Mathematikunterricht/ Sek/ Zahlen und Rechenoperationen
Die elementaren Operationen Siehe auch Mathematik für mathematische Pflegefälle - Rechnen - Mathematik für die Grundschule
Wozu werden Zahlen benutzt?
Bearbeiten- zum Zählen; im Zählen finden Zahlen ihren Ursprung
- Um zu wissen wieviele Dinge es gibt und zählen wir: 1, 2, 3, 4, 5, …; eine Lotterieurne enthält 49 Kugeln, eine Eierpackung 10 Eier, …
- damit Zählen nicht zu langweilig wird und nicht zu lange dauert rechnen wir mit Zahlen, aber im Grunde genommem ist alles Rechnen auf Zählen zurück zu führen
- zum Ordnen; beim Zählen wird das erste Objekt als erstes gezählt, usw.
- Der erstgeborene Sohn, der zweite, …; am Ende eines Wettkampfes z. B. landen die Sportler auf dem ersten, zweiten, dritten, vierten Platz, u.s.w. ; Hausnummern, wenn jedenfalls die Ordnung benutzt wird.
- zum Benennen; eigentlich sind dies keine Zahlen, man kann nicht damit rechnen; nur werden Ziffern als Zeichen benutzt;
- "Zahlen" sind Namen: Postleitzahlen, Telefonnummern
- zum Messen; obwohl Messen eigentlich wieder Zählen bedeutet; wir stellen fest wie oft die Einheit in den Messwert passt
- Ein Quadrat, dass die Seitenlänge 1 Meter hat, misst in der Diagonalen 1,414213… m. Der Umfang eines Kreises mit einem Radius von 1 m ist 6,28318… m.
Eine Temperatur beträgt + 25,6°C. Jemand wiegt 49,3 kg.
und schließlich
- zum Rechnen
Was sind Zahlen?
BearbeitenDie Frage lässt sich nicht so einfach beantworten. Unter Zahlen versteht man heutzutage vor allem solche Dinge, mit denen man so schön rechnen kann, dass man auch unbeschränkt dividieren kann.
Wie werden Zahlen dargestellt?
Bearbeiten- Erinnerung:
- Beispiel: Die Zahl 34067 ist eine Abkürzung für folgende Produktsumme:
Das kann man noch etwas anders darstellen:
- Das heißt in unserem Zahlensystem haben wir die Zahl 10 als Basis gewählt und addieren immer Potenzen von 10.
- Außerdem gibt es eine Zahl 0 für welche gilt:
- und für alle a.
- Aber natürlich ist die Wahl der Zahl 10 als Basis völlig gleichgültig und man kann jede andere Zahl nehmen, um Zahlen darzustellen.
Historisch belegt sind:
- das Sexagesimalsystem: Basis 60 (Babylonien)
- das Vigesimalsystem: Basis 20 ( Maya und Azteken, Normannen)
- das Dezimalsystem: Basis 10 (bei den meisten Völkern)
- das Hexadezimalsystem: Basis 16, wird von Computerprogrammierern verwendet, weil es für Menschen einfacher ist als das Dualsystem
- das Oktalsystem: wurde von Computerprogrammierern verwendet, als es noch keine 8-bit-Prozessoren gab
- das Dualsystem: wird seit 1940 in der Elektrotechnik und beim Computerbau verwendet. Da es das theoretisch einfachste Zahlensystem ist, gehört es auch zur mathematisch-physikalischen Allgemeinbildung.
- Was macht man, wenn man die Zahl 0 nicht verwenden möchte?
Dann kann man beliebige Summen aus beliebigen Zahlen nehmen, um Zahlen darzustellen. Allerdings kann man dann nicht beliebig große Zahlen darstellen.
historisch vorgekommen sind:
- das griechische Zahlsystem. jedem Buchstaben wird eine Zahl zugeordnet:
zum Beispiel: τκδ = 300 + 20 + 4= 324
- das römische Zahlsystem: aus Kerbholz-Darstellungen entwickelt, nur die Buchstaben
1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
I | V | X | L | C | D | M |
zum Beispiel: MCMLXXXVI = 1986
- die standardisierten Maße und Gewichte:
- Will man beispielsweise 146 Euro bezahlen, so gibt man in der Regel 2 50-Euroscheine + 2 20-Euroscheine + 1 5-Euroschein + 1 1-Eurostück.
die Rechenoperationen
Bearbeitendie Grundoperationen
BearbeitenAddition
BearbeitenEine Addition lässt sich in jeder Menge definieren. Hier ist die Additionstafel der ersten Zahlen.
(+) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
10 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
Die Addition ist kommutativ a + b = b + a
Verdopplung
BearbeitenAddiert man eine Zahl zu sich selbst, so verdoppelt sich diese.
Man schreibt a + a = 2a
Hier ist die Verdopplungsreihe für die ersten Zahlen:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 |
Multiplikation
BearbeitenMan kann das Verdoppeln auf beliebige Vielfache verallgemeinern:
usw.
Hier ist die als Einmaleins bekannte Multiplikationstabelle:
* | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 | |
3 | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 | 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 | |
4 | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 | 76 | 80 | |
5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 | 100 | |
6 | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 | 78 | 84 | 90 | 96 | 102 | 108 | 114 | 120 | |
7 | 0 | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 | 77 | 84 | 91 | 98 | 105 | 112 | 119 | 126 | 133 | 140 | |
8 | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 | 88 | 96 | 104 | 112 | 120 | 128 | 136 | 144 | 152 | 160 | |
9 | 0 | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 | 99 | 108 | 117 | 126 | 135 | 144 | 153 | 162 | 171 | 180 | |
10 | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 | 180 | 190 | 200 | |
11 | 0 | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 | 110 | 121 | 132 | 143 | 154 | 165 | 176 | 187 | 198 | 209 | 220 | |
12 | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 | 120 | 132 | 144 | 156 | 168 | 180 | 192 | 204 | 216 | 228 | 240 | |
13 | 0 | 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 | 130 | 143 | 156 | 169 | 182 | 195 | 208 | 221 | 234 | 247 | 260 | |
14 | 0 | 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 | 140 | 154 | 168 | 182 | 196 | 210 | 224 | 238 | 252 | 266 | 280 | |
15 | 0 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 | 150 | 165 | 180 | 195 | 210 | 225 | 240 | 255 | 270 | 285 | 300 | |
16 | 0 | 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 | 160 | 176 | 192 | 208 | 224 | 240 | 256 | 272 | 288 | 304 | 320 | |
17 | 0 | 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 | 170 | 187 | 204 | 221 | 238 | 255 | 272 | 289 | 306 | 323 | 340 | |
18 | 0 | 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 | 180 | 198 | 216 | 234 | 252 | 270 | 288 | 306 | 324 | 342 | 360 | |
19 | 0 | 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 | 190 | 209 | 228 | 247 | 266 | 285 | 304 | 323 | 342 | 361 | 380 | |
20 | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300 | 320 | 340 | 360 | 380 | 400 |
- Die Multiplikation ist kommutativ:
- Es gibt ein Element 0 mit
- Es gibt ein Element 1 mit
Quadrieren
BearbeitenMultipliziert man eine Zahl mit sich selbst, so nennt man das Quadrieren:
Man schreibt
Hier ist die Tabelle der Quadrate der ersten Zahlen
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | 900 | 961 | 1024 |
Potenzieren
BearbeitenAuch das Quadrieren lässt sich verallgemeinern:
usw.
Die erste Zahl heißt Basis, die zweite Exponent, das Ergebnis heißt Potenz.
- Achtung: das Potenzieren ist nicht mehr kommutativ: ist ungleich
Hier ist die Potenztabelle der ersten Zahlen:
^ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
3 | 1 | 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 |
4 | 1 | 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 |
5 | 1 | 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15625 |
Die Potenzen sind wichtig für die unterschiedlichen Zahldarstellungen
^ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
10 | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10.000 | 100.000 | 1000.000 | ||||||
16 | 1 | 16 | 256 | 4096 | 65536 | ||||||||
20 | 1 | 20 | 400 | 8000 | 160.000 | ||||||||
60 | 1 | 60 | 3600 | 216.000 |
Kombinatorische Operationen
BearbeitenDie bisherigen Operationen lassen sich noch weiter verallgemeinern:
Summe einer Zahlenreihe
Bearbeiten1 = 1
1+2 = 3
1+2+3 = 6
1+2+3+4 = 10
1+2+3+4+5 = 15
1+2+3+4+5+6 = 21
Summe von 1 bis n = n*(n+1)/2 ( )
Das sind die so genannten Dreieckszahlen.
Summe der ungeraden Zahlen
Bearbeiten1 = 1
1+3 = 4
1+3+5 = 9
1+3+5+7 = 16
1+3+5+7+9 = 25
Summe der ersten n ungeraden Zahlen:
Fakultät
Bearbeiten
usw.
Die Anzahl der Permutationen (Vertauschungen) einer Menge mit n Elementen ist n!
die Umkehroperationen
BearbeitenWenn man das Ergebnis einer Rechnung kennt, aber nur einen Operanden, wie lautet dann der Operand, den man nicht kennt?
- a + x = b, a und b bekannt, was ist dann x?
- , a und b bekannt, was ist dann x?
Die Antwort auf solche Fragen geben die Umkehroperationen. Die Grundoperationen haben immer ein Ergebnis, aber die Umkehroperationen haben manchmal keines. In den Fällen, wo kein Ergebnis in den natürlichen Zahlen möglich ist, führt der Versuch trotzdem eins zu finden zur Erweiterung der Zahlbereiche. Wichtig ist, dass alle hier genannten Operationen schon in den natürlichen Zahlen definiert werden können.
Subtraktion
Bearbeitenist die Umkehroperation der Addition
Wenn a + x = b,
dann ist x = b - a
in den Natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung, wenn a < b
Will man für a > b ebenfalls eine Lösung, so ergeben sich die ganzen Zahlen.
Halbieren
Bearbeitenist die Umkehroperation der Verdopplung
Wenn 2x = a, dann ist x = a:2
In den natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung, wenn a gerade ist.
Im Zehnersystem gilt: a ist gerade, wenn die letzte Ziffer 0,2,4,6 oder 8 ist.
Dividieren
Bearbeitenist die Umkehroperation der Multiplikation
Wenn ,
dann ist x= b:a, man schreibt auch x= b/a
in den natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung,
- wenn a < b, und
- wenn b durch a teilbar ist, und
- wenn a nicht 0 ist.
Will man, dass die Gleichung auch dann eine Lösung hat, wenn b nicht durch a teilbar ist, ergeben sich die rationalen Zahlen.
Im Zehnersystem gilt:
a ist durch 2 teilbar wenn die letzte Ziffer 0,2,4,6,8 ist
a ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist
a ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl der letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist
a ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist
a ist durch 6 teilbar, wenn a durch 3 und 2 teilbar ist
a ist durch 7 teilbar, wenn das doppelte der letzten Ziffer von der verbleibenden Zahl abgezogen, durch 7 teilbar ist
a ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl der letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar ist
a ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist
a ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.
größter gemeinsamer Teiler (ggT)
BearbeitenAuch dann, wenn die Division nicht funktioniert, kann man noch eine "Teilbarkeitsverwandtschaft" feststellen. Zwei Zahlen können gemeinsame Teiler haben: Zum Beispiel haben 36 und 24 die gemeinsamen Teiler: 12, 6, 4, 3, 2. Der größte davon, eben der größte gemeinsame Teiler, hier also 12, ist eine sehr wichtige Zahl, die mit einem besonderen Verfahren, dem so genannten euklidischen Algorithmus, für beliebige natürliche Zahlen berechnet werden kann. Ist der ggT von zwei Zahlen a und b die Zahl b, dann funktioniert die Division. Ist der ggT 1, so heißen die Zahlen relativ prim oder teilerfremd.
das Quadratwurzelziehen
Bearbeitenist die Umkehroperation des Quadrierens (zumindest, wenn man die Vorzeichen außer Betracht lässt). Eine Quadratwurzel ist immer eine positive Zahl. Beispiel:
Wenn ist, gibt es zwei Lösungen: und , weil sowohl
- als auch
Mann kann auch die Quadratwurzel aus positiven Zahlen ziehen die keine Quadrate sind:
- ,
Betrachte die Reihe der Quadratzahlen und die Summe der ungeraden Zahlen.
Zwar gibt es keine unmittelbar einsichtige Regel, wann die Gleichung eine ganze Zahl als Lösung hat, aber z. B. kann Sie keine Lösung haben wenn, die letzte Ziffer von a 2,3,7 oder 8 ist.
Will man dass die Gleichung auch für negative a eine Lösung hat, dann ergeben sich die komplexen Zahlen (z. B. ).
Radizieren (allgemeines Wurzelziehen)
BearbeitenWenn , dann ist (b-te Wurzel aus c)
Logarithmieren
BearbeitenWenn , dann ist (Logarithmus c zur Basis a), c darf dabei nie 0 sein.
Kombinatorische Umkehroperationen
BearbeitenDurchschnitt
Bearbeitender Durchschnitt zweier Zahlen wird gebildet, indem man die Summe der beiden Zahlen durch 2 teilt. In den natürlichen Zahlen ist der Durchschnitt nur definiert wenn beide Zahlen gerade oder beide Zahlen ungerade sind.
Der Durchschnitt mehrerer Zahlen wird gebildet indem man die Zahlen alle addiert, und ihre Summe durch die Anzahl der Zahlen teilt.
(n Zahlen):
Kettenendendifferenzen
BearbeitenDifferenz der letzten und ersten Zahlen , wenn
Binominalkoeffizienten
BearbeitenQuotient aus den letzten und ersten Zahlen
, n>k. Gesprochen: n über k.
Hier ist die als Pascal'sches Dreieck bezeichnete Tabelle der ersten Binomialkoeffizienten
1 | |||||||
1 | 1 | ||||||
1 | 2 | 1 | |||||
1 | 3 | 3 | 1 | ||||
1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||
1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||
1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |
1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
Beachte:
Die Summe der n-ten Zeile ist
Die erste Spalte besteht nur aus Einsen
Die zweite Spalte enthält die natürlichen Zahlen
Die dritte Spalte enthält die Summe der ersten Zahlen, d.h. die Dreieckszahlen
Die Zeilen sind spiegelsymmetrisch
Jeder Binomialkoeffizient ist die Summe der beiden über ihm stehenden Koeffizienten.
Exponenzieren
BearbeitenDer Exponens oder exp(a) von a ist
Diese Funktion taucht bei der Zinseszinsrechnung auf und von ihr lassen sich auch die trigonometrischen Funktionen ableiten.
geometrische Operationen
BearbeitenDie geometrischen Operationen werden wichtig, sobald man mit negativen und komplexen Zahlen zu tun hat.
Betrag
BearbeitenFür reelle Zahlen a ist:
- |a| = a, wenn a positiv ist
und
- |a| = a, wenn a negativ ist
Deshalb gilt:
Länge
BearbeitenFür komplexe Zahlen a+bi ist:
Deshalb gilt für komplexe z:
Signum
BearbeitenDie Funktion sign, Signum, bestimmt das Vorzeichen und gibt es als +1, -1 oder 0 zurück.
- sign(a) = +1 wenn a positiv ist.
- sign(a) = -1 wenn a negativ ist.
- sign(a) = 0 wenn a neutral (0) ist.
Komplex Konjugierte
BearbeitenDas komplex Konjugierte einer komplexen Zahl c=a+bi ist die komplexe Zahl a-bi. Mann schreibt:
- .
Phase, Argument
BearbeitenEine komplexe Zahl z=a+bi kann man auch vorstellen als:
- .
Darin ist arg(z) der Winkel zwischen dem Vektor z und die reelle Achse. Dieser Winkel lasst sich bestimmen als Lösung der Gleichungen:
- .
Nachfolger und Vorgänger
Bearbeitenist n eine natürliche Zahl so ist n' = s(n) = n+1 der Nachfolger derselben und n´ = p(n) = n-1 der Vorgänger.
Diese Operation ist wichtig, wenn man die natürlichen Zahlen durch Axiome definiert.
Es gilt: a+b= a(1+b/a)= a*(b/a)' für a teilt b.