Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Potenzsummen

Satz (Produktformel für faktorielle Potenzsummen):

Es seien

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}z^{k}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {b_{k}}{k!}}z^{k}$

zwei faktorielle Potenzsummen. Dann gilt

$\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}z^{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {b_{k}}{k!}}z^{k}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}z^{n}$ mit $c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}b_{k}$.

Beweis: Diese Formel folgt relativ leicht aus der Produktformel für Potenzsummen; man muss nur noch mit $n!$ multiplizieren. $\Box$