Mathematikunterricht/ Sek/ Vektorrechnung/ Windschiefe Geraden

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Darstellung zweier windschiefer Geraden

Zwei Geraden nennt man windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Dies ist erst im dreidimensionalen Raum möglich.

Zum Nachweis, dass zwei Geraden g und h windschief sind, genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von g, ein Richtungsvektor von h und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf g zu einem Punkt auf h linear unabhängig sind. Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.

Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden

Abstand d zweier windschiefer Geraden

Die eindeutig bestimmte Strecke kleinster Länge, die zwei windschiefe Geraden verbindet, nennt man Gemeinlot. Sie ist auch die einzige Strecke, die senkrecht auf beiden Geraden steht. Die Länge dieser Strecke ist der Abstand d der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden g und h mit den Stützpunkten A und B bzw. den Stützvektoren ${\vec {a}}={\overrightarrow {OA}},\;{\vec {b}}={\overrightarrow {OB}}$ und den Richtungsvektoren ${\vec {v}}$ und ${\vec {w}}$. Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

$g:{\vec {x}}={\vec {a}}+r{\vec {v}}$

$h:{\vec {x}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}\ \ \,r,s\in \mathbb {R}$

wobei ${\vec {a}},\,{\vec {b}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}$ gilt und die drei Vektoren ${\vec {a}}-{\vec {b}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}$  linear unabhängig sein müssen.

Der Normalenvektor ${\vec {n}}$, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren ${\vec {v}}$ und ${\vec {w}}$ steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen

${\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}$    und auf die Länge 1 bringen:    ${\vec {n}}_{0}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {w}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}$.

1. Methode: Hilfsebene

Zur Berechnung des Abstandes kann man durch die Gerade h eine Hilfsebene E legen, die zur anderen Gerade g parallel ist. ${\vec {n}}_{0}$ ist somit der Normaleneinheitsvektor der Ebene und B liegt auf der Ebene. Damit bestimmt man E in der Hesseschen Normalform. Der Abstand der beiden Geraden ist identisch mit dem eines beliebigen Punktes der Gerade g (z.B. A) zur Hilfsebene.

$d(g,h)=d(g,E)=d(A,E)=|({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot {\vec {n}}_{0}|$

2. Methode: Orthogonale Projektion

Die Berechnung des Abstandes ist auch möglich durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor. Dazu wird ebenfalls der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt dann

$d(g,h)=|({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot {\vec {n}}_{0}|.$

Bestimmung der Lotfußpunkte

Zeichnung zur Bestimmung der Lotfußpunkte

1. Methode: Hilfsebene

Den Lotfußpunkt F_h erhält man, indem man eine Hilfsebene E aufstellt. Der Punkt A liegt auf der Hilfsebene, ${\vec {v}}$ und ${\vec {n}}$ spannen die Hilfsebene auf.

$E:{\vec {x}}={\vec {a}}+r{\vec {v}}+t{\vec {n}}\ \ ,r,t\in \mathbb {R}$   , wobei der Normalenvektor bestimmt wird durch ${\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}$.

Der Schnittpunkt von E und h ergibt den Lotfußpunkt F_h.

Analog erhält man F_g mit der Ebene $E':{\vec {x}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}+t{\vec {n}}\ \ \,s,t\in \mathbb {R}$  und ihrem Schnittpunkt mit g.

Bei dieser Methode muss der Abstand d nicht berechnet werden.

2. Methode: Aufstellen eines LGS

Die Idee hinter dieser Methode ist, dass der gesuchte Verbindungsvektor von g zu h senkrecht auf den Richtungsvektoren ${\vec {v}}$ und ${\vec {w}}$ steht. Der Vektor in Klammern ist ein beliebiger Vektor, der auf g startet und auf h endet.

$({\vec {b}}+s{\vec {w}}-{\vec {a}}-r{\vec {v}})\cdot {\vec {v}}=0$

$({\vec {b}}+s{\vec {w}}-{\vec {a}}-r{\vec {v}})\cdot {\vec {w}}=0$

Dies ergibt ein Lineares Gleichungssystem (LGS) mit den zwei Variablen r und s. Das Einsetzen von r in g ergibt den Ortsvektor von F_g, s in h liefert F_h.

Bei dieser Methode werden beide Punkte „in einem Schritt“ bestimmt und auch hier muss der Abstand d nicht berechnet werden.

3. Methode: Verschieben einer Gerade

Bei dieser Methode verschiebt man die Gerade g um die Länge d (Abstand von g und h) entlang ${\vec {n}}$. Diese verschobene Gerade hat die Gleichung

$g':{\vec {x}}=d\cdot {\vec {n}}_{0}+{\vec {a}}+r{\vec {v}}\ \ ,r\in \mathbb {R} ,$  wobei ${\vec {n}}_{0}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {w}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}$

Der Schnittpunkt von g' und h ist der Lotfußpunkt F_h.

Analog erhält man F_g, indem man h in Richtung g verschiebt.

Bei dieser Methode muss man darauf achten, dass die Richtung des Vektors ${\vec {n}}$ auch von h „weg“ zeigen kann.