Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K2: Einführung

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K2: Einführung

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

2. Symmetrische Wahrscheinlichkeitsräume

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2.1 Einführung

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Im vorigen Kapitel haben wir schon von symmetrischen Experimenten gesprochen, d.h. von Experimenten, in denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Zum Beispiel nannten wir Würfe einer fairen Münze oder eines fairen Würfels. Symmetrie bei Zufallsexperimenten tritt häufiger auf, insbesondere in den wichtigen Fällen, wo zufällig Kugeln aus einer Urne gezogen werden. Selbstverständlich kann es im Symmetriefall nur endlich viele Ergebnisse geben.

Definition 2.1.1

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Wir nennen einen Wahrscheinlichkeitsraum   symmetrisch, wenn   endlich ist und jedes Ergebnis   die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.


Weil wir in diesem Kapitel vielfach über die Anzahl der Ergebnisse in einem Ereignis sprechen werden, führen wir dafür eine spezielle Notation ein.

Definition 2.1.2

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Die Anzahl der Elemente einer Menge   bezeichnen wir mit  .


Weil die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse in einem Ergebnisraum gleich 1 ist, hat jedes Ergebnis   in einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum die Wahrscheinlichkeit  .

Satz 2.1.1

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In einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum   ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion   bestimmt durch:

 ,

für alle  .


Die Wahrscheinlichkeit   eines Ereignisses   ist in einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum gerade die Laplace-Wahrscheinlichkeit.   ist gerade die Anzahl der Ergebnisse, die zu   gehören (günstig sind für  ), dividiert durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse.

Satz 2.1.2 (Laplace-Wahrscheinlichkeit)

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In einem symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraum   ist die Wahrscheinlichkeit   bestimmt durch:

 

Beweis:

 


Wir betrachten nun einige Beispiele symmetrischer Wahrscheinlichkeitsräume.

Beispiel 1 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

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Der Ergebnisraum   besteht aus den 36 Paaren  , mit  . Weil der Würfel fair ist und wir zufällig werfen, haben alle 36 Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit. Dieses Experiment beschreiben wir also mittels eines symmetrischen Wahrscheinlichkeitsraums. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion   hat für alle 36 Ergebnisse den selben Wert und zwar:  . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses  , die Gesamtanzahl der Augen sei 4?  , denn 3 der 36 Ergebnisse sind günstig für  .

Beispiel 2 (Schule (Fortsetzung))

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Aus den 1000 Schülern der Schule im Beispiel 8 des Absatzes 1.1 wird beliebig ein Schüler gewählt. Weil wir zufällig wählen, gibt es für jeden Schüler die gleiche Wahrscheinlichkeit, also 1/1000, gewählt zu werden. Der Wahrscheinlichkeitsraum ist symmetrisch. Die Wahrscheinlichkeit P(M), dass ein Mädchen gewählt wird, ist also P(M) = 600/1000 = 0,6.

Beispiel 3 (Spielkarten)

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Wir ziehen eine beliebige Karte aus einem kompletten Kartenspiel von 52 Karten. Es gibt wieder Symmetrie. Wir berechnen z.B.:

P("Karo") = Anzahl Karokarten / Gesamtanzahl Karten = 13/52 = 1/4,
P("As") = 4/52 = 1/13

und

P("Karo" oder "As") = 16/52 = 4/13.

Die letzte Wahrscheinlichkeit können wir auch berechnen mit der allgemeinen Summeregel. Dann ist:

P("Karo" oder "As")= P("Karo") + P("As") - P("As von Karo") = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52.


Bevor wir entscheiden, ob ein Experiment symmetrisch ist, müssen wir gründlich prüfen, ob das Experiment so eingerichtet ist, dass tatsächlich alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Das nächste historische Beispiel zeigt, wie hierbei leicht Fehler entstehen.

Beispiel 4

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Wir werfen gleichzeitig zwei Münzen. Die Ergebnisse können wir darstellen als 2×Kopf, 1×Kopf und 0×Kopf. D'Alembert (1717-1783) unterstellte fälschlich, der zugehörige Wahrscheinlichkeitsraum sei symmetrisch.