Mathematikunterricht/ Sek/ Mathematik für mathematische Pflegefälle

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Los geht's

Grundlagen sind häufig nicht sehr interessant. Sie müssen aber dennoch gut verstanden werden, ansonsten klappt nichts mehr. Wir versuchen aber, sie so kurz und gut verständlich wie möglich zu gestalten. Sie werden für die schöneren Dinge immer wieder gebraucht.

Zahlen

Dieses Kapitel trägt nichts zum Verständnis der Mathematik bei. Es ist nur eine Formsache, bei der die verschiedenen Typen von Zahlen vorgestellt werden. Sie können dieses Kapitel also ohne schlechtes Gewissen überspringen. Interessant ist es aber trotzdem gut zu wissen, was es alles gibt. Wobei ich schon etwas vorgreifen kann: Erst bei den komplexen Zahlen wird es richtig interessant, da mit diesen Zahlen auch "gezeichnet" werden kann:

Eine Juliamenge, erstellt mit Hilfe der komplexen Zahlen.

Die natürlichen Zahlen

Fangen wir bei den natürlichen Zahlen an. Von denen gibt es schon eine ganze Menge. Alleine diejenigen, denen man einen Namen geben kann, würden ausreichen, um alle Currywürste Bochums zu zählen. Das Schema ist recht simpel. Nehmen wir als Beispiel diese lange Zahl:

1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

zählen Sie einfach mal die Anzahl der Nullen, genauer die Anzahl der 6er-Gruppen also: 000.000 ist ein 6er. In unserer Zahl haben wir 5 Stück davon, die alten Römer hätten wahrscheinlich Quinque Stück gezählt. Quin ist dabei die lateinische Abkürzung für Fünf. Aber da sich Quinillion blöd ausspricht, schiebt man noch ein "t" dazwischen und erhält für unsere Zahl den wohlklingenden Namen "Quintillion". So funktioniert das auch mit fast allen anderen Zahlen.

1.000.000                                  1 6er  M-illionen

1.000.000.000.000                          2 6er  B-illionen

1.000.000.000.000.000.000                  3 6er  Tr-illionen

1.000.000.000.000.000.000.000.000          4 6er  Quadr-illionen

1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000  5 6er  Quint-illionen

Es geht weiter mit Quadr, Quint, Sext, Sept, Okt, Non, … bis Milliatillion, eine 1 mit 1000 mal 6 also 6000 Nullen! Höhere Zahlen werden dann durch das Anfügen von weiteren Vorsiblen gebildet. Zum Beispiel heißt eine Zahl mit 12000 Nullen Domilliatillion und eine Zahl mit 60000 Nullen wird als Dezmilliatillion bezeichnet.

Zahl                  ausgeschrieben
1.000.000             eine M-illion
1.000.000.000         eine M-illiarde
1.000.000.000.000     eine B-illion
1.000.000.000.000.000 eine B-illiarde

Zwei bedeutende Spezialfälle wurden hier allerdings noch unterschlagen:

1                     eins (eigentlich keine Benennung, da eine 2 nicht 
                      zwei-eins ist wie, 2.000.000 ja zwei Millionen ist)
1.000                 Tausend (also auch nicht eins-illiarden oder so)

Die natürlichen Zahlen sind mathematisch betrachtet nichts anderes als eine Menge von Elementen. In der Mathematik werden Mengen auf verschiedene Arten beschrieben. Eine Möglichkeit ist die Aufzählung der Elemente einer Menge, d.h. wenn wir die Elemente einer vierköpfigen Familie aufzählen: Mama, Papa, Sohn, Tochter, dann haben wir die Menge beschrieben. Der Name der Menge ist Familie Mustermann. Die natürlichen Zahlen beschreiben wir wie folgt: $\mathbb {N} =\{0;1;2;3;4;5;6;\dotsc \}$ Die Punkte schreibt man dabei, da sich diese Reihe unendlich weit fortsetzen lässt. Die Elemente einer Menge werden immer mit Semikolon (;) getrennt geschrieben.

Dazu noch mal das Beispiel der Familie in der richtigen mathematischen Schreibweise:

$\mathbb {M} ustermann=\{Mama;Papa;Sohn;Tochter\}$

Die ganzen Zahlen

Wenn man den natürlichen Zahlen noch ein Vorzeichen gibt, also z.B. -10 (minus Zehn), dann erhält man die Menge der ganzen Zahlen: $\mathbb {Z} =\{\dotsc ;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;\dotsc \}$. Zu den ganzen Zahlen gehören somit die natürlichen Zahlen und die negativen ganzen Zahlen (die mit einem Minuszeichen davor).

Durch die Erweiterung der natürlichen auf die ganzen Zahlen kann man nun alle natürlichen Zahlen in allen Formen untereinander subtrahieren (Minusrechnen), was vorher nicht möglich war:

$5-3=2$

und nun auch

$3-5=(-2)$

Die rationalen Zahlen

Wir wollen uns nicht zu lange mit den öden Dingen aufhalten, also ganz schnell: Es gibt noch die rationalen Zahlen, die man erhält, wenn man ganze Zahlen durcheinander teilt. Das sind dann "gebrochene Zahlen" oder Brüche. Damit kann man endlich die vier Grundrechenarten (addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren) ausführen! Vielleicht klingt diese Frage jetzt rhetorisch: Aber gibt es eigentlich mehr rationale Zahlen, als es natürliche Zahlen gibt? Die verblüffende Antwort lautet: "Nein, es gibt genauso viele rationale wie natürliche Zahlen!" Das klingt jetzt sehr unglaubwürdig. Aber es ist so. Es gibt sogar einen Beweis dazu. Wie übrigens für fast alles in der Mathematik.

Die irrationalen Zahlen

Außer den rationalen gibt es noch irrationale Zahlen, diese könnte man grob als Zahlen bezeichnen, die unendlich viele Nachkommastellen haben. Genauer muss man sagen, dass es keine Wiederholungen geben darf. Also 3,2323232323… ist keine irrationale Zahl (es ist nämlich 320/99). Während $3{,}14159265359\dotso =\pi$ ganz bestimmt eine ist. Der Beweis ist aber schon ganz schön schwierig. Wie dem auch sei, ich wollte mich ja nicht zu lange hier aufhalten, also weiter zu den reellen Zahlen.

Die reellen Zahlen

Die reellen Zahlen sind die Vereinigung der rationalen und der irrationalen Zahlen. Der Name "reelle Zahlen" hört sich nur so etwas abgehoben an, aber in Wirklichkeit werden die meisten Mathematiker diese Zahlen mögen. Vor, sagen wir, etwa 200 Jahren gab es jemanden, den man heute zu den cleversten Köpfen aller Zeiten zählt. Ich meine nicht Einstein, der kam später. Der, den ich meine, hieß Carl Friedrich Gauß. Er war einer derjenigen, die als erste wirklich einen Nutzen in den reellen Zahlen gesehen haben. So fiel einigen Leuten auf, dass man keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen konnte. Nein im Ernst, das war nicht drin! Wie auch? "Quadratwurzel ziehen" ist ja nichts anderes als "Quadrieren umkehren". Also wenn jemand $2^{2}=4$ rechnet, ist das OK so, wenn man nun aus 4 die Wurzel zieht ${\sqrt {4}}=2$, macht man alles wieder rückgängig. Nur was man auch macht, es ist wirklich nicht möglich, eine reelle Zahl zu finden, die quadriert eine negative Zahl ergibt. Deshalb konnte man auch keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen. Naja, Mathematiker geben jedoch nicht so schnell auf, und so beschloss man, einfach neue Zahlen einzuführen, die dieses Problem lösten:

Die komplexen Zahlen

Wie wir oben gesehen haben, gibt es nicht für alle mathematischen Probleme eine Lösung in den reellen Zahlen. Wie sollen wir jetzt die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen? Findige Mathematiker "erfanden" einen Trick: Wir schreiben $i^{2}$ für die Zahl -1. Es lässt sich jede negative Zahl mit -1 ausdrücken. Beispiel: $-4=4\cdot (-1)$, $-10{,}24=10{,}24\cdot (-1)$. So ist es uns nun möglich, ${\sqrt {-4}}$ in ${\sqrt {4\cdot (-1)}}$ umzuschreiben. Jetzt ersetzen wir -1 durch $i^{2}$ und erhalten ${\sqrt {4\cdot i^{2}}}$. Jetzt kann man bequem die Wurzel aus 4 und aus $i^{2}$ ziehen. Das ergibt die "Zahl" 2i, die wir nun komplexe Zahl nennen. Was das i genau bedeutet, ist recht schwierig zu erklären und unmöglich vorzustellen. Es ist nicht mehr eine normale Zahl wie 4 oder 6,341 oder $\pi$. Die Normalform der komplexen Zahlen ist $z=x+yi$ ($x$ und $y$ müssen reelle Zahlen sein). In unserem Beispiel haben wir nun $z=0+2i$, was dasselbe ist wie $z=2i$. Es lassen sich auch alle normalen Zahlen in komplexe Zahlen umschreiben: $z=x+0i$, wobei hier $x$ die normale, reelle Zahl ist.

Grundrechnen

Es gibt die vier Grundrechenarten "Addition" (Zusammenzählen), "Subtraktion" (Abziehen), "Multiplikation" (Malrechnen) und "Division" (Teilen). Alle anderen Rechenoperationen bauen auf diesen Grundrechenarten auf. Die Subtraktion ist das Gegenstück der Addition und funktioniert genau umgekehrt. Bei der Multiplikation ist die Division das Gegenstück.

Addition

Die Addition ist die älteste Rechnungsweise. Hier werden die Zahlen ganz normal zusammengezählt. Wir können das ganz einfach mit Äpfeln oder Kugeln machen, oder auch abstrakt mit Zahlen. Als Beispiel zählen wir zu drei Äpfeln fünf hinzu. Dazu legen wir die zwei Häufchen von drei und fünf Äpfeln zusammen und zählen die Äpfel. Wir erhalten acht. In Zahlen ausgedrückt heißt das 3 + 5 = 8. Das ist mit allen Zahlen möglich. Egal wie groß oder wie kompliziert sie erscheinen. Wir bleiben aber zunächst einmal bei den einfachen, ganzen Zahlen.

Kurz gesagt werden hier zwei oder mehrere Zahlen (Apfel-Mengen) zusammengezählt.

Subtraktion

Diese Grundrechenart ist, wie schon erwähnt, das Gegenstück zur Addition. Wir haben am Anfang einen größeren Haufen an Äpfeln, bei dem wir einen kleineren Teil wegnehmen. Als Beispiel nehmen wir nun acht Äpfel und nehmen von diesen Äpfeln drei weg. Es bleiben also noch fünf Äpfel übrig. Mathematisch ausgedrückt sieht das so aus: 8 - 3 = 5.

Kurz gesagt wird hier von einer Zahl (einem Teil Äpfel) eine andere Zahl (ein Anderer) abgezogen.

Multiplikation

Hier wird's schon schwieriger. Diesmal haben wir 3 Haufen Äpfel. Jeder Haufen besteht aus 5 Äpfeln. Wir haben also 3 mal einen Haufen à 5 Äpfel. Diese Haufen werden auch wieder zusammengezählt (in Zahlen: 5 + 5 + 5). Das Resultat ist 15. Mit Zahlen sieht das so aus: $3\cdot 5=15$.

Kurz gesagt haben wir x-mal einen Haufen mit der jeweils gleichen Mengen Äpfeln und wir wollen die Gesamtzahl an Äpfeln herausfinden.

Division

Die Division ist die schwierigste Grundrechenart. Auch hier können wir wieder das Beispiel mit den Äpfeln nehmen. Wir haben einen großen Haufen an Äpfeln, den wir aufteilen. Als Beispiel haben wir 15 Äpfel, die wir in 5 gleich große Haufen aufteilen wollen. Wenn wir das geschafft haben, sehen wir, dass es in jedem Haufen 3 Äpfel gibt. Mathematisch ausgedrückt heißt das 15 : 5 = 3.

Kurz gesagt wollen wir eine große Zahl (großen Haufen Äpfel) in beliebig viele, gleich große Zahlen (Gruppen) aufteilen.

Bruchrechnen

Ein weiteres wichtiges Grundgebiet der Mathematik ist das Bruchrechnen. Es wird sehr viel gebraucht und ist auch in der "höheren" Mathematik sehr oft zu sehen.

Ein Bruch ist, wie der Name schon sagt, eine "gebrochene" Zahl. Das heißt, die Zahl wird nicht als 1,5 oder als 2,125 geschrieben, sondern als eine Zahl, die durch eine zweite geteilt wird. Es ist also eine unausgerechnete Division. Brüche werden aber anders aufgeschrieben als Divisionen. Hier gibt es einen Nenner und einen Zähler, wobei der Zähler durch den Nenner geteilt wird. Geschrieben werden einfache Brüche wie folgt:

${\frac {\mathrm {Z{\ddot {a}}hler} }{\text{Nenner}}}$

Es sind auch Doppelbrüche oder noch kompliziertere Brüche $\left({\frac {a}{{\frac {c}{b}}+{\frac {d}{e}}}}\right)$ möglich. Wenn möglich, werden die Brüche aber immer in einen einfachen Bruch umgeschrieben.

Brüche zusammenzählen

Brüche können relativ einfach zusammengezählt werden. Als erstes muss geschaut werden, dass die Nenner der Brüche, die zusammengezählt werden sollen, alle gleich sind. So ist es nicht möglich, Drittel und Fünftel zusammenzuzählen. Es müssen zuerst Fünfzehntel daraus gemacht werden. Wie das gemacht wird, erfahren Sie weiter unten. Wenn die Nenner alle gleich sind, so werden nur noch die Zähler alle zusammengezählt. Der neue Bruch ist somit die Summe aller Zähler über den Nenner. Beispiel:

${\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}+{\frac {5}{7}}={\frac {3+2+5}{7}}={\frac {10}{7}}$

Brüche abziehen

Das Prinzip ist dasselbe wie bei der Addition von Brüchen, nur umgekehrt. Die Zähler werden voneinander abgezogen, der Nenner bleibt wiederum gleich:

${\frac {51}{87}}-{\frac {12}{87}}-{\frac {32}{87}}={\frac {51-12-32}{87}}={\frac {7}{87}}$

Brüche multiplizieren

Die Multiplikation von Brüchen ist auch sehr einfach. Hier werden einfach die Zähler miteinander multipliziert und die Nenner miteinander multipliziert:

${\frac {2}{4}}\cdot {\frac {3}{5}}\cdot {\frac {6}{9}}={\frac {2\cdot 3\cdot 6}{4\cdot 5\cdot 9}}={\frac {36}{180}}$

Brüche dividieren

Brüche kann man "nicht" dividieren. Es ist etwas zu umständlich. Es gibt aber einen Trick, dennoch Brüche zu dividieren. Die Division wird einfach in eine Multiplikation umgewandelt. Die Umwandlung ist ganz einfach. Der teilende Bruch wird umgekehrt (es wird der Kehrwert genommen) und einfach multipliziert:

${\frac {4}{3}}:{\frac {2}{6}}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {6}{2}}={\frac {4\cdot 6}{3\cdot 2}}={\frac {24}{6}}$

Textaufgaben

Textaufgaben sind ja ein großes Problem. Deswegen kommt hier ein wenig Hilfe, wie man an solche Aufgaben herangehen kann. Als Beispiel kommt hier die Aufgabe aus den Gleichungssystemen:

In einem Park befinden sich 17 Hühner und eine unbekannte Anzahl Kaninchen.
Zählt man die Anzahl der Beine, so ergibt sich die Zahl 58.
Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen tummeln sich im Park?

Als erstes guckt man sich die einzelnen Sätze an und schreibt auf, welche Aussagen schon feststehen.

• Wir befinden uns in einem Park. (Unwichtig)
• Es gibt 17 Hühner.
• Wie viele Kaninchen es gibt, wissen wir noch nicht.
• Alle Beine zusammen sind 58.
• Kaninchen haben 4 Beine.
• Hühner haben 2 Beine.

Jetzt haben wir also diese Aussagen:

• Kaninchenbeine + Hühnerbeine = 58
• Kaninchenbeine = Kaninchen $\cdot$4
• Hühnerbeine = Hühner $\cdot$2
• Hühner = 17

Jetzt kann man einfach die Werte, die man kennt, einsetzen. Hier ist das die Aussage "Hühner = 17". Man setzt also überall, wo Hühner steht, die 17 ein. Man kann natürlich hier auch bei den Gleichungssystemen weitermachen.

• Kaninchenbeine + Hühnerbeine = 58
• Kaninchenbeine = Kaninchen $\cdot$4
• Hühnerbeine = 17 $\cdot$2

Dann einfach ausrechnen:

• Hühnerbeine = 34

Das kann man jetzt wieder einsetzen:

• Kaninchenbeine + 34 = 58

Und dann macht man einfach so weiter.

• Kaninchenbeine = 58 − 34
• Kaninchenbeine = 24
• 24 = Kaninchen $\cdot$ 4
• Kaninchen = 24 / 4
• Kaninchen = 6

Und jetzt kommt das allerwichtigste: Die Antwort!

"Im Park tummeln sich 17 Hühner und 6 Kaninchen"

Ohne diese Antwort gibt es bestenfalls Mitleidspunkte.