Mathematikunterricht/ Sek/ Algebra/ Gleichungssysteme
Gleichungen
Grundsätzliches
Die Gleichungslehre befasst sich mit der Lösbarkeit von Gleichungen, Ungleichungen oder Gleichungssystemen (auch Ungleichungssystemen). Dazu sind in der Regel Umformungen erforderlich, die den Rechengesetzen der Algebra genügen müssen:
- Gleichungen Sie bestehen aus zwei Termen (mathematische Ausdrücke), die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind.
- Ungleichungen Hier sind die beiden Terme z. B. durch Zeichen wie: „größer als“ (>) oder „kleiner als“ (<) verbunden.
- Gleichungssysteme Dies sind Pakete von Gleichungen, die zusammen gehören und gemeinsame Lösungen besitzen müssen oder eben keine gemeinsame Lösung haben.
Jede (Un-)Gleichung stellt eine mathematische Aussage dar. Ihren Wahrheitsgehalt gilt es zu untersuchen. Es wird dabei letztendlich zu Aussagen kommen, welche wahr sind und es wird Aussagen geben die unwahr bzw. falsch sind. Es ist das Ziel, die Menge der Lösungen zu finden, die die Aussage zu einer wahren Aussage macht.
Die vorgegebenen (Un-)Gleichungen müssen dazu im Allgemeinen erst durch Umformungen (Gegenoperationen) vereinfacht werden, um den Wahrheitswert überblicken und die gesuchte Lösung(smenge) angeben zu können.
Beispiel 1:
vereinfacht
Dies ist eine wahre Aussage.
Beispiel 2::
vereinfacht:
Diese Aussage stellt einen Widerspruch dar, sie hat also den Wahrheitswert falsch.
Würde das Beispiel hingegen lauten:
bzw.
So hat diese Ungleichung als Aussage den Wahrheitswert wahr.
Gleichungsumformungen
Eine Gleichungsumformung darf den Wahrheitsgehalt einer Gleichung nicht verändern! Die neu erstellte Gleichung muss zu der Ausgangsgleichung äquivalent sein - wir sprechen daher von Äquivalenzumformungen. Es ist daher folgendes zu beachten:
Jede Operation muss ...
- a) den algebraischen Gesetzen gehorchen,
- b) auf beiden Seiten der (Un-)Gleichung gleichermaßen durchgeführt werden.
Aufgabenstellung: Die folgende Gleichung soll nach der Variablen a aufgelöst werden, d. h. das +b soll aus dem linken Term verschwinden.
Dies erreicht man durch die Gegenoperation mit -b:
also:
Mit -a könnte man die Gleichung ebenso nach der Variablen b auflösen.
Grundmenge, Definitionsmenge, Lösungsmenge
Die Grundmenge ist jene Menge der Zahlen, deren Elemente für die Variable(n) eingesetzt werden können.
Die Definitionsmenge ist jene Menge von Zahlen, deren Elemente für die Variable(n) eingesetzt werden dürfen. {...}
Die Lösungsmenge ist jene Menge von Zahlen, deren Elemente, eingesetzt für die Variable eine wahre Aussage ergeben. {...}
Gleichungen mit einer Unbekannten
Gleichungen werden oftmals dann aufgestellt, wenn man eine oder mehrere Unbekannte (auch: Variable) hat, deren Wert ermittelt werden soll, so dass sich eine wahre Aussage ergibt.
Beispiele für eine Gleichung mit einer Unbekannten, in diesem Fall heißt sie x:
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Um den Wert der Unbekannten festzustellen, muss man die entsprechende Gleichung auflösen. Hierzu haben wir die Möglichkeit, die Ausdrücke oder Teile davon umzuformen.
Umformung von Beispiel 1:
- | (die Operation im rechten Term lässt sich ausführen)
Umformung von Beispiel 2:
- | (auch hier lässt sich die Operation im rechten Term ausführen)
Die letzte Zeile ist noch unfertig. Sie stellt noch eine Aufgabe und keine Lösung dar. Die Variable x soll linksseitig allein dastehen. Durch die Umkehroperation zur Addition von 10, also die beidseitige Subtraktion von 10 erhalten wir:
Jetzt erkennt man, dass nur durch Einsetzen von 5 für x eine wahre Aussage entsteht.
Merke: Jede Gleichungsumformung erfordert ein und dieselbe Operation auf beiden Seiten der Gleichung! Nur so bleibt der Wahrheitsgehalt bzw. der „Wert der Gleichung“ unverändert. Diesen Vorgang bezeichnet man als Äquivalenzumformung. Diese Regel gilt auch für Ungleichungen.
Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen können im aufwendigsten Fall folgendes Aussehen haben:
Dabei repräsentiert x die (Form-)Variable, deren Wert bestimmt werden soll. Die restlichen Buchstaben stellen Konstanten (Zahlenwerte) dar. Durch Umformung lässt sich die obige Gleichung immer auf die Form
bringen, z.B. mit a = m-n und b = d-c aus der obigen Gleichung.
Ein erstes Beispiel:
Zur Lösung dieser Gleichung bringt man alle Summanden, die mit x zusammenhängen auf die linke und alle reinen Zahlenwerte auf die rechte Seite der Gleichung. Wir führen also nacheinander die Gegenoperationen -3x und -1 beidseitig aus:
Nun teilen wir beide Seiten durch 2, d. h. durch den Faktor vor dem x:
...und erhalten so die Lösung der Gleichung.
Die Einsetzung der gefundenen Lösung für x in die Ausgangsgleichung bestätigt die Richtigkeit der Herleitung (sog. Probe).
Beide Seiten haben den Wert 11.
Für x = 2 hat die Ausgangsgleichung also den Wahrheitswert wahr. Die einelementige Lösungsmenge enthält nur die Zahl 2:
Äquivalenzumformungen
Ich werde ab und zu gefragt, warum man einfach so radikal mit den beiden Seiten umgehen kann. Zur Erklärung greife ich gerne auf ein Modell aus der Schule zurück:
Man muss sich die Gleichung immer wie eine Waage vorstellen, auf der ich ein paar bekannte Gewichte und ein paar unbekannte Gewichte, die alle von der selben Art sind, habe. Diese Waage ist momentan im Gleichgewicht. Wenn ich auf beiden Seiten Gewichte jeweils der selben Art wegnehme, so wird die Waage trotzdem im Gleichgewicht bleiben. Halbiere, drittel, verdopple oder verrechne ich sie in andere Weise mit eine Zahl, so wird die Waage wiederum beide Seiten gleich werten.
Falsche Lösungswege
Beispiel 1:
Ein schwerer und doch häufig gemachter Fehler ist hier das Teilen durch x, denn ...
- erstens verschwindet dadurch die zu bestimmende Variable x und
- zweitens ist die Operation verboten, wenn x die Lösung Null besitzt!
Subtrahiert man dagegen die 3x beidseitig (Die Variable x soll allein links stehen!), ...
so erhält man die fast fertige Zeile:
Es ist nur noch auf beiden Seiten das Vorzeichen zu ändern (das entspricht einer beidseitigen Multiplikation mit -1). Man erhält so die gesuchte Lösung x = 0. Die Lösungsmenge lautet entsprechend:
Gleichungen ohne „eine“ Lösung
Wenn Sie bisher gut mitgekommen sind haben Sie schon mal gute Chancen, auch den nächsten Teil zu verstehen, denn jetzt wird es verzwickt.
Nicht jede Gleichung, die man zu lösen hat, ist lösbar. So kommt es vor, dass am Ende kein x, sondern nur noch Zahlen vorhanden sind und komische Behauptungen wie aufgestellt werden. Dabei liegt dies aber meistens nicht an der Gleichung, sondern daran, dass der Schüler etwas falsch gemacht hat. Die häufigsten Fehler sind, dass nicht sorgfältig genug geschrieben wurde und Zahlen falsch übertragen worden sind, der zweithäufigste Fehler ist das Teilen durch x.
Gleichungen ohne Lösung
ein Beispiel
Trotz korrekt angewandter Gegenoperation (es ist nur eine erforderlich) endet die Gleichungsumformung mit einem Widerspruch. Es gibt also keinen Wert für die Variable x, die die Ausgangsgleichung „erfüllen“ könnte. Die letzte Gleichung hat einen Wahrheitswert der für jede Einsetzung von x den Wert falsch hat. Die Lösungsmenge ist daher leer.
Betrachten wir dagegen das leicht abgeänderte Beispiel mit seinen Umformungen ...
Gleichung mit vielen Lösungen
ein Beispiel
oder
Jetzt erhält man eine stets wahre Aussage in der letzten Zeile. Für die Variable x kann jede beliebige Zahl eingesetzt werden (besser sichtbar in obiger Herleitung). Die Lösungsmenge umfasst also alle reellen Zahlen, d. h. sie entspricht der Menge der reellen Zahlen ( ). Deshalb schreibt man:
Warum „linear“?
Der Begriff „linear“ hängt damit zusammen, dass in der Gleichung keinerlei Potenzen vorkommen.
Zu jeder Gleichung lassen sich zwei Graphen zeichnen; einmal der Graph für die linke und einen Graphen für die rechte Seite. Dort wo sich beide Graphen schneiden liegt die Lösung. Diese beiden Graphen sind für eine Lineare Gleichung - wie könnte es jetzt noch anders sein - linear, sprich bestehen aus einer geraden Linie. Dabei kann man sich bildlich die drei verschiedenen Möglichkeiten: eine, keine und unendlich viele Lösungen vorstellen: Der erste Fall ist klar, zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt, welcher die Lösung darstellt. Im zweiten Fall liegen die beiden Geraden übereinander, es ergeben sich dann unendlich viele Lösungen. Und im dritten Fall laufen die beiden Geraden parallel, schneiden sich also in keinem Punkt. Fazit: keine Lösung.
(Kleine) Übungsaufgabe zum Auflockern
...und vielleicht auch ein wenig um die gerade erlernten Fähigkeiten zu testen:
Gegeben ist eine Gleichung, in deren Lösung ein Fehler eingebaut ist. Es ist herauszufinden, wo.
Ich bitte Sie, sich ein wenig mit dem Problem zu befassen und zu rätseln. Es bringt einen mehr in das Thema hinein.
Wenn Sie am völligen Verzweifeln sind oder wirklich meinen, die Lösung zu haben, können Sie sie hier nachgucken.
Gleichungssysteme
Lässt sich ein mathematisches Problem nicht mehr mit einer Gleichung mit nur mit einer Variablen beschreiben, so bedarf es mindestens einer weiteren Gleichung, um eine Lösung bestimmen zu können. Alle notwendigen Gleichungen sind als ein Paket zu betrachten. Wir sprechen in diesem Fall von einem Gleichungssystem. Eine Lösung des Systems - sofern sie existiert - muss dann alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Gleichungen mit zwei Unbekannten
Eine Gleichung mit zwei Variablen hat nur dann eine eindeutige Lösung, wenn auch eine zweite Gleichung vorliegt oder aufgestellt werden kann. Umgekehrt, muss ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit je zwei Variablen keine bzw. keine eindeutige Lösung besitzen.
Lösungsmethoden
Wir kennen vier verschiedene Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen in zwei Variablen, nämlich die Einsetzungs-, Gleichsetzungsmethode, Methode der gleichen Koeffizienten und die graphische Methode. Im Folgenden werden sie näher beschrieben.
Einsetzungsmethode (Substitutionsmethode)
ein Beispiel:
Jemand erzählt dir, dass er insgesamt 10 Äpfel und Birnen gekauft hat. Die Frage könnte lauten: „Wie viele hat er von jeder Sorte gekauft?“
Mit nur dieser Gleichung, in der a die Anzahl der Äpfel und b die Anzahl der Birnen darstellt, kann man die Frage nicht beantworten. Erst eine zweite Information in Form einer unabhängigen Gleichung kann weiterhelfen.
Diese Information könnte lauten: Dieser Jemand hat anderthalb mal so viele Äpfel wie Birnen gekauft.
Als zweite Gleichung ergibt sich daraus (weil die Anzahl der Äpfel größer ist):
Jetzt haben wir ein Gleichungssystem, deren Gleichungen wir mit römischen Ziffern kenntlich machen:
Für eine Lösung bietet es sich gerade zu an, den linken Term der Gleichung (II) - er entspricht a - in die Gleichung (I) für a einzusetzen:
Mit dem gefundenen Wert für b lässt sich nun auch a bestimmen. Dazu setzt man den Wert von b in die Gleichungen (I) ein:
Die Lösungsmenge schreibt man nun als geordnetes Zahlenpaar auf. Dabei wird durch das zusätzliche Variablenpaar (a;b) angegeben, dass die erste Zahl zu a und die zweite Zahl zu b gehört (Zahlenpaare haben eine Ordnung):
Gleichsetzungsmethode (Komparationsmethode)
Beispiel Die Summe zweier Zahlen ergibt Addiert man jedoch das Doppelte der einen Zahl mit der zweiten ergibt die Summe jedoch Berechne diese Zahlen!
Wir gehen wie folgt vor:
- Zuerst schreiben wir beide Gleichungen auf, also:
- Dann formen wir beide Gleichungen explizit zu x (oder y) um.
- Da sowohl die erste Gleichung x ergibt, als auch die zweite, kann man sie zu einer einzigen Gleichung zusammenführen:
- Um den Wert für x zu erhalten setzen wir wie gewohnt den Wert für y (in diesem Fall -1) in eine der beiden Gleichungen ein.
Die Lösungsmenge ist daher:
Methode der gleichen Koeffizienten (Additionsverfahren)
Beispiel
Man hat zwei Gleichungen (das vorherige Beispiel):
Nun wollen wir sie mittels der „Methode der gleichen Koeffizienten“ lösen. Wir gehen wie folgt vor:
- Eine der beiden Gleichungen wird so mit einer Zahl multipliziert (in diesem Fall wäre es besser die erste zu multiplizieren - Sie werden sehen warum), dass eine Variable (in diesem Fall x oder y) den selben Koeffizienten hat, wie in der anderen Gleichung, jedoch mit verschiedenem Vorzeichen (Also bei Plus Minus, und umgekehrt).
- Nun werden beide Gleichungen kurzerhand miteinander addiert:
Wir kommen wieder zur selben Lösung wie im vorigen Beispiel. Diese Methode ist besonders attraktiv, da sie weniger Zeitaufwand aufbringt.
Ein weiteres Beispiel:
Hier wird wieder Zeile I minus II gerechnet. Das Ergebnis:
So erhält man wieder einen Wert für b, den man in die andere Gleichung einsetzen kann, der Rest dürfte bekannt sein.
Das allgemein angewendete Verfahren für Gleichungen mit mehreren Unbekannten wird Stufen- oder Dreiecksverfahren genannt.
Dafür müssen die Gleichungen in der folgenden Form vorliegen:
Der Unterschied, zu den bisherigen Gleichungen fällt sofort ins Auge: Die Unbekannten halten sich ausnahmslos auf der linken und die Zahlen auf der rechten Seite auf. Außerdem sind die Unbekannten in allen Gleichungen gleich sortiert. Darauf muss man also achten, bevor man das Verfahren anwendet.
Bei dem Verfahren versucht man durch die drei erlaubte Umformungsschritte eine Stufenform in die Gleichungen zu bekommen, so dass in der untersten Gleichung eine Variable, in der zweituntersten zwei usw.
Die drei erlaubten Umformungsschritte sind:
- Vertauschen der Gleichungen
- Multiplizieren einer gesamten Gleichung mit einem Wert (dieser darf auch kleiner als Eins sein, nur nicht Null)
- und das Subtrahieren bzw. Addieren von zwei Gleichungen
Nachdem man nun die Stufenform in die Gleichungen gebracht hat, kann man die unterste Unbekannte leicht ablesen, da ansonsten ja keine andere Variable in der Gleichung steht. Diese bekannte Unbekannte kann man dann in die darüber liegenden Gleichungen einsetzen usw.
Graphische Lösung
Um das vorherige Beispiel graphisch zu lösen muss man beide Gleichungen explizit zu x oder y umformen.
Man kann diese Gleichungen nun als Funktion darstellen:
Stellt man diese Funktionen als Funktionsgraphen dar, so sind die X- und Y-Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Graphen der x- bzw. der y-Wert.
Die graphische Methode ist die ungeeignetste Methode zum Lösen von Gleichungssystemen, da man äußerst genau konstruieren muss und dennoch die Lösung nicht ganz genau ist.
Aufgaben
Zum Ausprobieren des gerad Erlernten gibt es hier ein paar Aufgaben. Wählen Sie die Methode, die Ihnen am besten gefällt, um die Aufgaben zu lösen!
| Aufgaben | |
|---|---|
| 1 | Eine alte chinesische Aufgabe: In einem Stall sind Kaninchen und Fasane mit zusammen 22 Köpfen und 68 Beinen. Wie viele Fasane und Kaninchen leben im Stall? |
| 2 | Ein Kaufmann sagt zu einem anderen: „Gib mir einen deiner Denaren und wir haben gleich viel Geld“. Darauf antwortet der andere: „Gib du mir einen deiner Denaren und ich habe zweifach mehr Geld als du!“ Wie viele Denare hat jeder Kaufmann? |
| 3 | Die Summe zweier Zahlen ergibt 99. Die eine Zahl ist das Doppelte der anderen. Wie heißen diese beiden Zahlen? |
| 4 | Lösen Sie folgendes Gleichungssystem: |
| Lust auf noch mehr mathematische Rätsel? |
Lösbarkeit von Gleichungen mit zwei Variablen
Eine Lösung
Unendlich viele Lösungen
Man braucht immer mindestens genau so viele Gleichungen, wie Unbekannte. Warum mindestens? Dazu wieder ein Beispiel, in dem man zwei Gleichungen und zwei Unbekannte hat, das aber nicht lösbar ist:
Beispiel
Und wir erhalten wieder eine Banalität wie oben. Die Lösungsmenge ist also:
Die Werte in der Lösungsmenge werden im Allgemeinen in der Reihenfolge für die Variablen angegeben, wie sie in der ersten Gleichung vorkommen. Damit hat a den Wert 5-1,5b.
Warum nicht ?, ist darauf die häufigste Frage. würde bedeuten, dass man alle beliebigen Zahlen einsetzen könnte. Das geht aber nicht, da nicht alle Zahlenpaare in und damit auch in die anderen Gleichungen hineinpassen würden.
Beispiel
Probe für a=2 und b=9:
Auf der linken Seite erhalten wir 4, auf der rechten -17. Daher ist es wichtig, immer eine Variable und die andere in Abhängigkeit davon anzugeben.
Keine Lösung
Wie bestimmt schon erwartet, gibt es natürlich auch Gleichungen dieser Art, die nicht lösbar sind. Das ist normalerweise dann der Fall, wenn zwei Gleichungen gegensätzliche Sachen behaupten, wie beispielsweise einmal b=5 und das zweite Mal b=2. Solche Gleichungen sind wieder ohne Lösung, sprich haben eine leere Lösungsmenge.
Beispiel
Gleichungen allgemein mit mehreren Unbekannten
Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten werden genauso behandelt, wie Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten. Dabei kann das Gleichungssystem nur gelöst werden, wenn es aus so vielen Gleichungen besteht, wie es verschiedene Unbekannte besitzt.
Beispiel
Damit wären wir am Ende unserer Umformungen. Aus der untersten Gleichung kann man - wenn man beide Seiten durch (-5) teilt - ablesen, dass . Setzt man das in IIa ein, kann man nach ein paar Umformungsschritten erkennen, dass . Wenn wir dann noch diese beiden Ergebnisse in I einsetzen, kommen wir auf die Lösung, dass .
Der Vollständigkeit halber hier nochmal die Lösungsmenge: (wieder die erste Variable als erstes angegeben)
Vorläufiges Schlusswort
Gleichungen zu lösen fällt vielen Schülern schwer. Zugegeben gehört das auch nicht zu den einfachsten Dingen in der Mathematik. Doch gerade in diesem Bereich geht Übung über alles. Es nützt relativ wenig, sich einzelne Gleichungen anzusehen und weiter nichts zu tun. Man sollte sich, nachdem man meint es verstanden zu haben, ein paar Gleichungen ähnlicher Art mit anderen Zahlen aufschreiben und versuchen, diese durchzurechnen. Wenn dabei irgendwelche Probleme auftreten, hilft meist der Mathelehrer gerne weiter (meistens... wenigstens einen Versuch ist es wert ;-) ).