig zu lösen. Die zweite Gleichung zu erzeugen war in dieser Aufgabe nicht so leicht. Wir haben gesagt: Wenn es 2 Tische für 3 Personen gibt, dann sitzen an diesen Tischen 2⋅3=6 Personen, es 5 Tische für 3 Personen gibt, dann sitzen an diesen Tischen 5⋅3=15 Personen usw. Man merkt, dass damit wir die Personen berechnen, die Anzahl der Tische mit der Anzahl der Personen pro Tisch (hier 3 Personen pro Tisch) multiplizieren müssen. Wir wissen aber nicht, wie viele Tische für drei Personen es gibt. Wir haben aber doch ein Symbol dafür benutzt: das sind x Tische. Dieses Symbol muss man also mit der Anzahl der Personen pro Tisch (hier 3) multiplizieren, um durch einen Term zu zeigen, wie viele Personen an diesen Tischen sitzen können: 3x! Dass ist (noch) nicht eine bestimmte Zahl, das sind aber doch die Personen die an diesen x Tischen sitzen können. Entsprechend können an den y Tischen für 5 Personen insgesamt 5y Personen sitzen (Anzahl der Tische y mal Personen pro Tisch, hier 5). In der Aufgabe steht, dass das Café insgesamt 36 Personen bedienen kann. Also die Anzahl der Personen, die an den zwei Tischkategorien (eine Kategorie die 3-Personen Tische, zweite Kategorie die 5-Personen Tische) sitzen können ist insgesamt 36 Personen. Welche Rechenart wird hier angedeutet? Wieder Addition. Die Personen der beiden Kategorien zusammen (also plus) sind 36:

3x+5y=36

Wir haben also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte.

x+y=8

3x+5y=36

Jetzt kann man eine der dargestellten Wege benutzen, um x und y herauszufinden. In unserem Beispiel haben wir das Ersetzungsverfahren benutzt.

Erzeugen wir das Gleichungssystem für noch ein paar Textaufgaben:

Iris ist 2,5 mal älter als ihr Bruder Andreas. Zusammengezählt sind ihre Altersjahren 14. Wie viele Jahren alt sind die beiden Geschwister?

Gefragt sind die Lebensalter der beiden Geschwister. Wir schreiben mit i das Lebensalter von Iris und mit a von Andreas. Iris ist 2,5 mal älter und zusammen sind die Jahre 18:

i=2,5⋅a     und     i+a=14

Dieses System lässt sich sehr leicht durch das Ersetzungsverfahren lösen. Wir ersetzen i in der zweiten Gleichung durch 2,5a (da i=2,5a, wie es schon in der ersten Gleichung steht):

i+a=18 → 2,5a+a=14 → 3,5a=14 (:3,5) → a=4 und sofort i=2,5a=2,5⋅4 → i=10 (also tatsächlich i+a=14)

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie eine andere Zahl um 1 reduziert. Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie die erste Zahl um 14 erhöht. Berechnen sie die Zahlen.

Viele finden solche Aufgaben extrem schwer. Dabei muss man einfach Schritt für Schritt vorgehen. Erst gibt man Symbole für die zwei unbekannten Zahlen.

e ist die erste Zahl

z ist die zweite Zahl

Gehen wir Schritt für Schritt vor:

Die Summe des Fünffachen einer Zahl.... Die erste Zahl haben wir e genannt. Das fünffache bedeutet 5e. Über die Summe wissen wir noch nichts, außer dass der erste Summand 5e sein wird.

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4.... Hier erkennen wir den zweiten Summand: 4. Also bisher haben wir: 5e+4

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie.... ...ist so viel wie in der mathematische Sprache umgesetzt ist nichts mehr und nichts mehr als das Symbol für gleich (=). Also bisher haben wir: 5e+4=

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie eine andere Zahl um 1 reduziert. Die zweite (die "andere") Zahl haben wir z genannt und sie wird um 1 reduziert also z−1. Bisher haben wir: 5e+4=z−1 Hier endet der erster Satz. Wir haben also schon unsere erste Gleichung!

5e+4=z-1

Fangen wir jetzt mit dem zweiten Satz an: Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl.... Über die Differenz kenne wir nur den Minuend. Er ist das dreifache der zweiten Zahl. Die zweite Zahl haben wir z genannt, also ist ihr Dreifaches 3z. Bisher haben wir daher: 3z−...

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 Jetzt haben wir auch den Subtrahend der Differenz: 3z−43

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie ...ist so viel wie bedeutet ist gleich: 3z−43=

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie die erste Zahl um 14 erhöht Die erste Zahl ist e und sie wird um 14 erhöht (also plus 14): 3z−43=e+14. Wir haben jetzt auch die zweite Gleichung! Das Gleichungssystem lautet:

5e+4=z−1

3z−43=e+14

Dieses System kann man dann mit einem der präsentierten Verfahren lösen. Die Antwort ist e=3 und z=20, wie man überprüfen kann:

5⋅3+4=20−1    ✔    und

3⋅20−43=3+14    ✔

Viele Menschen denken, dass solche Aufgaben schwer wären. Wie man hier sieht, wenn man die Aufgabe Schritt für Schritt löst, ist es nicht so schwer. Das braucht einfach etwas Konzentration, ist aber durchaus fast für jeden möglich.

In einer Flups gibt es 37 Tröpats. Manch davon haben 4 Hupals, die restlichen 7 Hupals. Die Flups beihaltet damit 190 Hupals. Wie viele Tröpats mit 4 bzw. 7 Hupals gibt es?

Man mag hier fragen, was zum Teufel Flups, Tröpats und Hupals sind. Meine Antwort ist dann eine weitere Frage: Ist diese Kenntnis für die Lösung der Aufgabe notwendig? Die Antwort ist ganz einfach NEIN! Wenn in einer Prüfungssituation jemand eine unbekanntes Wort trifft, soll man erst entscheiden, ob dieses Wort für die Lösung wichtig ist, sonst verliert man Zeit, die für eine Prüfung i.d.R. sehr wichtig ist. Ziel dieser Aufgabe ist darauf aufmerksam zu machen. In der Aufgabe wird NICHT gefragt, was Flups usw sind. Ḿan braucht es daher auch nicht wissen. Wichtig sind nur Schlüsselworte und -phrasen, wie z.B. In... gibt es, was darauf hinweist, dass die Tröpats insgesamt 37 sind. Der erste Schritt ist für jede Unbekannte ein Symbol einzusetzen. Wenn v die Tröpats mit 4 Hupals sind und s die Tröpats mit 7 Hupals, dann haben wir die erste und die zweite Gleichung, genau wie im ersten Beispiel in diesem Teilkapitel:

v+s=37

4v+7s=190

Das System kann man dann in einer beliebige Weise lösen. Die Antwort ist 23 Tröpats mit 4 Hupals und 14 Tröpats mit 7 Hupals (was das auch immer sein könnte ).

V1.7. Kombinationsaufgaben der Prozentrechnung

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt 5 Stunden Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 70% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 20% länger (als der geschnittene Film) Version gemacht. Berechnen Sie die Dauer der letzten Version!

Der Wert ganz am Anfang (100%) ist hier gegeben (5 Stunden). Das wurde um 70% geschnitten, es bleiben also 100-70=30%. Schreiben wir diese Information auf:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\30\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{5 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=1{,}5$  Stunden.

Der Film war dann den Produzenten doch zu kurz. Diesen geschnittenen Film (also die 1,5 Stunden) haben sie dann um 20% verlängern. Diese 1,5 Stunden sind daher der neue Anfangswert, also 100%! Der Wert am Ende ist daher 100+20=120% von 1,5 Stunden (vom geschnittenen Film):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\120\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{1,5 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=1{,}8$  Stunden.

*Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films!

Das hier ist eine Kombination von zwei Umkehraufgaben. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Sie ist um 15% länger als die erste geschnittene Version. In diesem Fall haben wir am Anfang die geschnittene Version, diese ist also 100% und wurde um 15% auf 1,61 Stunden verlängert. 1,61 Stunden sind daher 115%, der Wert am Anfang (100%) ist noch unbekannt:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\115\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,61 Stunden}}\end{matrix}}$      $x=1{,}4$  Stunden.

Der Schnitt ist 1,4 Stunden nachdem er geschnitten wurde. Die Dauer am Anfang (100%), vor dem Schnitt, ist noch unbekannt. 80% wurden geschnitten, also 100-80=20% sind nach dem Schnitt geblieben. Nach dem Schnitt (80%) war der Film 1,4 Stunden:

${\begin{matrix}100\%\\\downarrow :\\20\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,4 Stunden}}\end{matrix}}$      $x=7$  Stunden.

Das Filmmaterial am Anfang (die ursprüngliche Dauer) war daher 7 Stunden!

Erklärung der Prozent und Schlussrechnung

Wie schon betont, bedeutet "ein Prozent" das gleiche wie ein Hundertstel. Ein Hundertstel ist ein Bruch.Für die Erklärung der Prozentrechnung kann man daher die Bruchrechnung benutzen, genauer gesagt das Erweitern von Brüchen.

Wenn wir wissen wollen, wie viel Prozent von 5kg 3kg sind, können wir mit der Darstellung von 5kg anfangen:

Drei kg kann man dann als Bruchteil von diesen 5kg darstellen, wie im folgenden Bild:

Wenn jemand das Ganze senkrecht auf 20 teilt, ist jeder kleiner Teil ein Hundertstel. Im Bild kann man schon sehen, dass die drei fünftel $3\cdot 20=60$ solche kleine Teile sind, also 60 Hundertstel, also 60%:

Wenn wir jetzt mit Brüchen arbeiten, können wir durch die Bilder leicht verstehen, dass wir den Bruch $\textstyle 3 \over 5$ mit der Zahl 20 erweitert haben:

${3 \over 5}={\frac {3\cdot 20}{5\cdot 20}}={60 \over 100}=60\%$

Wie sind wir auf die Zahl 20 gekommen? Wir haben einfach 100 durch 5 dividiert, also durch die Zahl, die den Wert des Ganzen darstellt. Wieso ist 5 das Ganze? Wir haben schon in den Definitionen gesagt, dass das Ganze nach dem Wort "von" steht, also hier die 5 kg. So wie wir die Prozentrechnung gelernt haben, bedeutet das, dass man mit der Zahl quer gegenüber multiplizieren muss und durch die andere Zahl dividieren:

${\begin{matrix}{\text{5 kg}}\\\uparrow :\\{\text{3 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$         $\left(100\cdot {3 \over 5}=3\cdot {100 \over 5}=3\cdot 20=60\right)\qquad x=60\%$

3 kg sind daher 60% (also 60 Hundertstel) von 5 kg.

Schauen wir jetzt ein Beispiel mit Zahlen, die nicht so "rund" sind:

Wie viel Prozent von 17 Äpfel sind 230 Äpfel?

Hier ist das Ganze die 17 Äpfel, also was nach dem Wort "von" (also in Genitiv) steht. Welcher Anteil von 17 Äpfel sind 230 Äpfel?

${230 \over 17}$

Diesen Bruch müssen wir so erweitern, damit im Nenner am Ende 100 steht:

${230 \over 17}={\frac {230\cdot 100:17}{17\cdot 100:17}}$

Der Nenner hier wird tatsächlich 100 sein (es gilt: ${17\cdot 100:17}=1700:17=100$). Somit haben wir:

${\frac {230\cdot 100:17}{100}}={230\cdot 100:17}\%={100\cdot 230:17}\%\approx 1352{,}94\%$

da hundertstel genau Prozent bedeutet.

Wir haben in diesem Fall tatsächlich die Prozentrechnung mit Hilfe der Schlussrechnung durchgeführt, so wie wir das gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{17 Äpfel}}\\\uparrow :\\{\text{230 Äpfel}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\x\end{matrix}}$        $\left({\frac {100\cdot 230}{17}}\approx 1352{,}94\right)\qquad x\approx 1352{,}94\%$

230 Äpfel sind daher ca. 1352,94% von 17 Äpfel.

Was ist, wenn man 17% von 35 Stunden berechnen will?

17% bedeutet 17 Hundertstel. Wir müssen 35 Mal die 17 Hundertstel nehmen. Anders gesagt teilen wir die 35 Stunden in Hundert Teile und nehmen 17 davon:

$x=35\cdot {\frac {17}{100}}=5{,}95$

17% von 35 Stunden sind daher 5,95 Stunden.

Das ist wieder genauso, wie wir den Prozess mit Schlussrechnung gelernt haben:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\17\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{35 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$        $\left(35\cdot {\frac {17}{100}}={\frac {17\cdot 35}{100}}\right)\qquad x=5{,}95{\text{ Stunden}}$

Ähnlich denkt man bei der Schlussrechnung (genauer: bei der direkten Proportionalität). Nehmen wir folgendes Beispiel:

3,5 Liter eines Stoffes wiegen 14,7 kg.

a) Wie viel wiegen 175 Liter?

b) Wie viel Liter sind 3850kg?

Für die erste Frage denkt man erst, wie viel ein Liter wiegt. Man soll also 14,7 kg durch 3,5 dividieren, um zu finden, wie viel jedes Liter wiegt. Das ist als ob man eine Schokolade hätte und wissen wollte, wie viel jedes Teil wiegt.

$x_{1}={\frac {14{,}7}{3{,}5}}=4{,}2$

4,2 kg wiegt jedes Liter des Stoffes.

175 Liter wiegen dann 735 kg:

$175\cdot 4{,}2=735$

Als Schlussrechnung:

${\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\\{\text{175 Liter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\{}\\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\x\end{matrix}}$        $\left(175\cdot {\frac {14{,}7}{3{,}5}}\right)\qquad x=735{\text{ kg}}$

In der zweiten Frage muss man erst finden, wie viel Volumen ein kg hat:

$x_{1}={\frac {3{,}5}{14{,}7}}\approx 0{,}238$

Ca. 0,238 Liter ist jedes kg des Stoffes.

Das Volumen von 3850 kg ist dann ca. 917 Liter:

$3850\cdot 0{,}238...=3850\cdot {\frac {3{,}5}{14{,}7}}=916{,}{\dot {6}}$

Nochmal als Schlussrechnung:

${\begin{matrix}{\text{14,7 kg}}\\{}\\{\text{3850 kg}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\{}\\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,5 Liter}}\\\\x\end{matrix}}$        $\left(3850\cdot {\frac {3{,}5}{14{,}7}}=916{,}{\dot {6}}\right)\qquad x=916{,}{\dot {6}}{\text{ Liter}}$

Bei der indirekten Prportionalität muss man ein bisschen anderes denken:

• 3 Arbeiter brauchen 15 Stunden, um ein Haus mit Fliesen zu verlegen. Wie viel Zeit brauchen dann 5 Arbeiter?

1 Arbeiter würde in diesem Fall mehr Zeit brauchen. Es gibt für einen Arbeiter viel mehr Boden zu verlegen, wenn er alleine arbeitet. Also weniger Arbeiter brauchen mehr Zeit. Wie wir schon im entsprechenden Kapitel erklärt haben, ist das keine direkte sondern eine indirekte Proportionalität. Man muss in diesem Fall herausfinden, wie viel Zeit ein Arbeiter braucht. Ein Arbeiter wird die Arbeit von allen anderen erledigen müssen und jede der 3 Arbeiter braucht 15 Stunden. Einer Arbeiter braucht daher 45 Stunden:

$3\cdot 15=45$

Wenn jetzt diese Arbeit auf 5 Arbeiter aufgeteilt wird, wird jeder ein fünftel der Arbeit erledigen müssen. Wenn alle zusammen arbeiten, dann wird die Arbeit 9 Stunden dauern:

$45:5=9$

In diesem Fall muss man also direkt gegenüber multiplizieren, wie wir das gelernt haben:

${\begin{matrix}{\text{3 Arbeiter}}\\\downarrow :\\{\text{5 Arbeiter}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\dot {\longleftarrow }}\\\\{}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{15 Stunden}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\left({\frac {15\cdot 3}{5}}\right)\qquad x=9\ {\text{Stunden}}\ \$

Prozentrechnung für Fortgeschrittene

Es gibt einen viel schnelleren Weg um Aufgaben mit Prozentrechnung zu lösen. Nehmen wir die zwei Aufgaben aus dem letzten Kapitel.

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt 5 Stunden Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 70% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 20% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Berechnen Sie die Dauer der letzten Version!

Die Dauer nach dem Schnitt ist 100%-70%=30%. Wie am Anfang des Kapitels über Prozentrechnung erwähnt, 30% ist 0,3 ($\textstyle 30\%={\frac {30}{100}}=0{,}3$).

Wenn der Anfangswert gegeben ist, muss man mit dem Prozentsatz (als Zahl, also nicht 30, was %, also Hundertstel, ist, sondern 0,3) multiplizieren:

5·0,3=1,5 (Stunden).

Den nächsten Schritt kann man genauso machen. Nach 20% Erhöhung (aufpassen: des geschnittenen Films) haben wir $\textstyle 120\%={\frac {120}{100}}=1{,}2$.

1,5·1,2=1,8 (Stunden).

Das ganze kann man sogar in einem Schritt berechnen:

5·0,3·1,2=1,8 (Stunden).

Betrachten wir noch einmal den ersten Schritt. Wir wollen wissen, wie viele Stunden 30% von 5 Stunden sind. 30% bedeutet $\textstyle {\frac {30}{100}}$. Man soll daher die 5 Stunden in 100 teilen und 30 Teile davon nehmen:

${\frac {5}{100}}\cdot 30={\frac {5\cdot 30}{100}}=5\cdot {\frac {30}{100}}=5\cdot 0{,}3\$ (Stunden)

Der Anfangswert (Grundwert) wird daher mit 0,3 multipliziert.

Das kann man auch feststellen, wenn man die Schlussrechnung wie bisher gelernt durchführt:

${\begin{matrix}30\%\\\downarrow :\\100\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{5 Stunden}}\end{matrix}}$      $\left(5\cdot {\frac {30}{100}}=5\cdot 0{,}3\right)\qquad x=1{,}5\ {\text{Stunden}}$.

${\begin{matrix}120\%\\\downarrow :\\100\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\nwarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}x\\{}\\{\text{1,5 Stunden}}\end{matrix}}$$\qquad \left(1{,}5\cdot {\frac {120}{100}}=1{,}5\cdot 1{,}2\right)\qquad x=1{,}8\ {\text{Stunden}}$

Aber 1,5 in der letzten Rechnung ist so viel wie 5·0,3, wie man in der ersten Rechnung sehen kann. Daher kann man in der letzten Berechnung schreiben:

$\qquad x=1{,}5\cdot 1{,}2=5\cdot 0{,}3\cdot 1{,}2\qquad =1{,}8\ {\text{(Stunden)}}$

Die Schlussrechnungen können durch eine einfache und schnelle Multiplikation ersetzt werden!

In der Umkehraufgabe soll man die Gegenrechnung der Multiplikation benutzen, also die Division.

• Die Produzenten eines Filmes hatten vor dem Schnitt zu viel Material. Beim ersten Schnitt haben Sie 80% geschnitten. Das war ihnen aber doch zu kurz, daher haben sie eine neue um 15% längere (als der geschnittene Film) Version gemacht. Die letzte Version dauert 1,61 Stunden. Berechnen Sie die ursprüngliche Dauer, also die Dauer des ungeschnittenen Films!

$\textstyle 100\%-80\%=20\%={\frac {20}{100}}=0{,}2$

$\textstyle 100\%+15\%=115\%={\frac {115}{100}}=1{,}15$

1,61:1,15:0,2=7 (Stunden)

Schon fertig!

Man kann auch so denken:

x⋅0,2⋅1,15=1,61         |:1,15:0,2

x=1,61:1,15:0,2=7 (Stunden)

Wenn der Wert am Ende (der Prozentanteil) gegeben ist, muss man durch den Prozentsatz (als Zahl) dividieren.

V1.8. Bruchrechnungen und Vorrang

Bei Kombinationen von Bruchrechnungen muss man auf der Reihenfolge (siehe Vorrang der Rechenarten) aufpassen:

${\frac {2}{3}}+\left({\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}\right)\cdot \left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)$

Man muss zuerst die Klammern machen:

• Erste Klammer

${\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}={\frac {6-9}{7}}=-{\frac {3}{7}}$   Hier haben wir nur eine Strichrechnung und zwar mit dem gleichen Nenner.

• Zweite Klammer

${\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}$      Hier müssen wir erst die Punktrechnung machen und dann die Strichrechnung.

${\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}={\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}\cdot {\frac {7}{4}}={\frac {2}{5}}-{\frac {16\cdot 7}{21\cdot 4}}$      Hier soll man erst kürzen.

${\frac {2}{5}}-{\frac {{\cancelto {4}{16}}\cdot 7}{21\cdot {\cancelto {1}{4}}}}={\frac {2}{5}}-{\frac {4\cdot {\cancelto {1}{7}}}{{\cancelto {3}{21}}\cdot 1}}={\frac {2}{5}}-{\frac {4}{3}}$   $\textstyle \left(^{\text{Vorgang: }}{\frac {2}{5}}{\underline {\xcancel {-}}}{\frac {4}{3}}\right)$  $={\frac {2\cdot 3-4\cdot 5}{5\cdot 3}}={\frac {6-20}{15}}=-{\frac {14}{15}}$

Jetzt kann man in der Rechnung die Ergebnisse für die Klammern einsetzen:

${\frac {2}{3}}+{\cancelto {-{\frac {3}{7}}}{\left({\frac {6}{7}}-{\frac {9}{7}}\right)}}\cdot {\cancelto {-{\frac {14}{15}}}{\left({\frac {2}{5}}-{\frac {16}{21}}:{\frac {4}{7}}\right)}}=$

${\frac {2}{3}}+\left(-{\frac {3}{7}}\right)\cdot \left(-{\frac {14}{15}}\right)$$^{\text{(minus mal minus ist plus)}}=$

${\frac {2}{3}}+{\frac {{\cancelto {1}{3}}\cdot {\cancelto {2}{14}}}{{\cancelto {1}{7}}\cdot {\cancelto {5}{15}}}}$$^{\text{(hier erst kürzen)}}={\frac {2}{3}}+{\frac {1\cdot 2}{1\cdot 5}}={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{5}}=$

${\frac {2\cdot 5+2\cdot 3}{3\cdot 5}}={\frac {16}{15}}$

V1.9. Umformen in der ebenen Geometrie konkret

Bei manchen Aufgaben muss man die Formel umformen, z.B.:

Der Umfang eines Quadrats ist 12cm. Berechnen Sie die Seite und die Fläche!

Wir finden die Figur (hier Quadrat) in der Formelsammlung und fangen mit der Formel der gegebenen Eigenschaft (hier Umfang) an:

u=4a

Hier ist der Umfang gegeben, man braucht die Seite. Zwischen 4 und a steht nichts, also ist mal gemeint. Die Gegenrechnung von mal ist durch und der Umfang ist 12, also:

$u=4a\quad |:4$

${\frac {u}{4}}=a$    Seiten in einer Gleichung kann man selbstverständlich umtauschen, also:

$a={\frac {u}{4}}={\frac {\cancelto {12}{u}}{4}}={\frac {12}{4}}$  also

a=3 cm

Die Formel für die Fläche, die man auch in der Formelsammlung finden kann ist dann:

$A=a^{2}$$_{(a=3)}\ \$$=3^{2}=9$   also  $A=9\ cm^{2}$

Auch wenn die Seite erst nicht gefragt wäre, wäre es doch notwendig diese erst einmal zu berechnen, um dann mit Hilfe des Wertes für die Seite auch die Fläche berechnen zu können.

V1.10. Mittelwerte bei einem Säulendiagramm

Bei einem Säulendiagramm kann man auch Mittelwerte finden. Nehmen wir das gleiche Diagramm:

Aus dem Diagramm kann man eine Tabelle erzeugen!

	Bananen pro Packung	Anzahl der Packungen	Gesamte Bananen in diesen Packungen
	0	4	0⋅4=	0
	1	2	1⋅2=	2
	2	3	2⋅3=	6
	3	0	3⋅0=	0
	4	5	4⋅5=	20
	5	1	5⋅1=	5
		4+2+3+0+5+1=		0+2+6+0+20+5=
	Summe	15 Packungen		33 Bananen

Es gibt also 33 Bananen in 15 Packungen. Der Durchschnitt ist daher:  $\textstyle {\frac {33}{15}}=2,2$ B/P (Bananen pro Packung) im Durchschnitt.

Man kann auch den Median finden. Man soll die Werte (wie viele Bananen) einordnen. Wir haben 4 Packungen mit 0 Bananen (also die null kommt vier mal vor), 2 mit einer Banane, 3 mit 2 Bananen usw.:

$\underbrace {0,0,0,0,1,1,2,} _{\longleftarrow {\text{7 Werte}}}$  $\underbrace {2} _{Median}$  $\underbrace {,2,\overbrace {\color {Red}4,4,4,4,4} ^{Modus},5} _{{\text{7 Werte}}\longrightarrow }$

Wie man sehen kann, 3 kommt nicht vor. Wir haben ja keine Packung mit 3 Bananen, also der Wert 3 Bananen kommt nicht vor! Wir haben insgesamt 15 Werte (15 Packungen). Der Wert in der Mitte ist der achte Wert, also 2. Der Median ist 2.

Welcher Wert kommt öfters vor? 4 Bananen kommt 5 mal vor (in 5 Packungen). Alle andere Werte kommen nicht so oft vor. Also 4 ist der Modalwert.

V2 Vertiefendes Niveau 2

V2.1. Prozentrechnung und Brüche

Prozent bedeutet durch Hundert. Also:

$50\%={\frac {50}{100}}={\frac {1}{2}}={\frac {3}{6}}={\frac {7}{14}}=...=0{,}50=0{,}5={\sqrt {0{,}25}}\$

${\tfrac {50}{100}}\$haben wir mit 50 gekürzt. Wir merken, dass in allen Brüchen (auch bei ${\tfrac {50}{100}}$) der Nenner doppelt so viel ist wie der Zähler. ${\tfrac {1}{2}}\$haben wir erst mit 3 erweitert (also sowohl Zähler als auch Nenner mit 3 multipliziert) und das Ergebnis war ${\tfrac {3}{6}}$, dann auch mit 7 erweitert (Ergebnis ${\tfrac {7}{14}}$). Alle diese Brüche sind gleich zueinander und gleich 0,5. Das ist immer die gleiche Zahl. Also 50% ist 0,50 also 0,5. Wir merken auch, dass bei der Verwandlung des Prozentsatzes in eine einfache Dezimalzahl (Zahl ohne % daneben), wir das Komma einfach zwei mal verschieben.

daher ist:
20%:$\ 20\%={\frac {20}{100}}={\frac {1}{5}}={\frac {4}{20}}={\frac {13}{65}}=...=0{,}2$	25%:$\ 25\%={\frac {25}{100}}={\frac {1}{4}}={\frac {7}{28}}...=0{,}25$
5%:$\ 5\%={\frac {5}{100}}={\frac {1}{20}}={\frac {7}{140}}...=0{,}05$	350%:$\ 350\%={\frac {350}{100}}=...=3{,}5$
175%:$\ 175\%={\frac {175}{100}}={\frac {7}{4}}=...=1{,}75$	300%:$\ 300\%={\frac {300}{100}}=...=3$

In den letzten zwei Beispielen merken wir auch: Wenn etwas 75% mehr wird, dann ist das Ergebnis 175% (100%+75%), also das 1,75-fache des Anfangswerts; Wenn etwas 200% mehr wird, dann ist das Ergebnis 300% (100%+200%), also das 3-fache des Anfangswerts.

Noch eine Anmerkung zu den Verhältnissen:

Wenn z.B. 25% eine Eigenschaft haben (z.B. sind Schwarz) und der Rest nicht (sind also nicht Schwarz), dann ist das Verhältnis der Schwarzen zum ganzen 25%, also ${\tfrac {50}{100}}={\tfrac {1}{4}}\$also 1:4 (man sagt: „eins zu vier), das Verhältnis allerdings der Schwarzen zu den nicht Schwarzen ist 25% zu 75%, also ${\tfrac {25}{75}}={\tfrac {1}{3}}\$, also 1:3 (eins zu drei).

Noch eine Anmerkung: Das Verschieben des Kommas gilt bei allen Multiplikationen und Divisionen mit Potenzen von 10 (z.B. 100, 10000, 1000, 100000000 usw.) und nicht nur bei der Prozentrechnung. Wenn wir durch so ein Potenz dividieren, dann verschieben wir das Komma nach links, und zwar so oft, wie die Nullen sind (z.B. bei Division durch 10000000 verschieben wir 7 mal nach links). Bei Multiplikation verschieben wir nach rechts (die Zahl wird ja größer).

V2.2. Ebene Geometrie abstrakt umformen

Abstrakt umformen bedeutet hier, Umformungen nur (oder fast nur) mit Symbolen durchzuführen. Wir haben z.B. eine Formel für die Berechnung der Fläche eines Kreises, wenn sein Radius bekannt ist, aber wie sollte umgekehrt allgemein der Radius berechnet werden, wenn die Fläche gegeben ist?

Wir finden die Figur (hier Kreis) in der Formelsammlung und fangen mit der Formel der gegebenen Eigenschaft (hier Fläche) an:

$A=\pi \cdot r^{2}$

Wir brauchen eine Formel für den Radius, also das entsprechende Symbol (r) muss am Ende allein bleiben. Der erste Schritt in diesem Beispiel dafür, wäre das π von der rechten auf die linke Seite zu bringen:

$A=\pi \cdot r^{2}\quad |:\pi$

${\frac {A}{\pi }}=r^{2}$

Wir haben hier die Gegenrechnung von mal benutzt (also Division). Die Gegenrechnung fürs Quadrat ist Wurzel ziehen, das wird unser nächster Schritt sein:

${\frac {A}{\pi }}=r^{2}\quad |{\sqrt {x}}$

${\sqrt {\frac {A}{\pi }}}=r$

Seiten in einer Gleichung kann man selbstverständlich umtauschen, also:

$r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}$

Diese ist also die allgemeine Formel für die Berechnung des Radius eines Kreises, wenn seine Fläche gegeben ist.

Noch ein Beispiel für die Berechnung der Länge a eines Rechtecks, wenn sein Umfang u und die Breite b gegeben sind:

$u=2a+2b\quad |-2b$

$u-2b=2a|:2$

${\frac {u-2b}{2}}=a\quad$ also

$a={\frac {u-2b}{2}}$

In diesem Fall müssen wir selbstverständlich darauf aufpassen, dass die Einheiten übereinstimmen.

V2.3. Lineare Funktion Diagramm

Funktion allgemein

Wenn man z.B. die Temperaturen um gewissen Uhrzeiten an einem Tag misst, dann hat man schon eine Art von Funktion. Man sagt, dass die Temperatur die abhängige Variable ist und die Uhrzeit die unabhängige. Für jeden Wert der unabhängigen Variable gibt es einen Wert der abhängigen Variable aber für jeden Wert der abhängigen Variable kann es keine, eine oder mehrere Werte der unabhängigen Variable geben.

In unserem Beispiel: für jede Uhrzeit gibt es genau eine Temperatur (es kann nicht mehrere geben), eine Temperatur aber kann nie, einmal oder mehrmals vorkommen. Man kann die ganze Information in einer Tabelle schreiben und mit Hilfe der Tabelle, kann man auch ein Diagramm erstellen:

Wie man im Diagramm ablesen kann, es gibt nur eine Temperatur für jede Uhrzeit (z.B. um 10 Uhr ist die Temperatur 14°C und nicht gleichzeitig 18°C) aber für jede Temperatur kann es keine (z.B. 5°C gibt es nicht), eine (z.B. 10° C gibt es nur um 6 Uhr) oder mehrere Zeiten (z.B. 15°C kommt 2 mal vor, man kann sogar raten, dass es die gleiche Temperatur irgendwann zwischen 10 Uhr und 12 Uhr gab!).

Was ist eine lineare Funktion

Wenn das Diagramm einer Funktion eine Gerade ist, dann geht es um eine sogenannte lineare Funktion. Ein lineare Funktion hat die allgemeine Form:

y=s x +A

wo y die abhängige Variable ist, x die unabhängige Variable und s und A irgendwelche Konstanten (Zahlen, die sich nicht ändern, wie die Variablen). So sind die folgende Funktionen linear:

y=3x – 2$\qquad$ y=-0,5x+130 $\qquad$y= ¾ x – 2,3$\qquad$ y=-√3 x -5

In der ersten Funktion y=3x – 2 ist s=3 und A=-2.

In der zweiten Funktion y=-0,5x+130 ist s=-0,5 und A=130.

In der dritten Funktion y= ¾ x – 2,3 ist s= ¾ und A=-2,3.

In der vierten Funktion y=-√3 x -5 ist s=-√3 und A=-5.

Selbstverständlich kann man statt x und y andere Symbole benutzen:

y=3x – 2, a=3b – 2 und V=3h – 2 sind Darstellungen der gleichen Funktion, es werden nur andere Symbole für x und y benutzt. y= ¾ x – 2,3 ist doch eine andere Funktion, weil s und A (die Konstanten) anders sind. Wenn allein s oder allein A oder beide s und A in zwei Funktionen anders sind, dann haben wir zwei unterschiedlichen linearen Funktion. Wenn s und A in zwei Funktionen gleich sind, dann haben wir die gleiche Funktion, egal welche Symbole wir für x und y benutzen.

In einer linearen Funktion  $\textstyle y=s\cdot x+A$  wird die Konstante, mit der x multipliziert wird (hier mit s bezeichnet), Steigung der Funktion genannt. Die Steigung ist ein sehr wichtiger Begriff in der höheren Mathematik. Die Konstante, die dann addiert wird (hier mit A bezeichnet) nennt man y-Achsenabschnitt. Man muss auch sagen: in verschiedenen Staaten benutzt man unterschiedliche Symbole für s und A, z.B.

$y=mx+n$

Hier ist dann m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Deutschland) .

$y=kx+d$

Hier ist dann k die Steigung und d der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Österreich) .

$y=mx+q$

Hier ist dann m die Steigung und q der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in der Schweiz) .

$y=mx+b$

Hier ist dann m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Spanien) .

$y=ax+b$

Hier ist dann a die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Frankreich und auf Englisch) .

Tabelle für eine lineare Funktion erstellen

Für jede Funktion kann man eine Tabelle machen. Diese Tabelle kann man dann als Punkte in einem Diagramm darstellen. Als Beispiel benutzen wir die Funktion y=3x – 2:

Diagramm einer linearen Funktion mit Hilfe von zwei Punkten erstellen

Um diese Funktion in einem Diagramm darzustellen braucht man nur zwei Punkte. Einen Punkt schreibt man mit einem Wertepaar P:(x|y), wobei erst immer der x-Wert geschrieben wird und dann der y-Wert (innerhalb von Klammern). Benutzen wird beispielsweise P_A:(-1|-5) und P_B:(2|4) (erstes Bild). Mit Hilfe dieser Punkte kann man eine Gerade ziehen (zweites Bild). Wie man dann feststellen kann, liegen alle Wertepaare der Tabelle auf dieser Gerade! (Drittes Bild)

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Das ist genau die Sache. Alle Wertepaare einer linearen Funktion liegen auf der gleichen Gerade! Die Darstellung einer linearen Funktion auf einem Koordinatensystem ist eine Gerade!

Lineare Funktion Alltagsbeispiel

Stellen wir uns ein Haus mit einem schrägen Dach vor (Pultdach). Wir messen alle Abstände in Meter von dort aus, wo im Bild der Ursprung des Koordinatensystems ist, also unten links an der Tür. Da ist das Dach 3 m hoch. Nehmen wir an, dass wir, 4 Meter weit von der Tür aus, ein Holzbalken einbauen wollen, um das Dach zu stützen. Wie hoch ist das Dach an diesem Punkt also wie lang muss der Holzbalken sein?

Das Dach hat eine feste Neigung. Seine Höhe ist links 3 m und rechts, also 10 m weit von der linken Seite, 5 m hoch. Der Höhenunterschied ist 2 m. Das bedeutet, dass jedes Meter von links nach rechts das Dach $2:10=0{,}2\ m$ höher wird. Die Neigung des Daches ist 0,2. Diese Neigung nennt man in Mathematik bei einer abstrakten Kurve (die keinem Dach oder sonst was darstellt) Steigung.

Das Dach ist links 3 m hoch und wird 0,2 m höher für jedes Meter nach rechts. 4 Meter weiter wird es daher $3+4\cdot 0{,}2=3{,}8\$m hoch.

Mit diesem Beispiel wird hoffentlich klar: Wir können die Höhe H des Daches in Abhängigkeit von der horizontalen Abstand a für jeden Abstand mit Hilfe einer Formel berechnen. Die Formel dafür ist 3 m (ganz links) und dazu 0,2⋅a, wobei a der horizontale Abstand:

$H(a)=0{,}2\ a+3$

Wenn wir jetzt anstatt H(a) y (also den Name der senkrechten Achse des Koordinatensystems) benutzen und anstatt von a x (horizontale Achse), dann bekommen wir die Formel:

$y=0{,}2\ x+3$

Das ist eine lineare Funktion. Die Steigung (im konkreten Beispiel die Neigung des Daches) ist 0,2 und der y-Achsenabschnitt (da wo die Funktion die y-Achse trifft) ist 3.

• 
  Vordach
• 
  negative Steigung
• 
  Pool (unten)

Gäbe es einen Vordach links von der y-Achse, dann hätten wir auch negative Werte für die x-Achse, was dann in diesem Beispiel "links vom Haus" bedeuten würde. In diesem Bild wäre allerdings die Steigung und die ganze Funktion gleich geblieben:

$y=0{,}2\ x+3$

Wäre das "Dach" nach unten geneigt, dann hätten wir eine negative Steigung. In unserem Bild wäre dann die entsprechende Funktion:

$y=-0{,}3\ x+5$

Hätten wir beispielsweise einen Pool, dann könnten wir auch negative Werte für die y-Achse benutzen. Das würde in diesem fall "unterhalb der Oberfläche" bedeuten. In unserem Bild wäre dann die entsprechende Funktion:

$y=-0{,}25\ x-1$

Mathematik kann ziemlich abstrakt sein, wir haben dann keinen Dach und wir benutzen nur Zahlen. Das Beispiel zeigt allerdings, dass sie manchmal auch im Alltag hilfreich sein kann.

V2.4. Kreisdiagramm

Ein Kreisdiagramm zeigt Anteile des Ganzen. Es kann benutzt werden, um einen schnellen Überblick von statistischen Daten zu bekommen.

Ein Beispiel: In einer Klasse sind 8 Personen aus Österreich, 2 aus Deutschland, 2 aus der Türkei, 2 aus Serbien und 2 aus Tschechien. Diese Information kann man so wie im Bild in einem Kreisdiagramm darstellen. Die Hälfte des Kreises sind die 8 Personen aus Österreich. Die andere Hälfte ist in vier gleichen Teilen geteilt, also jeweils 2 Personen für Türkei, Deutschland, Serbien und Tschechien.

V2.5. Vergleichen von Mittelwerten

 

Weicht der Durchschnitt vom Median stark ab, dann ist die Verteilung ungleichmäßig. Weicht der Durchschnitt vom Median nicht stark ab, dann kann man eine eher gleichmäßiger Verteilung nicht ausschließen. (Vorausgesetzt, dass alle Werte positiv sind)

Um zu verstehen, was das bedeuten soll, schauen wir folgende vier Säulendiagramme an:

• 
  1: Ungleichmäßige Verteilung
• 
  2: relativ gleichmäßige Verteilung
• 
  3: relativ gleichmäßige Verteilung
• 
  4: Ungleichmäßige Verteilung

Nehmen wir an, dass diese vier Bilder die Vermögensverteilung in vier verschiedenen Staaten zeigen. Wenn die verschiedenen Diagramme verglichen werden, wird festgestellt, dass ungleichmäßige Diagramme (wo es weniger großen Werte gibt und viele kleinere) einen größeren Durchschnitt als der Median haben. Je ungleichmäßiger das Diagramm, desto größer der Unterschied zwischen Durchschnitt und Median. Das ist also mit dem ersten Satz dieses Kapitels gemeint: Weicht der Durchschnitt vom Median stark ab, dann ist die Verteilung ungleichmäßig. Weicht der Durchschnitt vom Median nicht stark ab, dann kann man eine eher gleichmäßiger Verteilung nicht ausschließen. Allerdings, wenn es negative Werte gibt, die die größeren Werte ausgleichen, gilt diese Regel nicht mehr.

Im ersten Diagramm kommt der Reihe nach vier mal die eins, vier mal die zwei, vier mal die vier, zwei mal die sechs, ein mal zwanzig und ein mal Hundert. Der Median ist also 3, der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist ziemlich ungleichmäßig, Median und Durchschnitt weichen stark ab.

Im zweiten Diagramm kommt der Reihe nach acht mal die sieben, sieben mal die acht und ein mal die achtzehn. Der größte Wert (18) ist ca. 2,5 mal wie der kleinste (7). Der Median ist 7,5 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist relativ gleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind nah zueinander.

Im dritten Diagramm kommt der Reihe nach acht mal die fünf, zwei mal die zehn, vier mal die fünfzehn und dann ein mal siebzehn und ein mal 23. Der größte Wert (23) ist ca. 4,5 mal wie der kleinste (5). Der Median ist 7,5 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist relativ ungleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind aber wieder nah zueinander.

Im vierten Diagramm kommt der Reihe nach sechs mal die eins, zwei mal die zwei, sieben mal die zehn und dann ein mal 80. Der größte Wert (80) ist 80 mal wie der kleinste (1). Der Median ist 6 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist stark ungleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind aber relativ nah zueinander.

Nur im ersten Diagramm weichen Median und Durchschnitt stark voneinander ab, da können wir sicher sein, dass die Verteilung ungleichmäßig ist. In den anderen drei Diagrammen können wir feststellen, dass ein relativ kleiner Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nicht aussagekräftig sein kann, da wir sowohl ein relativ gleichmäßige als auch eine relativ ungleichmäßige Verteilung haben können. Aber auch bei großen Unterschieden zwischen Median und Durchschnitt können wir immer noch nicht sagen, ob eine Ungleichmäßigkeit auch innerhalb der obersten Hälfte vorhanden ist oder nicht.Wenn z. B. 50 Werte 1 sind und 49 Werte 1000, dann ist der Durchschnitt (495,45) extrem größer als der Median (1), es sind aber immerhin fast die Hälfte der größeren Werte gleich.

Ein gutes Beispiel solcher Unterschiede ist die Vermögensverteilung in Europa und in der Welt. In Europa ist die Ungleichmäßigkeit in Deutschland und Österreich ziemlich ausgeprägt, wie ein Studium der europäischen Zentralbank gezeigt hat. Das erste Diagramm könnte wohl die Verteilung in diesen zwei Ländern repräsentieren. Was die Welt betrifft, sind nach einigen Studien die Ungleichmäßigkeiten noch (und viel) stärker.

Der Vergleich zwischen Durchschnitt und Median kann seine Aussagekraft über die Ungleichmäßigkeit der Verteilung (sogar völlig) verlieren, wenn manche Werte negativ sind. Das einfachste Beispiel dafür, ist, wenn wir drei Werte haben: −8, 1 und 10. In diesem Fall sind sowohl Durchschnitt als auch Median gleich 1, die Verteilung ist allerdings extrem ungleichmäßig. Beim Vermögen würde diese Verteilung beispielsweise bedeuten, dass eine Person stark verschuldet, eine knapp nicht verschuldet und eine reich ist. Der Vergleich zwischen Median und Durchschnitt ist in diesem Fall nutzlos.

V2.6. Wachstums- und Abnahmeprozesse

Wachstum

Bevölkerungswachstum

• China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn das Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

Zwischen 1966 und 2016 liegen 50 Jahre. Berechnen wir Schritt für Schritt die Bevölkerung für die ersten drei Jahre mit Hilfe der Schlussrechnung (direkte Proportionalität):

Der Anfangswert (Jahr 1966) ist 750 Millionen (100%). In einem Jahr ist die Bevölkerung um 2,5% gewachsen, also im Jahr 1967 wäre die Bevölkerung 102,5%:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{750 Millionen}}\\{}\\x_{1}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}\qquad \left(750\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=750\cdot 1{,}025=768{,}75\right)\qquad {\text{also }}\qquad x_{1}=768{,}75\ {\text{Millionen}}\\{\text{man kann daher schreiben:}}\qquad \qquad x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Für das nächste Jahr 1967 ist von diesem Wert auszugehen, um die Bevölkerung 1968 zu berechnen. Die Bevölkerung wäre 2,5% gewachsen im Vergleich zum 1967 (und nicht 1966). Die Bevölkerung im Jahr 1967 (768,75 Millionen) ist daher der neue Anfangswert (100%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{768,75 Millionen}}\\{}\\x_{2}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}\left(768{,}75\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=768{,}75\cdot 1{,}025=787{,}96875\right)\ \ {\text{also }}\ \ x_{2}\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 768{,}75=750\cdot 1{,}025\qquad {\text{und daher }}\\787{,}97=768{,}75\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025} ^{(=768{,}75)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}\ \ {\text{also }}\\x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Für das dritte Jahr geht man ähnlich vor:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{787,97 Millionen}}\\{}\\x_{3}\end{matrix}}$$\qquad \qquad {\begin{matrix}787,97\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=787{,}97\cdot 1,025\approx 807{,}67\qquad {\text{also }}\qquad x_{3}\approx 807{,}67\ \ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 787{,}97=750\cdot 1{,}025^{2}\qquad {\text{und daher }}\\{\text{und daher }}807{,}67\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025^{2}} ^{(=787{,}97)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{3}\ \ {\text{also }}\\x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}$

Wenn man das Ergebnis nach 50 Jahren berechnen will, müsste man mit der Strategie die gleiche Rechnung insgesamt 50 mal durchführen! Es gibt aber einen schnelleren Weg, die Aufgabe mit Hilfe eines Taschenrechners zu lösen. Betrachten wir unsere Ergebnisse (man muss immer mit der entsprechende schon gemachte Schlussrechnung vergleichen):

$x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{ Millionen}}\qquad (=768{,}75\ {\text{Millionen}})$

$x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}})$

$x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}})$

Jedes Jahr multiplizieren wir einmal weiter mit $\ 1{,}025$, jedes Jahr wird die Hochzahl um 1 größer! Das erste Jahr ist die Hochzahl von $\ 1{,}025\$ 1, das zweite Jahr 2, das dritte Jahr 3 und so weiter. Man kann sofort erkennen, dass die Hochzahl von $\ 1{,}025\$ nach 50 Jahren 50 sein wird und daher:

$x_{50}=750\cdot 1{,}025^{50}{\text{ Millionen}}\approx 2577{,}83\ {\text{ Millionen}}$.
So groß wäre die Bevölkerung Chinas nach 50 Jahren!

Hier ist die Periode (also die Zeit in der die Bevölkerung um 2,5% wächst) ein Jahr. In anderen Aufgaben kann sie etwas anderes sein (Woche, Monat, Tag, Stunde und so weiter). Wenn der Anfangswert A ist, der Wert am Ende E, der Prozentsatz des Wachstums P und die Anzahl der Perioden n (wie viele Perioden wir haben), dann kann man folgende Formel schreiben:

$E=A\cdot (1+P:100)^{n}$

Man kann schon sehen, dass die Bevölkerung Chinas sehr groß gewesen wäre, wenn das Wachstum so hoch geblieben wäre. Die Wirtschaft Chinas war schon 1966 geplant und die zuständigen Personen haben damals schon festgestellt, dass die Wirtschaft ein solches Wachstum der Bevölkerung nicht würde verkraften können. Die Leute würden an Hunger sterben oder man würde Kriege führen müssen, um die Bevölkerung zu verringern oder neue Ressourcen zu erschließen. Deshalb haben die Zuständigen die „ein-Kind-Politik“ eingeführt, die das Wachstum der Bevölkerung ohne Hungertod oder größere Kriege in gewissen Grenzen gehalten hat. Die Bevölkerung ist doch gewachsen, aber nicht so viel.

Ein kleiner (oder doch sehr großer?) Kommentar:
Manche könnten sagen, dass die Verdoppelung nach 50 Jahren nicht so viel ist. Wenn jemand dieser Meinung ist, sollte er die Bevölkerung nach 1000 Jahren berechnen (also, die Hochzahl sollte 1000 und nicht mehr 50 sein) und versuchen, sich vom Ergebnis nicht schockieren zu lassen ... Hier ist die Berechnung für 500 Jahre:

$x_{500}=750\cdot 1{,}025^{500}{\text{ Millionen}}\approx 173\ {\text{Millionen von Millionen, }}$also Trillionen!

Allerdings könnte man die Haltung von der Bevölkerung in ärmeren Staaten psychologisch gesehen schon verstehen: Sie haben keine Kenntnisse und glauben, dass mehrere Kinder eine bessere Zukunft gewährleisten, beziehungsweise die Versorgung im Alter besser sicherstellen. Oft spielt dabei die Religion eine dazu verstärkende Rolle.

Was ist aber mit den Wirtschaftswissenschaftlern? Die notwendigen Mathematikkenntnisse haben diese Personen mit Sicherheit. Dummheit nach dem berühmten Spruch von Einstein mag man ihnen grundsätzlich nicht gleich unterstellen wollen. Trotzdem behaupten sie, dass ein unendliches wirtschaftliches Wachstum (was mit Sicherheit auch ein unendliches Wachstum zum Beispiel des Energieverbrauchs und der Ressourcen voraussetzt) für das Überleben der Wirtschaft notwendig sei!

Die logische Schlußfolgerung ist daher, dass aus der nicht verfügbaren Unendlichkeit ein zwangsläufiges Scheitern dieser Wirtschaftsstrategie folgen muss, also kein Überleben möglich ist. Die Folgen für die Bevölkerung zu bedenken, bleibt den LeserInnen überlassen ...

Zurück zum mathematischen Problem, dazu eine Methode, die nicht funktioniert, also ein falscher Weg:

Viele versuchen, diese Aufgabe so zu lösen, indem sie 2,5% mit 50 multiplizieren, also 50 mal miteinander addieren. Kommen wir so zum selben Ergebnis?

50⋅2,5%=125%,     100%+125%=225%=2,25,     750 Millionen ⋅ 2,25=1687,5 Millionen.

Das ist allerdings falsch!

Der Fehler liegt darin, dass man 2,5% immer auf die Bevölkerung von 1966 bezieht. Die Bevölkerung aber wächst jedoch jedes Jahr um 2,5% in Bezug auf das vorherige Jahr und nicht auf 1966. Daher muss man jedes Mal mit 1,025 und nicht einmal mit 2,25 multiplizieren. Die Rechnung ist mal 1,025 hoch 50 und nicht mal 50, was ein ziemlich unterschiedliches Ergebnis bedeutet.

Abnahme

Radioaktivität

Zerfall ist das Gegenteil von Wachstum. Zerfall liegt vor, wenn jede Periode (Jahr, Monat und so weiter) die vorhandene Menge um den gleichen Prozentsatz weniger wird. Ein geeignetes Beispiel dafür ist die Radioaktivität:

• Das Iod-Isotop ¹³¹I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) wird täglich um 8,3% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

Wir können hier sofort die Formel des vorherigen Absatzes benutzen [E = A · (1+P:100)ⁿ], indem wir berücksichtigen, dass wir einen Zerfall und kein Wachstum haben, also die Atome werden weniger statt mehr. Wir müssen daher minus statt plus benutzen:

$\textstyle E=A\cdot (1-P:100)^{n}=250000{\text{ Atome}}\cdot \left(1-{\frac {8,3}{100}}\right)^{21}=$

$=250000\cdot \left({\frac {91,7}{100}}\right)^{21}=250000\cdot 0{,}917^{21}\approx 40522{\text{ Atome}}\quad$

(hier müssen wir auf eine ganze Zahl runden; warum denn? Die Hochzahl allerdings ist 21 und nicht 3; wieso?)

Bei der Radioaktivität gibt es eine für das jeweilige Isotop charakteristische Periode, die sogenannte „Halbwertszeit“. Das ist die Zeit, die notwendig ist, damit die Anzahl der radioaktiven Atome sich halbiert, also auf 50% abnimmt, daher der Name. Bei ¹³¹I ist diese Zeit 8 Tage. Bei Atomen, die in Kernkraftwerken benutzt werden, ist diese Zeit deutlich größer (zum Beispiel 4,5 Milliarden Jahren für ²³⁸U Uran). So entsteht radioaktiver Müll, mit dem nicht einfach umzugehen ist. Dieser Müll kann kaum mit technisch oder kommerziell vertretbarem Aufwand entsorgt werde. Oft wird er illegal auf Gefahr der Gesundheit der Bevölkerung entsorgt. Das und die Gefahr eines Unfalls (wie z.B. neulich in Fukushima), machen die Nutzung der Kernspaltung sehr gefährlich. Interessant ist dabei allerdings, dass ein einwandfrei funktionierendes Kernkraftwerk allein durch den Betrieb keine Radioaktivität nach außen freisetzt, das passiert erst bei entsprechenden Pannen.

Kohle enthält ebenfalls radioaktive Atome als unerwünschte Beigabe, wie übrigens praktisch jegliches Material, welches durch Bergbau gefördert wird. Mit der Abluft von Kohlekraftwerken wird durch den reinen Betrieb also mehr Radioaktivität in der Umwelt freigesetzt als durch ein Kernkraftwerk gleicher Leistung. Das Kohlekraftwerk produziert allerdings keinen zusätzlichen radioaktiven Müll und setzt keine zusätzliche Radioaktivität bei einer Panne frei.

V2.7. Satz von Pythagoras

Geschichte des Satzes von Pythagoras

Obwohl der Satz nach dem griechischen Philosoph Pythagoras genannt wird, wurde er nicht von ihm entdeckt. Der Satz wurde zumindest 1000 Jahre früher benutzt. Es gibt Tontafel aus Babylonien, die sogenannte pythagoreische Tripeln beinhalten. Eine pythagoreische Tripel sind drei Zahlen, die den Satz von Pythagoras erfühlen. Die Entdeckung zeigt eine hochentwickelte antike Zivilisation, Die Berechnungen mancher Tripel ohne technische Mittel sind ziemlich kompliziert und brauchen viel Geduld und Zeit.

Formulierung des Satzes von Pythagoras

Der Satz von Pythagoras lautet:

In einem rechtwinkeligem Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.

Der Satz gilt daher nur bei Dreiecken, die einen rechten Winkel haben.

Selbstverständlich versteht man den Satz viel besser, wenn man eine Figur sieht:

Die Seiten an der rechten Winkel nennt man Katheten (im Bild mit a und b), die Seite gegenüber Hypotenuse (im Bild mit c).Es gilt: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Nehmen wir drei Zahlen: 2, 3 und 4. Sind diese eine pythagoräische Tripel? Die größte Zahl sollte die längste Seite sein, die Hypotenuse, also c. Hier ist es die Zahl 4. Dann wären die Katheten 2 und 3. Die entsprechenden Quadrate der Katheten sind 2²=4 und 3²=9, ihre Summe 4+9=13. Das Quadrat der Hypotenuse wäre 4²=16. Es gilt 2²+3²≠4² (13 ist nicht gleich 16!). Das bedeutet: Es gibt kein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Katheten 2 und 3 und dessen Hypotenuse 4 Einheiten (z.B. Meter) sind.

2,3 und 4 sind daher keine Pythagoreische Tripel. Wie ist es mit 3, 4 und 5? Sind diese Zahlen eine Pythagoräische Tripel?     3²+4² = 25   aber auch 5² = 25.  Es gilt also: 3²+4²=5².  Das bedeutet nicht nur, dass es ein rechtwinkeliges Dreieck gibt, dessen Katheten 3 und 4 und dessen Hypotenuse 5 Einheiten ist, sondern auch umgekehrt, dass ein Dreieck, dessen Seiten 3, 4 und 5 Einheiten sind, einen rechten Winkel haben muss!

In den Aufgaben muss man aufpassen. Wenn die Katheten angegeben sind und die Hypotenuse gefragt, dann kann man die gegebene Formel benutzen:

• Bei einem rechtwinkeligen Dreieck sind die Katheten 6 und 8 cm lang. Berechnen Sie die Hypotenuse!

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\qquad$ wobei $a=6$ und $b=8$ also

$6^{2}+8^{2}=c^{2}\ \Rightarrow \ 36+64=c^{2}\ \Rightarrow \ 100=c^{2}\ \Rightarrow \ c={\sqrt {100\ }}=10cm$

Wenn aber die Hypotenuse und eine Kathete gegeben sind, dann muss man die Formel erst umformen:

• Bei einem rechtwinkeligen Dreieck sind die eine Kathete 21mm und die Hypotenuse 0,29dm lang. Berechnen Sie die andere Kathete!

Erst müssen wir auf die Einheiten aufpassen: 0,29dm=29mm

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\qquad |-a^{2}$

$b^{2}=c^{2}-a^{2}\qquad |-a^{2}$also$\qquad b^{2}=29^{2}-21^{2}=841-441=400\qquad$$b={\sqrt {400}}=20\ mm$

Also: Wenn beide Katheten angegeben sind müssen wir die Quadrate addieren, wenn nur eine Kathete und die Hypotenuse, müssen wir vom größeren Quadrat das kleinere subtrahieren. In beiden Fällen ziehen wir dann die Wurzel des Ergebnisses.

V2.8. Umsatzsteuer (USt.) und Rabatt

Umsatzsteuer (USt.)

Denken wir an eine Flasche Wasser. Der Produzent verkauft sie dem Supermarkt für einen Preis von, sagen wir mal, 2€ und der Supermarkt will dazu 1,2€ gewinnen. Um wie viel Geld wird dann das Produkt verkauft? Man könnte denken: 2+1,2=3,2€. Das ist aber doch nicht alles. Der Staat verlangt für jedes verkauftes Gut und für jede verkaufte Leistung Steuer. Diese Steuer nennt man Umsatzsteuer (USt.). Die USt. ist in Deutschland für Grundgüter 7% und für den Rest 19%, in Österreich 10% für Grundgüter und 20% für den Rest. In anderen Staaten gibt es andere Steuersätze (5%, 13% usw.). Diese Steuer wird vom Einkäufer bezahlt und ist daher Teil des Preises. Die Flasche Wasser wird daher nicht für 3,2€ verkauft, sondern um 10% mehr (ein Getränk ist ein grundlegendes Gut, also ist die USt. 10%).

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\110\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,2€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=3{,}52{\text{€}}\qquad \qquad$.

Nettoverkaufspreis (NVP) (100%) USt. Bruttoverkaufspreis (BVP)

Die Ware wird also um 3,52€ verkauft. Diesen Preis nennt man Bruttoverkaufspreis (BVP). Die 3,2€ (den Preis ohne Steuer) nennt man Nettoverkaufspreis (NVP). Die USt. in dieser Aufgabe ist 10% des Nettoverkaufspreises:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\10\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,2€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $x=0{,}32{\text{€}}\qquad \qquad$.

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

BVP=NVP + USt.

(in diesem Beispiel: 3,52=3,2+0,32 und 110%=100%+10%)

Rabatt

Aus verschiedenen Gründen (z.B. wenn eine Ware nicht so leicht verkauft wird oder am Ende einer Saison) kann ein Verkäufer eine Ware billiger als für den gewöhnlichen Preis verkaufen. Das nennt man Rabatt (oder Skonto). Im vorherigen Beispiel kann der Supermarkt die Flasche Getränk um 6% billiger verkaufen. Der Preis vor dem Rabatt ist in diesem Fall 3,52€ (Wert am Anfang, 100%). Nach dem Rabatt bleibt noch 100-6=94%:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\94\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,52€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\textstyle x\approx 3{,}31{\text{€}}\qquad \qquad$.

Preis vor Rabatt (PVR) (100%) Preis nach Rabatt (PNR) Rabatt (R)

Der Rabatt in diesem Fall ist 6% des Preises vor dem Rabatt:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\6\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{3,52€}}\\{}\\x\end{matrix}}$      $\textstyle x\approx 0{,}21{\text{€}}\qquad \qquad$.

Es gilt offenbar, sowohl was dem Preis als auch was dem Prozentsatz betrifft:

PNR=PVR-R

(in diesem Beispiel: 3,31=3,52-0,21 und 94%=100%−6%)

USt. und Rabatt Gegebener Endwert

*Der Verkaufspreis einer Ware nach 15% Rabatt ist 56,1€. Berechnen Sie den Nettoverkaufspreis , wenn die USt. 10% ist.

Der Preis nach dem Rabatt (56,1€) ist 100%-15%=85%. Vor dem Rabatt (100%) ist er daher:

${\begin{matrix}{\text{56,1€}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}85\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}$ $\qquad x=66{\text{€}}\qquad \qquad$Das ist der Bruttoverkaufspreis.

Der Bruttoverkaufspreis nach 10% USt. ist 66€. Das ist also 110%. Der Nettoverkaufspreis (Anfangswert) ist 100% und gesucht!

${\begin{matrix}{\text{66€}}\\{}\\x\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\searrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}110\%\\:\uparrow \\100\%\end{matrix}}$$\qquad x=60{\text{€}}\qquad \qquad$Das ist der Nettoverkaufspreis.

Das ganze kann man selbstverständlich auch in einem Schritt berechnen:

56,1€:0,85:1,1=60€

Warum gibt es Steuer?

Der Staat verlangt für jede verkaufte Ware und für jede erbrachte Leistung Steuer. Mit diesem Steuergeld werden (im Idealfall) die verschiedenen Leistungen, die der Staat anbietet, finanziert (z.B. Schule, Polizei, Armee, Krankenhäuser).

V2.9. Lineare Funktion ermitteln

Lineare Funktion

Wenn man zwei Punkte einer linearen Funktion hat, kann man nicht nur die entsprechende Gerade im Diagramm zeichnen, sondern auch die Funktion selber finden, wenn man sie nicht kennt. Nehmen wir die folgenden zwei Punkte P und Q, die man auch vom Diagramm ablesen kann:

$P:(2|4),\ Q:(5|-2)$

Mit Hilfe der beide Punkten kann man die Funktion in einem Koordinatensystem darstellen, wie im Bild. Wie viel ist die Steigung dieser Funktion und wie viel der y-Achsenabschnitt?

Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion ist:

$\ y=s\ x+A$

wobei hier mit s die Steigung gemeint ist und mit A der y-Achsenabschnitt.

Um die Steigung und den y-Achsenabschnitt der im Diagramm dargestellten Funktion zu berechnen, werden wir hier das sogenannte Gleichsetzungsverfahren benutzen. Setzen wir die Wertepaare für die zwei gegebenen Punkten in der allgemeinen Gleichung der linearen Funktion ein:

$\left|{\begin{array}{lrl}P(x|y)&y&=s\ x+A\\P(2|4)&4&=s\ 2+A&\\P(5|-2)&-2&=s\ 5+A\\\end{array}}\right|\quad {\begin{array}{l}\\\mathbf {I} \\\mathbf {II} \end{array}}$
Formen wir beide Gleichungen auf A um:
$\left({\begin{array}{rl}4&=s\cdot 2+A\\-2&=s\cdot 5+A\\\end{array}}\right)\ {\begin{array}{l}|-s\cdot 2\ {\text{also}}\ -2\ s\\|-s\cdot 5\ {\text{also}}\ -5\,s\\\end{array}}$
$\Leftrightarrow \left({\begin{array}{rl}4-2\,s&=\mathbf {A} \\-2-5\,s&=\mathbf {A} \\\end{array}}\right)$
Da die rechten Seiten der Gleichungen gleich sind (beide A), sollen auch die linken gleich sein.
${\begin{array}{rll}4-2\,s&=-2-5\,s\quad &|-4+5s\\3\,s&=-6\quad &|:3\\s&=-2&\end{array}}$
und daher
$\quad A=4-2\,s=4-2\cdot (-2)=8$
Die Funktion lautet daher:

$y=-2\ x+8\qquad$

Für die direkte Berechnung der Steigung s gibt es allerdings eine Formel. Es gilt:

$s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

wobei Δy die Differenz der y-Werte der zwei Punkte und Δx die Differenz der x-Werte ist.

In unserem Beispiel sind die Punkte $P:(2|4)$ und $Q:(5|-2)$, also die y-Werte 4 und -2 und die x-Werte 2 und 5. Die entsprechenden Differenzen sind: Δy=4 − ( − 2)=6 und Δx=2-5=-3. Daher ist die Steigung der abgebildeten linearen Funktion, die durch die Punkte P und Q geht:

$\textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {6}{-3}}=-2$

V2.11. Zinsrechnung

Zinsrechnung Begriffe

Die Symbole: Guthaben G₀ (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G₁ (Geld am Ende des ersten Jahres).

Der Begriff Zinsen hat mit den Bankinstitutionen zu tun, der Begriff KESt. mit dem Staat. Eine Bank ist eine Institution, die Geschäfte mit Geld macht. Als Privatkunde kann jede Person ihr Geld in einer Bank anlegen. Das Geld befindet sich dann auf einem sogenannten Konto. Die Bank gibt dem Kunden Zinsen, die nach einem jährlichen Prozentsatz, den sogenannten Zinssatz berechnet wird. Der Grundwert für den Zinssatz ist das Guthaben am Anfang G₀. Die Zinsen werden durch die Staat versteuert. Diese Steuer, Kapitalertragssteuer (KESt.) genannt, ist im deutschsprachigem Raum ca. 25% der Zinsen und dieser Prozentsatz wird im Folgenden immer benutzt.

Es gibt verschiedene Gründe, warum die Bank jedes Jahr den Kunden Zinsen gibt. Einerseits verliert das Geld durch die Inflation (Erhöhung der Preise) an seinen Wert, andererseits erzielen die Banken durch Investitionen und Kredite einen Gewinn, der ein Vielfaches der Zinsen ist.

Wie schon erwähnt, die Zinsen werden versteuert, daher bleiben im Ḱonto nicht die ganzen Zinsen, die die Bank gibt, sonder ein Teil davon, die sogenannten effektiven Zinsen. Da die Steuer 25% ist, sind die effektiven Zinsen der Rest 75% der Zinsen, die die Bank gibt (75% ist das 0,75-fache oder $\textstyle {\frac {3}{4}}$ der Zinsen.

Guthaben am Anfang G₀ ist das Geld, das ein Privatkunde in ein Bankkonto anlegt.

Zinsen Z ist das Geld, das die Bank jedes Jahr dem Kunden dazu gibt, sozusagen als Belohnung für sein Vertrauen an der Bank (und als Teil des Gewinns, den die Bank mit diesem Geld macht).

Zinssatz Zs ist ein Prozentsatz. Er wird benutzt, um die Zinsen, die die Bank gibt, zu berechnen. In diesem Fall ist das Guthaben am Anfang (für das erste Jahr G₀) der Grundwert (also 100%).

Kapitalertragssteuer KESt. ist eine Steuer auf die Zinsen. Sie wird vom Staat genommen, um Funktionen des Staates zu finanzieren. in diesem Buch wird sie immer 25% sein. Der Grundwert allerdings ist in diesem Fall nicht das Guthaben am Anfang, sondern die Zinsen Z, die die Bank dem Kunden gibt.

Effektive Zinsen eZ ist das Geld, das dem Kunden von den Zinsen übrig bleibt, nachdem die Zinsen versteuert werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, ist das Guthaben nach einem Jahr G₁ die Summe des Guthabens am Anfang G₀ und der effektiven Zinsen.

Effektiver Zinssatz eZs ist ein Prozentsatz. Er ist 75% (also das 0,75-fache oder $\textstyle {\frac {3}{4}}$) des Zinssatzes Zs, da 25% der Zinsen als KESt. vom Staat genommen werden. Wenn nichts Anderes auf dem Konto passiert, wird das Guthaben nach einem Jahr G₁ um so viel mehr Prozent als das Guthaben am Anfang G₀, wie der effektive Zinssatz.

G1 = G0 + eZ	$\textstyle \mathbf {{\text{Z=G}}_{0}\cdot {\frac {\text{Zs}}{100}}}$	KESt.= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {25}{100}}$	eZs= Zs ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {75}{100}}$= Zs ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {3}{4}}$
eZ = Z – KESt.	$\textstyle \mathbf {{\text{eZ=G}}_{0}\cdot {\frac {\text{eZs}}{100}}}$	G1 = G0 · $\textstyle \mathbf {\frac {100+eZS}{100}}$	eZ= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {75}{100}}$= Z ⋅ $\textstyle \mathbf {\frac {3}{4}}$

Zinsen

Wenn man Geld auf einem Konto hat, bekommt man jedes Jahr Zinsen. Die Bank benutzt das Geld vom Konto, um es zu investieren. Teil des Gewinns aus den Investitionen bekommt der Kontoinhaber als Zinsen (zu diesem Thema lernen wir mehr im Kapitel über Wachstum).

Die Zinsen werden nach einem Jahreszinssatz berechnet. Wenn man z.B. 4000€ im Konto (Anfangswert: 100%) hat und der Zinssatz 0,5%, dann bekommt man am Ende des Jahres:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\0{,}5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{4000€}}\\{}\\x\end{matrix}}$        $x=20{\text{€ }}$Zinsen.

KESt., effektive Zinsen, Guthaben nach einem Jahr

Wenn man ein Bankkonto hat, bekommt man von der Bank jedes Jahr Zinsen. Diese werden vom Staat versteuert. Diese Steuer nennt man Kapitalertragssteuer (KESt.). Der Zinssatz für die Berechnung der Steuer ist ungefähr auch 25%. Das bedeutet im vorherigen Beispiel, dass ein Teil (25%) von den 20€ dem Staat (und nicht dem Kontoinhaber) gegeben wird. Wie viel Geld gelangt dann auf das Konto? In dieser Frage sind die Zinsen (und nicht das Geld am Anfang) der Grundwert (also 100%):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\25\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{20€}}\\{}\\KESt.\end{matrix}}$      $KESt.=5{\text{€}}$  KESt.

Daher bleiben auf dem Konto nicht 20€ mehr am Ende des Jahres sondern:

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{20€}}\\{}\\eZ.\end{matrix}}$      $\qquad eZ.=15{\text{€}}$  effektive Zinsen.

(nicht vergessen: $\textstyle 25\%=0,25={\frac {25}{100}}={\frac {1}{4}},\qquad 75\%=0,75={\frac {75}{100}}={\frac {3}{4}}$,  also 3/4 der Zinsen bleibt im Konto und 1/4 geht zum Staat als Steuer KESt.)

Diese Zinsen, die auf dem Konto bleiben, nennt man effektive Zinsen, den entsprechenden Zinssatz, effektiven Zinssatz. Man kann die effektiven Zinsen offenbar auch einfacher berechnen: eZ = Z – KESt.=20€−5€=15€

Das bedeutet dann, dass das Geld am Ende des Jahres (Guthaben G₁):

G₁=4000€+15€=4015€ ist.

Man kann dann als Formel schreiben:

Die Symbole: Guthaben G₀ (Geld im Konto am Anfang), Zinsen Z, effektive Zinsen eZ, Zinssatz Zs, effektiver Zinssatz eZs, Guthaben G₁ (Geld am Ende des ersten Jahres).

G1 = G0 + eZ	Z = G0 · Zs : 100	KESt.= Z ⋅ $\textstyle {\frac {25}{100}}$	eZs= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Zs ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$
eZ = Z – KESt.	eZ = G0 · eZS : 100	G1 = G0 · $\textstyle {\frac {100+eZS}{100}}$	eZ= Z ⋅ $\textstyle {\frac {75}{100}}$= Z ⋅ $\textstyle {\frac {3}{4}}$

Effektiver Zinssatz

Da der Zinssatz Zs und der effektiver Zinssatz eZs Prozentsätze sind, ist es oft verwirrend, wenn man den effektiven Zinssatz als Prozentanteil des Zinssatzes berechnet. Daher fangen wir mit einem Beispiel an, in dem die effektiven Zinsen berechnet werden.

In einem Konto ist das Guthaben am Anfang 4000€, der Zinssatz 5%. Berechnen sie die effektiven Zinsen!

Berechnen wir erst die Zinsen. In diesem Fall ist das Guthaben der Grundwert (Wert am Anfang, 100%).

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {5}{100}}=4000\cdot 0{,}05\right)\qquad Z=200\ {\text{€}}$.

Wenn die effektiven Zinsen berechnet werden, sind sie 75% der Zinsen (hier ist der Grundwert 100% die Zinsen und nicht das Guthaben am Anfang):

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\{}\\eZ\end{matrix}}$      $\left(200\cdot {\frac {75}{100}}=200\cdot 0{,}75\right)\qquad eZ=150\ {\text{€}}$.

Wie viel % von 4000 € können diese 150 € sein?

${\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\\uparrow :\\150\ {\text{€}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\\{}\\eZs\end{matrix}}$      $\left({\frac {150\cdot 100}{4000}}\right)\qquad eZs=3,75\%$

Hier ist der Grundwert das Guthaben am Anfang. Da der Grundwert (100%) hier das Guthaben G₀ ist (4000€), ist dieser Prozentsatz (3,75%) ein Anteil des Guthabens G₀. 150€ sind die effektiven Zinsen, daher ist 3,75% der effektiver Zinssatz, also der Prozentsatz des Guthabens, der am Ende im Konto dazu bleibt. Die effektiven Zinsen sind 75% der Zinsen. Man könnte dann vielleicht denken, dass die effektiven Zinsen mit der folgenden Schlussrechnung zu berechnen wären:

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\\:\uparrow \\75\%\end{matrix}}$      $\left({\frac {200\cdot 75}{5}}\right)\qquad eZ=3000{\text{€}}\qquad$FALSCH!!

Wir wissen schon, dass die effektiven Zinsen 150€ sind. Das Ergebnis ist eindeutig falsch. Wie so? Wir haben in der Schlussrechnung schon € in der linken Spalte, Prozentsätze (%) in der rechten und das gegebene in einer Ziele. Es sollte doch richtig funktionieren. Was ist hier schief gegangen?

Die Antwort ist, dass die Prozentsätze sich auf einen unterschiedlichen Grundwert beziehen. Die Zinsen sind 5% des Guthabens, die effektiven Zinsen 75% der Zinsen. In der rechten Spalte stehen nicht gleichen Sachen!

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$FALSCH!!

Was können wir machen, damit die Schlussrechnung doch stimmt? Einfach Prozentanteile benutzen, die sich auf den gleichen Grundwert beziehen. Eine Möglichkeit ist das Guthaben G₀ als Grundwert zu benutzen. Die Zinsen sind 5% des Guthabens und die effektiven Zinsen 3,75% (wie wir schon gesehen haben).

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}5\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\:\uparrow \\3{,}75\%\ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\qquad$$\left({\frac {200\cdot 3{,}75}{5}}\right)\qquad eZ=150{\text{€}}\qquad$RICHTIG!!

Eine andere Möglichkeit ist, die Zinsen als Grundwert zu benutzen. Wie viel Prozent sind die Zinsen, wenn sie mit sich selbst verglichen werden? 100% selbstverständlich. Die Zinsen sind 100% der Zinsen. Wenn man eine Sache mit sich selbst vergleicht, hat man die ganze Sache, also 1, also 100%. Die effektiven Zinsen hingegen sind 75% der Zinsen:

${\begin{matrix}200\ {\text{€}}\\\\eZ\ \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(200\cdot {\frac {75}{100}}=200\cdot \ 0{,}75\right)\qquad eZ=150{\text{€}}\qquad$RICHTIG!!

Jetzt ist es leichter zu erklären, wie der effektiver Zinssatz eZs direkt berechnet werden kann, wenn der Zinssatz gegeben ist. In der folgenden Schlussrechnung stehen überall Prozentanteile. An jeder Spalte werden aber die gleichen Grundwerte benutzt, daher stimmt die ganze Rechnung:

${\begin{matrix}5\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\\eZs\ (\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}})\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \searrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\uparrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(5\cdot {\frac {75}{100}}\right)\qquad eZ=5\%\cdot 0{,}75=3{,}75\%\qquad$RICHTIG!!

Wurde der effektiver Zinssatz einmal so berechnet, kann man die effektiven Zinsen sofort berechnen, ohne erst die Zinsen berechnen zu müssen:

${\begin{matrix}100\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\uparrow :\\3{,}75\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\eZ\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {3{,}75}{100}}=4000\cdot 0{,}0375\right)\qquad eZ=150\ {\text{€}}$.

Sogar das Guthaben nach einem Jahr kann sofort und ohne weitere Zwischenschritte berechnet werden. Das Guthaben am Anfang ist 100% und wird um 3,75% mehr. Daher ist das Guthaben nach einem Jahr 103,75% des Guthabens am Anfang(100+3,75=103,75):

${\begin{matrix}100\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\\\uparrow :\\103{,}75\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}4000\ {\text{€}}\\{}\\G_{1}\end{matrix}}$      $\left(4000\cdot {\frac {103{,}75}{100}}=4000\cdot 1{,}0375\right)\qquad G_{1}=4150\ {\text{€}}$.

In all den letzten vier Schlussrechnungen und auch in einigen davor, wird auch der Weg für Fortgeschritten, also ohne Schlussrechnung, gezeigt (der zweite Teil der Gleichung in der Berechnung in Klammer).

Dieser hier gezeigte Weg, das Guthaben nach einem Jahr zu berechnen, ist bei den Umkehraufgaben unvermeidlich, wie im entsprechenden Kapitel gezeigt wird. Wenn der effektiver Zinssatz nicht gegeben ist, dann soll er erst berechnet werden, wie in diesem Abschnitt schon gezeigt.

Wenn in einer Aufgabe der Zinssatz gefragt und der effektiver Zinssatz gegeben ist, wird genau die gleiche Schlussrechnung, wie für den effektiven Zinssatz, (angepasst) benutzt:

${\begin{matrix}Z\ (\%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}})\\\\3{,}75\ \%\ \ {\boldsymbol {des}}\ {\boldsymbol {Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\cdot \nearrow \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}100\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\\:\downarrow \\75\%\ {\boldsymbol {der}}\ {\boldsymbol {Zinsen}}\end{matrix}}\qquad$$\left(3{,}75\cdot {\frac {100}{75}}\right)\qquad eZ=3{,}75\%:0{,}75=5\%\qquad$RICHTIG!!

Mit diesem Wissen können auch Formeln erzeugt werden, die allerdings nicht notwendig und eher verwirrend sind, wenn man sich mit der Prozentrechnung gut auskennt (was allerdings bei solchen Aufgaben notwendig und daher unvermeidlich ist)

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\Zs\ {\text{in }}\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}G_{0}\\{}\\Z\ {\text{in €}}\end{matrix}}$      $Z={\frac {G_{0}\cdot Zs}{100}}\ {\text{(in €)}}$.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}Z\ {\text{in €}}\\{}\\eZ\ {\text{in €}}\end{matrix}}$      $eZ={\frac {Z\cdot 75}{100}}=0{,}75\cdot Z\ {\text{(in €)}}$.

${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\75\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}Zs\ {\text{in }}\%\\{}\\eZs\ {\text{in }}\%\end{matrix}}$      $eZs={\frac {Zs\cdot 75}{100}}=0{,}75\cdot Zs\ ({\text{in }}\%)$.

usw.

Zinsen Umkehraufgaben

Wir haben schon gelernt, wie man Umkehraufgaben löst. Wichtig ist immer den richtigen Wert als Grundwert zu benutzen. In den Umkehraufgaben ist er i.d.R. unbekannt.

In einem Konto ist das Guthaben nach einem Jahr G₁ 6368,53€, der Zinssatz 0,6%. Berechnen Sie das Guthaben am Anfang, die Zinsen Z₁, die effektiven Zinsen eZ₁ und die Kapitalertragssteuer KESt.₁ in diesem Jahr.

In dieser Aufgabe ist es notwendig, erst den effektiven Zinssatz zu berechnen.

${\begin{matrix}100\%\ {\text{der Zinsen}}\\\uparrow :\\75\%\ {\text{der Zinsen}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0{,}6\%\ {\text{des Guthabens}}\\{}\\eZs\ (\%\ {\text{des Guthabens}})\end{matrix}}$      $\left({\frac {0{,}6\cdot 75}{100}}=0{,}6\cdot 0{,}75\right)\qquad eZs=0{,}45\%$ (des Guthabens am Anfang).

Das Guthaben wird daher jedes Jahr nicht um 0,6% mehr (was die Bank gibt), sondern 0,45% mehr (was nach der Versteuerung und den Abzug der KESt. übrig bleibt). Daher ist das Guthaben am Ende des ersten Jahres 100%+0,45%=100,45% (100% am Anfang plus 0,45% eZs). Das Guthaben G₀ am Anfang (Grundwert 100%) ist in diesem Fall gefragt:

${\begin{matrix}100{,}45\%\ {\text{des Guthabens}}\\\uparrow :\\100\%\ {\text{des Guthabens}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}6368{,}53\ {\text{€}}\\{}\\G_{0}\end{matrix}}$      $G_{0}=6340\ {\text{€}}$.

Durch Umformen der Formel, die wir in den Definitionen für die Berechnung des Guthabens nach einem Jahr G₁ gelernt haben, können wir ganz leicht die effektiven Zinsen berechnen:

$G_{1}=G_{0}+eZ\qquad \qquad |-G_{0}$

($G_{1}-G_{0}=eZ$)

$eZ=G_{1}-G_{0}=6368{,}53\ {\text{€}}-6340\ {\text{€}}=28{,}53\ {\text{€}}$

Mit Hilfe der Schlussrechnung können wir dann die ganzen Zinsen berechnen (was die Bank gibt):

${\begin{matrix}75\%\ {\text{der Zinsen}}\\\uparrow :\\100\%\ {\text{der Zinsen}}\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}28{,}53\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $Z=38{,}04\ {\text{€}}$.

Durch Umformen der Formel, die wir in den Definitionen für die Berechnung der effektiven Zinsen eZ₁ gelernt haben, können wir ganz leicht die KEST. berechnen:

$eZ_{1}=Z_{1}-KESt._{1}\qquad \qquad |-eZ_{1}+KESt._{1}$

$KESt._{1}=Z_{1}-eZ_{1}=38{,}04\ {\text{€}}-28{,}53\ {\text{€}}=9{,}51\ {\text{€}}$

Es gibt viele Wege die Umkehraufgaben zu lösen. Allerdings ist es absolut notwendig in diesen Aufgaben erst den effektiven Zinssatz zu berechnen (wenn er nicht schon gegeben ist!). Eine andere Schlussrechnung für die Berechnung der Zinsen sehen wir im Folgenden. Der Leser sollte daran denken, warum diese Berechnung stimmt (einfach daran denken, wie viel % jeder Wert ist!):

${\begin{matrix}100{,}45\%\\\uparrow :\\0{,}6\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}6368{,}53\ {\text{€}}\\{}\\Z\end{matrix}}$      $Z=38{,}04\ {\text{€}}$.

Und noch ein Kommentar: Bei einer Aufgabe muss man nicht die Fragen so wie sie in der Aufgabe stehen nacheinander beantworten. Man sollte an die Zwischenschritte denken. Hier haben wir beispielsweise erst den effektiven Zinssatz berechnet (was zwar nicht gefragt wird, für die Lösung aber absolut notwendig ist). Allerdings haben wir erst die effektiven Zinsen und dann die ganzen Zinsen berechnet (obwohl in die umgekehrte Reihenfolge gefragt wird...).

Die Entwicklung der Zinsen über mehrere Jahre wird im Kapitel Zinseszins erklärt.

Zinseszins

Wachstumsprozesse sind auch für das Banksystem sehr relevant. Das Guthaben in einem Konto wächst jährlich um den Zinssatz.

Wenn man kein Geld aufhebt oder einzahlt, kann man das Guthaben nach beliebigen Jahren mit Hilfe der Formel [E_n = A ∙ (1+P:100)ⁿ] berechnen.

(A ist hier das Kapital am Anfang, E das Guthaben nach n Jahren, P der Zinssatz)

• Berechne das Guthaben in einem Konto nach 20 Jahren, wenn das Kapital am Anfang 100000€ ist und der effektive Zinssatz 0,45%. Wie groß sind die Zinsen Z?

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+0,45:100)²⁰ ≈ 109395,34€    

(Warum muss man hier auf 2 Nachkommastellen runden?)

Die Zinsen kann man dann leicht berechnen: Z=E − A=109395,34€ − 100000€ = 9395,34€

Die Bank benutzt unseres Geld, um Geld zu investieren, zum Beispiel, um Geld anderen auszuleihen. Die Bank aber verlangt einen viel höheren Kreditzinssatz als den Zinssatz, den sie für unseres Geld im Konto gibt.

• Berechne, wie viel Geld eine Bank nach 20 Jahren gewinnt, wenn sie 100000€ mit 2,5% Zinssatz ausleiht.

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+2,5:100)²⁰ ≈163861,64€

Der Gewinn für die Bank ist daher: 163861,64€ − 100000€ ≈ 63861,64€ Das ist eindeutig viel mehr, als das Geld, das die Bank dem Kontoinhaber zurückgibt! Das reicht aber doch nicht aus! Banken dürfen mit unserem Geld mehrere Kredite vergeben. Quasi schöpfen sie so fiktives Geld mit jedem bereitgestellten Kredit. Sie dürfen, sagen wir mal, zehn Kredite vergeben. Sofern die Kreditgeber alles samt Zinsen zurückzahlen, ist der reine Gewinn für die Bank:

10 ⋅ 63861,64€ − 9395,34€ ≈ 629221,10€

Natürlich können Kredite ausfallen, werden also nicht zurückgezahlt. Ein solcher Ausfall ist zunächst einmal das Risiko der Bank. Zudem hat die Bank die Angestellten und die Infrastruktur (Bankgebäude, Computersysteme etc) zu finanzieren.

Ein Kommentar noch finde ich hier allerdings notwendig:

Diesen nicht gerade kleinen Gewinn rechtfertigen die Banken durch das genannte Risiko, das sie beim Ausleihen übernehmen. Je höher das Risiko des Kredits, desto höher der Kredit-Zinssatz.

Das Risiko wird aber schon dadurch reduziert, dass mehr Kredite vergeben werden, als Geld angelegt wurde. Die Tatsache, dass die Banken bei der letzten Finanzkrise doch Geld vom Steuerzahler bekommen haben, um einen Bankrott abzuwenden, ohne die geringste Forderung, das Geld zurückzugeben, zeigt eindeutig, dass sie das Risiko dem Staat übertragen haben, als etwas schief gegangen ist. Dass etwas schief geht, wird allerdings bei der angedeuteten Geldschöpfung durch Banken immer wieder der Fall sein wird.

V2.12. Potenzen Erklärung

Die Erklärung von Punktrechnungen zwischen zwei Potenzen mit der gleichen Basis haben wir schon in vorherigen Kapiteln gesehen. Dafür benötigen wir die Definition der Potenzzahl. Hier werden noch zwei Sonderfällen erklärt.

Null als Hochzahl

Mit Hilfe des letzten Satzes kann man auch, mit Hilfe eines Beispiels, zeigen, dass $a^{0}=1\$ und $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist. Es gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{3}}}={{a\cdot a\cdot a} \over {a\cdot a\cdot a}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}={{1\cdot 1\cdot 1} \over {1\cdot 1\cdot 1}}=1$

und nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt auch:

${\frac {a^{3}}{a^{3}}}=a^{3-3}=a^{0}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{3}}}$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich $a^{0}$. Daher gilt:

$a^{0}=1$

Potenzen mit negativer Hochzahl

In einer ähnlichen Weise zeigen und wieder mit Hilfe eines Beispiels wir, dass $\textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\$ ist.

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {a}\cdot {a}}}={1 \over {a^{2}}}$

Nach der Regel $\textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}$ gilt:

${\frac {a^{3}}{a^{5}}}=a^{3-5}=a^{-2}$

Also $\textstyle {\frac {a^{3}}{a^{5}}}\$ ist gleichzeitig $\textstyle {\frac {1}{a^{2}}}\$ und $a^{-2}$. Daher gilt:

${\frac {1}{a^{2}}}=a^{-2}\$ und allgemein:

$\ a^{-n}={1 \over a^{n}}\$

Es muss auch klar sein: x² ist nicht das Gleiche wie y² (kann ausnahmsweise sein, ist es in der Regel aber nicht!)! Wenn die Basis anders ist, kann man mit den Hochzahlen keine Strichrechnung machen, z.B.:

$4^{3}\cdot 5^{6}\neq 20^{9}$   oder etwas Ähnliches. Man kann einfach diesen Ausdruck NICHT vereinfachen!

V2.13. Säulendiagramm erstellen

Am besten wird der Vorgang des Erstellens eines Säulendiagramms mit Hilfe eines Beispiels erklärt.

Die ans Rauchen zuzuschreibenden gemeldeten Todesfälle in den Dörfern einer Region in einer Woche waren:
7, 6, 3, 4, 3, 8, 7, 7, 8, 6, 7, 6, 3, 8, 8, 7, 6, 6.

• Zeichnen Sie ein Säulendiagramm, aus dem man ablesen kann, wie viele Dörfer welche Anzahl von Todesfälle hat
• Geben Sie den Durchschnitt, den Modalwert, den Median und die Spannweite der Todesfälle an!

Die Frage "wie viel ist der Durchschnitt der Todesfälle pro Dorf" ist sinnvoller als die Frage "wie viel ist der Durchschnitt der Dörfer pro Todesfälle". Wenn wir aber über Todesfälle pro Dorf sprechen, dann muss die Anzahl der Todesfälle auf der x-Achse des Säulendiagramms stehen. Wir haben fünf verschiedene Werte, 3 4 6 7 oder 8 Todesfälle. 3 kommt in drei Dörfer vor, 4 in einem Dorf, 6 in fünf Dörfern, 7 in fünf Dörfern und 8 in vier Dörfern. Wir haben also fünf Säule und ihre "Höhe" wird 3 (für 3 Todesfälle), 1 (für 4 Todesfälle), 5 (für 6 T.), 5 (für 7 T.) und 4 (für 8 T.). Das Ergebnis kann da so aussehen:

D Ö R F E R

3 1 5 5 4 3 4 6 7 8 Toten pro Dorf

Wie man den Durchschnitt, den Median und den Modus findet, haben wir schon an einer anderen Stelle gelernt. Für die Spannweite werden wir hier die x-Achse benutzen (auch wenn dies nicht ganz richtig ist). Spannweite ist dann der größte minus den kleinsten Wert, also hier $8-3=5.\$