Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.14 Wahrscheinlichkeitsverteilung

Erarbeitung

Aufgabe 1: In einer Urne sind 3 Kugeln: 1 blaue, 1 gelbe und 1 violett. Für 5€ nimmt jemand teil und darf drei Mal ohne Zurücklegen ziehen. Ist die erste gezogene Kugel gelb, bekommt man 20€ ausbezahlt; ist die zweite Kugel gelb10 €; ist erst die dritte Kugel gelb geht man leer aus. Siehe Aufgabe 1 in 8.13 Zufallsvariable.

Möglichkeiten	g	bg	vg	bvg	vbg
Ziehungen	1	2	2	3	3
Gewinn	20€ - 5€ = 15€	10€ - 5€ = 5€	10€ - 5€ = 5€	-5€	-5€
Wahrscheinlichkeiten

1. Bestimmen Sie die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Fälle. Ergänzen Sie die Tabelle um diese.
2. Erstellen Sie eine Tabelle mit der Anzahl an gezogenen Kugeln, dem Gewinn sowie der jeweiligen Wahrscheinlichkeit.

Lösung

Wir sehen: wir können jeder Anzahl an gezogenen Kugeln eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Dies ist eine eindeutige Zuordnung, sodass wir eine Funktion erzeugen können über: $X:{\text{Anzahl Ziehungen}}\mapsto {\text{Wahrscheinlichkeit der Anzahl an Ziehungen}}$

Aufgabe 2: Bestimme den Funktionswert von:

1. $P(X=1)=$
2. $P(X=3)=$

Lösung

Aufgabe 3: Beim Sommerfest der Schule kann man einen Stein werfen, der drei verschiedene Seiten hat: Seite (8%), Boden (36%) und Kopf (56%). Für 5€ dürfen Teilnehmende maximal vier Mal würfeln. Würfelt man beim ersten Mal bereits „Seite“, bekommt man 30€ ausbezahlt, erst beim zweiten Mal 20€, erst beim dritten Mal 10€ und erst beim vierten Mal dann 5€. Würfelt man kein einziges Mal „Seite“, geht man leer aus. Siehe Aufgabe 2 in 8.13 Zufallsvariable.

1. Erstellen Sie eine Tabelle mit der Anzahl an gezogenen Kugeln, dem Gewinn sowie der jeweiligen Wahrscheinlichkeit.

Lösung

Hefteintrag

Definition

Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X ordnet jedem Wert xi die jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X = xi) zu, dass xi eintritt: $x_{i}\mapsto P(X=x_{i})$

Die jeweilige Wahrscheinlichkeit kann bspw. über Kombinatorik oder Additions-/Multiplikationssatz bestimmt werden, nachdem alle Werte bestimmt wurden.

Beispiel: Zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 3 blauen und 4 gelben Kugeln. Anzahl gelber Kugeln wird gezählt.

xi	0	1	2
$P(X=x_{i})$	${\frac {6}{42}}$	${\frac {24}{42}}$	${\frac {12}{42}}$

Lösungen zur Erarbeitung

Lösungen zur Aufgabe 1

1.

Möglichkeiten	g	bg	vg	bvg	vbg
Ziehungen	1	2	2	3	3
Gewinn	20€ - 5€ = 15€	10€ - 5€ = 5€	10€ - 5€ = 5€	-5€	-5€
Wahrscheinlichkeiten	1/3	1/6	1/6	1/6	1/6

2.

Ziehungen	1	2	3
Gewinn	15€	5€	-5€
Wahrscheinlichkeit	1/3	2/6	2/6

Aufgabe 2

1. $P(X=1)={\frac {1}{3}}$
2. $P(X=3)={\frac {2}{6}}$