Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.12 Kombinatorik

Erarbeitung

Bei der Wikibooks-Marble-League geht es heiß her. Fünf Teams treten an beim gerühmten Wiki-Cup:

• Team Solid-Color: 6 Mitglieder
• Team Bunte Wirbel: 4 Mitglieder
• Team Green: 3 Mitglieder
• Team Dark: 5 Mitglieder
• Team Sprenkel: 3 Mitglieder

1. Beim Murmel-Weitrollen tritt von jedem Team genau ein Teammitglied an. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten für die Startaufstellung!

Lösung

• Vom Team Solid-Color können 6 verschiedene Mitglieder teilnehmen.
• Für jedes Mitglied aus Solid-Color gibt es 4 Möglichkeiten der Kombination mit dem Team Bunte Wirbel. Also $6\cdot 4=24$ Möglichkeiten.
• Für jede dieser Kombinationen gibt es wiederum 3 Möglichkeiten mit einem Teammitglied von Team Green kombiniert zu werden. Also $6\cdot 4\cdot 3=72$ Möglichkeiten.
• ...
• Insgesamt gibt es also $6\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdot 3=1080$ Möglichkeiten.

2. Team Sprenkel fällt aus, da ihr Flieger aufgrund eines Unwetters erst verspätet startet. Bestimmen Sie nun die Anzahl an Möglichkeiten für die Startaufstellung.

Lösung

Wir müssen lediglich eine Kombination, nämlich die mit Team Sprenkel aus unserer Formel oben nehmen. Übrig bleiben $6\cdot 4\cdot 3\cdot 5=360$ Möglichkeiten.

Wir merken uns:

Produktregel

Wählt man aus den Mengen M1 , M2 , M3 ,... mit jeweils n1 , n2 , n3,... Elementen ein Element aus, so gibt es $n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}\cdot \dots$ Möglichkeiten.

3. Die Reihenfolge des Starts beim Murmel-Weitrollen wird per Zufall entschieden. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten, in der die vier antretenden Murmeln nacheinander antreten können.

Lösung

• Für die erste Position gibt es vier verschiedene Möglichkeiten, da prinzipiell jedes Team auf diese Position kommen kann.
• Für die zweite Position gibt es dann aber nur noch drei Möglichkeiten, da eines der vier Teams ja schon auf Position 1 platziert ist und nicht zwei mal platziert werden kann.
• Für die dritte Position entsprechend zwei Möglichkeiten und für die vierte Position eine Möglichkeit.
• Insgesamt $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ Möglichkeiten.

4. Team Sprenkel schafft es doch noch rechtzeitig zum Murmel-Weitrollen. Bestimmen Sie nun die Anzahl an Möglichkeiten mit fünf antretenden Murmeln.

Lösung

• Für die erste Position gibt es fünf verschiedene Möglichkeiten, da prinzipiell jedes Team auf diese Position kommen kann.
• Für die zweite Position gibt es dann aber nur noch vier Möglichkeiten, da eines der vier Teams ja schon auf Position 1 platziert ist und nicht zwei mal platziert werden kann.
• Für die dritte Position entsprechend drei Möglichkeiten, für die vierte Position zwei Möglichkeit und für die fünfte Position eine Möglichkeit
• Insgesamt $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ Möglichkeiten.

Mit Reihenfolge ohne Zurücklegen

Für n verschiedene Objekte gibt es $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1$ Möglichkeiten. Wir schreiben dafür kurz $n!$. Gesprochen "n Fakultät".

Hinweis:

• $0!=1$
• $1!=1$

5. Vor dem Turnier wird ein Dopingtest durchgeführt. Es wird per Zufall entschieden, welche Murmel getestet wird und eine Murmel kann auch mehrmals getestet werden. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten, wenn sechs Murmeln nacheinander zum Dopingtest müssen.

Lösung

• Beim ersten Dopingtest können 21 Murmeln ausgesucht werden.
• Das gilt auch beim zweiten Mal. Also $21\cdot 21=441$ Möglichkeiten.
• Das geht immer so weiter, bis sechs Murmeln auf Doping getestet wurden. Es gibt also $21^{6}=85.766.121$ Möglichkeiten.

Ziehen MIT Zurücklegen MIT Reihenfolge:

Beim k-maligen Ziehen aus n möglichen Elementen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge, gibt es $n^{k}$ Möglichkeiten.

6. Beim Wettmurmeln bekommen nur die ersten zwei Plätze einen Preis. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Preise auf die fünf teilnehmenden Murmeln zu verteilen?

Lösung

• Für den ersten Platz gibt es 5 verschiedene Möglichkeiten.
• Für den zweiten Platz gibt es 4 verschiedene Möglichkeiten. Insgesamt also $5\cdot 4=20$ Möglichkeiten.
• Jetzt ist es aber so, dass die beiden Preise nicht unterschieden wurden. D.h. es ist egal, wer von den beiden preistragenden Murmeln auf Platz 1 und welcher auf Platz 2 sitzt. Wir müssen die Möglichkeiten also noch durch die Anzahl an Kombinationen dieser Möglichkeiten dividieren.
• Insgesamt: ${\frac {5\cdot 4}{2\cdot 1}}=10$
• Anders: ${\frac {5\cdot 4}{2\cdot 1}}={\frac {5\cdot 4\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}{(2\cdot 1)\cdot (3\cdot 2\cdot 1)}}={\frac {5!}{2!\cdot 3!}}={\binom {5}{2}}$

7. Jack Finster vom Team Dark hat verschlafen und taucht nicht beim Wettmurmeln auf. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt, die Preise auf die vier teilnehmenden Murmeln zu verteilen?

Lösung

• Für den ersten Platz gibt es 4 verschiedene Möglichkeiten.
• Für den zweiten Platz gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten. Insgesamt also $4\cdot 3=12$ Möglichkeiten.
• Jetzt ist es aber so, dass die beiden Preise nicht unterschieden wurden. D.h. es ist egal, wer von den beiden preistragenden Murmeln auf Platz 1 und welcher auf Platz 2 sitzt. Wir müssen die Möglichkeiten also noch durch die Anzahl an Kombinationen dieser Möglichkeiten dividieren.
• Insgesamt: ${\frac {4\cdot 3}{2\cdot 1}}=6$
• Anders: ${\frac {4\cdot 3}{2\cdot 1}}={\frac {4\cdot 3\cdot (2\cdot 1)}{(2\cdot 1)\cdot (2\cdot 1)}}={\frac {4!}{2!\cdot 2!}}={\binom {4}{2}}$

8. Beim Durchmurmeln nehmen alle 21 Murmeln teil. Die ersten drei kommen weiter ins Landesturnier. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten.

Lösung

• Für den ersten Platz gibt es 21 verschiedene Möglichkeiten.
• Für den zweiten Platz gibt es 20 verschiedene Möglichkeiten. Insgesamt also $21\cdot 20=420$ Möglichkeiten.
• Für den dritten Platz gibt es 19 verschiedene Möglichkeiten. Insgesamt also $21\cdot 20\cdot 19=7980$ Möglichkeiten.
• Jetzt ist es aber so, dass die Plätze ja alle weiter kommen, also nicht unterschieden werden. D.h. es ist egal, wer von den drei besten Murmeln auf Platz 1 und welcher auf Platz 2 bzw. 3 kommt. Wir müssen die Möglichkeiten also noch durch die Anzahl an Kombinationen dieser Möglichkeiten dividieren.
• Insgesamt: ${\frac {21\cdot 20\cdot 19}{3\cdot 2\cdot 1}}=1330$
• Anders: ${\frac {21\cdot 20\cdot 19}{3\cdot 2\cdot 1}}={\frac {21\cdot 20\cdot 19\cdot (18\cdot \dots \cdot 1)}{(3\cdot 2\cdot 1)\cdot (18\cdot \dots \cdot 1)}}={\frac {21!}{3!\cdot (21-3)!}}={\binom {21}{3}}$

Ziehen OHNE Zurücklegen OHNE Reihenfolge:

Beim k-maligen Ziehen aus n möglichen Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge, gibt es ${\frac {n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\binom {n}{k}}$ Möglichkeiten. Man sagt dazu "n über k" oder "n aus k". ${\binom {n}{k}}$ heißt der Binomialkoeffizient von n über k.

Zusammenfassung

Produktregel

Wählt man aus den Mengen M1 , M2 , M3 ,... mit jeweils n1 , n2 , n3,... Elementen ein Element aus, so gibt es $n_{1}\cdot n_{2}\cdot n_{3}\cdot \dots$ Möglichkeiten.

Mit Reihenfolge ohne Zurücklegen, falls alle Objekte zu verteilen sind

Für n verschiedene Objekte gibt es $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot 3\cdot 2\cdot 1$ Möglichkeiten. Wir schreiben dafür kurz $n!$. Gesprochen "n Fakultät".

Hinweis:

• $0!=1$
• $1!=1$

MIT Reihenfolge OHNE Zurücklegen

Beim Ziehen von k Elementen aus n möglichen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen gibt es ${\frac {n!}{(n-k)!}}$ Möglichkeiten.

Ziehen MIT Zurücklegen MIT Reihenfolge:

Beim k-maligen Ziehen aus n möglichen Elementen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge, gibt es $n^{k}$ Möglichkeiten.

Ziehen OHNE Zurücklegen OHNE Reihenfolge:

Beim k-maligen Ziehen aus n möglichen Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge, gibt es ${\frac {n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\binom {n}{k}}$ Möglichkeiten. Man sagt dazu "n über k" oder "n aus k". ${\binom {n}{k}}$ heißt der Binomialkoeffizient von n über k.

Übung

1. Entscheiden Sie, ob mit oder ohne Zurücklegen und mit oder ohne Reihenfolge.

	Zurücklegen	Reihenfolge
Lotto-Ziehung
Bingo
Kontroll-Stichprobe bei der Produktion von Murmeln
Entnahme von Murmeln aus der Produktion und Anschauen
Festlegung der PIN am Mobiltelefon

2. Berechnen Sie:

• $9\cdot 8\cdot 7\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$
• $5!$
• ${\frac {11!}{2!}}$
• $10!$
• ${\frac {11!}{5!\cdot 6!}}$
• $8!$

3. Berechnen Sie die Möglichkeiten bei der Festlegung eines PINs mit

• 4 Ziffern
• 6 Ziffern
• 6 Buchstaben (ohne Umlaute)
• 4 Ziffern oder Buchstaben (ohne Umlaute)

4. Beim Lotto werden 6 aus 49 Kugeln gezogen, die mit 1 bis 49 beschriftet sind. Bestimmen Sie die Anzahl an Möglichkeiten. Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie mit Ihrem Tipp richtig liegen?

5. Bei der Produktion von Murmeln haben etwa 5% einen Fehler. Berechnen Sie Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Stichprobe von 9 Murmeln genau 2 defekt sind.

6. Am Ende des Schuljahres werden an die drei besten Preise im Wert von 25 €, 10 € und 5 € verteilt. Bestimmen Sie die Möglichkeiten bei 29 Schüler:innen.

Lösungen

1. Zuordnung

• Lotto-Ziehung - Nein - Nein
• Bingo - Nein - Ja
• Kontroll-Stichprobe bei der Produktion von Murmeln - Nein - Nein
• Entnahme von Murmeln aus der Produktion und Anschauen - Ja - Ja
• Festlegung der PIN am Mobiltelefon - Ja - Ja

2. Berechnungen:

• $9\cdot 8\cdot 7\cdot \dots \cdot 2\cdot 1=9!=362.880$
• $5!=120$
• ${\frac {11!}{2!}}=19.958.400$
• $10!=3.628.800$
• ${\frac {11!}{5!\cdot 6!}}=42$
• $8!=40.320$

3. Berechnen Sie die Möglichkeiten bei der Festlegung eines PINs mit

• 4 Ziffern => $10^{4}=10.000$
• 6 Ziffern => $10^{6}=1.000.000$
• 6 Buchstaben (ohne Umlaute) => $26^{6}=308.915.776$
• 4 Ziffern oder Buchstaben (ohne Umlaute) => $(26+10)^{4}=1.679.616$

4. $29\cdot 28\cdot 27=21.924$

5. ${\binom {49}{6}}=13.983.816$ => $P={\frac {1}{\binom {49}{6}}}=0,00000715\%$

6. Wahrscheinlichkeit für „ersten zwei defekt“ unter 9: $0,05^{2}\cdot 0,95^{7}=0,001745843$ Möglichkeiten der Kombinationen: ${\binom {9}{2}}=36$ Zusammen: ${\binom {9}{2}}\cdot 0,05^{2}\cdot 0,95^{7}\approx 0,063=6,3\%$