Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K0:

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K0:

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

0. Einführung

0.1 Allgemeine Bemerkungen

In der Natur, der Technik und dem täglichen Leben begegnen wir vielen Phänomenen, die wir nicht genau vorhersagen können, die aber trotzdem bestimmten Gesetzmäßigkeiten unterliegen. Man denke an die Menge des Regens an einem Tag, an das Geschlecht eines Babys oder an das Versagen eines Autos. Obwohl man all diese Ereignisse nicht genau voraussagen kann, weiß man, dass es in England häufiger regnet als in Äthiopien, dass fast die Hälfte aller neugeborenen Babys Mädchen sind oder dass ein alter Wagen häufiger Pannen hat als ein Neuer.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine mathematische Theorie, die derartige Gesetzmäßigkeiten beschreibt und studiert. Die Theorie basiert auf einigen Voraussetzungen, von denen wir annehmen, dass sie die Wirklichkeit gut widerspiegeln beziehungsweise abbilden. Die Wahrheit dieser Annahmen wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung aber nicht geprüft. Eine streng mathematische Behandlung benötigt die Maßtheorie. In diesem Buch liegt das Hauptaugenmerk auf einer intuitiven Annäherung.

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung findet in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik Anwendung. Dazu gehören unter Anderem: die Statistik, die Statistische Mechanik, die Logistik, die Ablaufplanung (Operations-Research), die Versicherungsmathematik, die Ökonometrie, die Kommunikationstheorie, die Biologie und die Psychologie.

0.2 Geschichte

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung findet ihren Ursprung im siebzehnten Jahrhundert anlässlich einiger Probleme beim Würfelspiel. Fragen des würfelnden Chevaliers DeMéré (1610-1685) führten 1654 zu einer Korrespondenz zwischen Pascal (1623-1662) und Fermat (1601-1665). Eine der Fragen lautete ungefähr: "Was ist wahrscheinlicher: mit einem Würfel bei vier Würfen wenigstens einmal Sechs zu bekommen oder mit zwei Würfeln bei 24 Würfen wenigstens zweimal Sechs zu bekommen?". Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sind etwa 0,5177 und 0,4914. DeMéré hat durch Erfahrung (und zu seinem Erstaunen) entdeckt, dass die erste Wahrscheinlichkeit größer ist als 0,5 und die zweite kleiner. Es zeigt jedenfalls seine Passion für das Würfelspiel.

Der frivole Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist noch immer nachweisbar in den modernen Lehrbüchern und tritt deutlich hervor in der frühesten Literatur. Das erste Buch über Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde im Jahr 1657 geschrieben durch Christiaan Huijgens (1629-1695): "De ratiociniis in ludo aleae" (Über Berechnungen beim Würfelspiel). Andere Bücher aus der Frühzeit sind: "Essai d'Analyse sur les Jeux de Hasard" aus dem Jahr 1708 von DeMontmort (1678-1719), "Ars conjectandi" (Die Kunst des Erratens) aus dem Jahr 1713 von Jacob Bernoulli (1654-1705) und "The Doctrine of Chances" aus dem Jahr 1718 von DeMoivre (1667-1754). Namen anderer, die einen bedeutenden Beitrag zur Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung lieferten, sind Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855) und Poisson (1781-1840). Die erste Definition des Begriffes Wahrscheinlichkeit gab Laplace in seinem Buch "Théorie analytique des probabilités" (1812). Von den sehr vielen Mathematikern, die die Wahrscheinlichkeit weiter entwickelt haben, nennen wir noch: Chebyshev (1821-1894), Markov (1856-1922), Borel (1871-1956), Lévy (1886-1972), Khintchine (1895-1959), Bernstein (1878-1956), Fréchet (1878-1973), Kolmogorov (1903-1987) und Feller (1906-1970).

0.3 Literatur

Ein noch immer aktuelles Standardwerk ist:

1. W. Feller, "An Introduction to Probability Theory and Its Applications", Vol. I, Third Edition, Wiley, New York, 1968.