Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Die Bernoulli-Zahlen

Die Bernoulli-Zahlen sind eine Folge $(B_{n})_{n\geq 0}$. In der Literatur finden sich verschiedene Definitionen für $B_{1}$, aber sonst sind sich die Definitionen alle einig. Wir wollen die folgende Definition verwenden, weil die Rechnungen damit besonders einfach werden:

Definition (Bernoulli-Zahlen):

Die Bernoulli-Zahlen $B_{0},B_{1},B_{2},\ldots$ sind definiert durch die Gleichung

${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}z^{k}$

für $z$ in einer hinreichend kleinen Nullumgebung.

Satz (Die Rekursionsformel der Bernoulli-Zahlen):

Die Bernoulli-Zahlen erfüllen die Rekursionsformel

$\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}B_{k}={\begin{cases}1&n=1\\0&n>1\end{cases}}$

für $n\geq 1$.

Beweis: Diese Formel ergibt sich durch Anwendung der Produktformel für faktorielle Potenzsummen auf die mit $e^{z}-1$ multiplizierte Definitionsgleichung der Bernoulli-Zahlen. $\Box$

Satz (Partialbruchzerlegung der faktoriellen erzeugenden Abhängigen der Bernoulli-Zahlen):

Es gilt

${\frac {z}{e^{z}-1}}=1-{\frac {1}{2}}z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z^{2}}{z^{2}-(2\pi n)^{2}}}$.

Beweis: Zunächst entwickeln wir ${\frac {1}{e^{z}-1}}$, denn diese Abhängige ist periodisch. Wenn wir das geschafft haben, müssen wir nur noch mit $z$ multiplizieren.

Also: Definiere erstmal rein formal

$g(z):={\frac {1}{e^{z}-1}}$ und $h(z):={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z-2\pi in}}+{\frac {1}{z+2\pi in}}\right)$.

Wir beweisen nun, dass $h$ tatsächlich (außer in den Polen $2\pi in,n\in \mathbb {Z}$) konvergiert. Hierzu fassen wir die Summanden zusammen als

${\frac {1}{z-2\pi in}}+{\frac {1}{z+2\pi in}}={\frac {2z}{z^{2}-(2\pi n)^{2}}}$

und wenden auf die resultierende Summe (bis auf endlich viele Terme) das Majorantenkriterium bzgl. der Summe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ an. Dies ergibt (in uniformer Entfernung zu den Polen) eine lokal uniforme Konvergenz, und somit ist $h$ meromorph in $\mathbb {C}$. Außerdem ist $h$ periodisch mit der Periode $2\pi i$, wie man leicht aus der Reihendefinition ersieht.

Betrachte nun die Abhängige $g(z)-h(z)$. Diese ist wegen der Abwesenheit der Pole und der Periodizität beschränkt, also daher konstant. Die Konstante berechnet sich, indem man $z\to 0$ lässt, merkt, dass für $h$ alle bis auf den $1/z$-Term irrelevant werden, und auf den gleichen Nenner bringt, zu

$g(z)-h(z)=-{\frac {1}{2}}$.

Dies ist schon äquivalent zur gewünschten Formel. $\Box$

Satz (Zeta-Formel für die Bernoulli-Zahlen):

Es gilt

$B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2\zeta (2n)(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}$

und $B_{2n+1}=0$, mit der Ausnahme $B_{1}=-{\frac {1}{2}}$.

Beweis: Zuerst entwickeln wir einen einzelnen Term der obigen Partialbruchzerlegung in eine geometrische Reihe:

${\begin{aligned}{\frac {2z^{2}}{z^{2}-(2\pi n)^{2}}}&={\frac {2z^{2}}{(2\pi n)^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\left({\frac {z}{2\pi n}}\right)^{2k}\\&=2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\left({\frac {z}{2\pi n}}\right)^{2k}\end{aligned}}$

Nun betrachten wir die Summe über alle $n\geq 1$ (alles andere in der Partialbruchzerlegung trägt ja nur zu den ersten beiden Koeffizienten bei), und vertauschen dann die Summationen. Das Resultat ist

$2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\left({\frac {z}{2\pi }}\right)^{2k}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2k}}}=2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (2k)\left({\frac {z}{2\pi }}\right)^{2k}$,

und daran kann man die zu beweisenden Formeln ablesen.

Dass $B_{2n+1}=0$ für $n\geq 1$ erkennt man auch daran, dass der "Hauptteil" (also der Teil mit Brüchen) der Partialbruchzerlegung eine gerade Abhängige ist. $\Box$

Definition (Bernoulli-Polynom):

Das $n$-te Bernoulli-Polynom $B_{n}(x)$ ist definiert durch die Gleichung

$B_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{n-k}z^{k}$.

Offenbar gilt $B_{n}(0)=B_{n}$, die Formel $B_{n}(1)=B_{n}$ für $n\geq 2$ folgt dagegen aus der oben gezeigten Rekursionsformel der Bernoulli-Zahlen.

Satz (Steigung der Bernoulli-Polynome):

Es gilt $B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x)$.

Beweis: Es sei $Q_{n}$ der Linearitätsraum aller Polynome in den beiden Variablen $x$ und $y$ des Gesamtgrades $\leq n$, und es sei $P_{n}$ der Linearitätsraum aller Polynome nur in $x$ des Grades $\leq n$. Wir definieren eine lineare Abhängige

$L:Q_{n}\to P_{n}$

durch

$L(y^{k}x^{l}):=B_{k}x^{l}$.

Da die Steigung einer linearen Abhängigen durch diese selbst gegeben ist, gilt nach der Kettenregel

${\begin{aligned}B_{n}'(x)&={\frac {d}{dx}}L\left((y+x)^{n}\right)\\&=L\left(n(y+x)^{n-1}\right)\\&=nB_{n-1}(x).\end{aligned}}$ $\Box$

Die nächste Formel, die wir beweisen werden, ist motiviert durch die Idee der Annäherung eines Integrals durch eine Summe. Und zwar soll das Integral

$\int _{n}^{m}f(x)dx$

durch eine Summe approximiert werden, wobei wir uns die Einschränkung auferlegen, dass die Werte von $f$ nur in den ganzzahligen Stellen $n,n+1,n+2,\ldots ,m$ verwendet werden dürfen. Falls $m=n+1$, so ist eine naheliegende Approximation der Durchschnitt

${\frac {f(n)+f(n+1)}{2}}$.

Für ein allgemeines $m$ kann man diese Approximation in allen Intervallen $[k,k+1]$ nehmen und dann summieren. Man erhält so die Annäherung

$S:={\frac {f(n)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)+{\frac {f(m)}{2}}$.

Die Güte dieser Approximation ist der Gegenstand der folgenden Formel.

Satz (Euler–Maclaurin-Formel):

Für Abhängige mit $n$ limestreuen Steigungen gilt die Formel

$I=S+\sum _{k=2}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(m)-f^{(k-1)}(n)\right)+(-1)^{n}\int _{n}^{m}{\frac {f^{(n)}(x)}{n!}}B_{n}(\{x\})dx$.

Beweis: Aufgrund der entstehenden Teleskopsumme reicht es, den Fall $m=n+1$ zu betrachten. Für $n=1$ gilt nach partieller Integration

$\int _{n}^{m}f(x)\cdot 1dx=\left[\left(x-n-{\frac {1}{2}}\right)f(x)\right]_{n}^{m}-\int _{n}^{m}f'(x)B_{1}(\{x\})dx$,

und der Induktionsschritt wird impliziert von der (ähnlichen) Rechnung

$\int _{n}^{m}{\frac {f^{(n)}(x)}{n!}}B_{n}(\{x\})dx=\left[{\frac {1}{(n+1)!}}B_{n+1}(\{x\})f^{(n)}(x)\right]_{n}^{m}-\int _{n}^{m}{\frac {1}{(n+1)!}}B_{n+1}(\{x\})f^{(n+1)}(x)dx$. $\Box$

Eine direkte Anwendung dieser Formel auf das Monom $x\mapsto x^{d}$ ergibt die folgende Formel:

Satz (Faulhaber-Formel):

Es gilt

$\sum _{k=1}^{n}k^{d}={\frac {1}{d+1}}\sum _{j=0}^{d}(-1)^{j}{\binom {d+1}{j}}B_{j}n^{d-j+1}$.

Für das computarisierte Ausrechnen der sog. Faulhaber-Polynome (dieser Begriff bezeichnet nämlich die rechte Seite der obigen Gleichung) hohen Grades ist die folgende Formel nützlich:

Satz (Formel von Wildberger):

Bezeichnet $S_{d}(n)$ das Faulhaber-Polynom für den Grad $d$ (welches aber selbst den Grad $d+1$ hat), so gilt

$S_{d}(n)=dI(S_{d-1})(n)+(1-dI(S_{d-1})(1))n$,

wobei $I$ das formale Integral ohne konstanten Term bezeichne.

Beweis: Es bezeichne $D$ die formale Steigung. Dann gilt nach der Formel von Faulhaber und der Definition des Binomialkoeffizienten

$D(S_{d})(n)=\sum _{j=0}^{d}(-1)^{j}{\binom {d}{j}}B_{j}n^{d-j}=dS_{d-1}(n)+(-1)^{d}B_{d}$.

Anwenden von $I$ liefert

$S_{d}(n)=dI(S_{d-1})(n)+(-1)^{d}B_{d}n$,

und in diese Formel kann man auch $n=1$ einsetzen, und damit wird man den "$(-1)^{d}B_{d}n$"-Term los. $\Box$