Mathematikunterricht/ Sek/ Vektorrechnung

Was ist ein Vektor?

Damit Sie verstehen, was ein Vektor ist, müssen Sie das Koordinatensystem kennen. Darum habe ich hier kurz eine kleine Einführung ins Koordinatensystem geschrieben.

Das Koordinatensystem

Mit Hilfe eines Koordinatensystems lassen sich Punkte in einem Raum eindeutig angeben. Wir beschränken uns in diesem Kapitel auf ein zwei-Dimensionales Koordinatensystem. Das System bezeichnet also eine Ebene auf. In dieser Ebene gibt es zwei Achsen: 1. die Länge und 2. die Höhe. Die Länge ist die horizontale Achse und die Höhe ist die vertikale Achse. Die beiden Achsen stellen ein Kreuz dar, das sich im Punkt P=(0/0) schneidet. Die Achsen werden einer Grösse / Einheit zugeordnet. Zum Beispiel ist ein Häuschen auf dem Blatt die Einheit für die Achsen. Ein leeres Koordinatensystem mit der Einheit "ein Häuschen":

In dieses Koordinatensystem können nun Punkte gezeichnet werden:

Hier wurden die Punkte P, Q und R gezeichnet. Punkte in einem Koordinatensystem werden wie folgt definiert: P(x/y) x ist der x-Wert (Abstand zur y-Achse), y der y-Wert (Abstand zur x-Achse). In unserem Bild sind die Punkte P=(7/6), Q=(-4/1) und R=(5/-3) eingezeichnet.

Ein Vektor im Koordinatensystem

Zum Anfang merken wir uns, dass der Vektor ein Pfeil in der Ebene ist. Der Pfeil hat eine Richtung und eine Länge. Da nur diese zwei Werte gegeben sind, ist der Pfeil in der Ebene beliebig verschiebbar. Ein Vektor wird ähnlich wie ein Punkt im Koordinatensystem beschrieben. Nur hat der Vektorname, in der Regel ein kleiner Buchstabe, einen Pfeil über dem Buchstaben und die Koordinaten werden anders angegeben und als Komponenten bezeichnet. Sie bedeuten auch nicht das Selbe wie bei den Punkten. Die Komponenten, eine x- und y-Komponente bezeichnen die Ausdehnung des Vektors in x- beziehungsweise in y-Richtung. Sie werden übereinander aufgeschrieben, wie ein Bruch, aber ohne Bruchstrich. Die x-Komponente ist oben, die y-Komponente ist unten. Im folgenden Beispiel sind die drei Vektoren alle die Selben. Sie wurden nur verschoben, aber ihre Richtung und ihre Länge ist die gleiche geblieben.

Datei:Vektor1.gif

Aufgeschrieben werden die Vektoren wie folgt: ${\vec {r}}={x \choose y}={4 \choose 6}$ Durch diese Notation ist die Richtung sowie die Länge gegeben. Sie können es selber ausprobieren: Sobald Sie eine Komponente ändern, ändert sich die Richtung des Vektors, wie auch die Länge des Vektors.

Addition von Vektoren

Vektoren lassen sich ganz einfach zusammenzählen: Die x-Komponenten werden addiert und die y-Komponenten werden addiert. Grafische Vektoraddition ist das Aneinanderreihen von den Vektoren, die zusammengezählt werden sollen. Hier wird jeweils der Anfang des nächsten Vektors an das Ende des letzten Vektors angefügt:

Hier werden also die vier Vektoren ${\vec {a}}={2 \choose 5},{\vec {b}}={6 \choose 3},{\vec {c}}={1 \choose 6}$ und ${\vec {d}}={3 \choose 3}$ grafisch zusammengezählt. Den Vektor, den man nach der Addition erhält, habe ich hier aus Gründen der Übersicht weggelassen. Er würde vom Anfang vom ${\vec {a}}$ bis zum Ende des ${\vec {d}}$ gehen. Mathematisch ist die Addition wie folgt:
${\begin{matrix}{\vec {r}}&=&{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}+{\vec {d}}\\\ &=&{2 \choose 5}+{6 \choose 3}+{1 \choose 6}+{3 \choose 3}\\\ &=&{2+6+1+3 \choose 5+3+6+3}\\\ &=&{12 \choose 17}\end{matrix}}$
Durch Vergleich an der Zeichnung sieht man, dass ${12 \choose 17}={x \choose y}$

In der folgenden Grafik sehen Sie noch andere Beispiele der Vektorenaddition. Sie sehen, dass es nicht auf die Richtung der Pfeile ankommt. Einfach den Anfang des einen Pfeils an das Ende des vorhergehenden Pfeils setzen.

Subtraktion von Vektoren

Die Subtraktion ist sehr ähnlich zur Addition von Vektoren. Das Prinzip ist genau gleich, nur werden die Komponenten subtrahiert (abgezählt) statt addiert. Geometrisch heisst das, dass der abzuzählende Pfeil gerade umgekehrt wird. Der Anfang wird zum Ende und das Ende wird zum Anfang, so wie es bei B gezeichnet ist. In der Grafik wird ${\vec {a}}-{\vec {b}}$ gerechnet. Das Ergebnis der Subtraktion sehen Sie in Punkt C dargestellt.

Eine kleine praktische Anekdote zu Vektoren

(von Dr. Gert Blazejewski)

Ich hatte mal einen Mathematiklehrer, der uns Vektoren auch praktisch erklären konnte. Er bat uns, draußen vor dem Klassenzimmer auf dem gekachelten Boden zu warten und ging in seinen Technikraum. Als er zurückkam, hörten wir es schon von weitem laut metallisch auf den Boden aufschlagen: "Kling-Klang", "Kling-Klang": der Mathe-Lehrer kam zurück mit einer großen, langen, schweren Aluminiumstange in der Hand.

"Dies ist mein Vektor", sagte er zu uns, "Und die Kacheln sind mein Koordinatensystem!": Mit einem lauten Scheppern ließ er die Aluminiumstange auf den Boden krachen. Nebenan ging die Tür auf und ein Lateinlehrer verbat sich doch bitte dringend die Störung seines Unterrichts. Unser Mathelehrer machte aber weiter: "Seht Ihr die Stange auf dem Boden liegen? - Dies ist jetzt ein zweidimensionaler Vektor". Der alte Herr bückte sich und hob die Stange auf, stellte sie aber, diesmal noch lauter krachend, mit einer Seite auf den Boden. "Und jetzt ist der Vektor dreidimensional!". Er hob ihn auf mit den Worten "Also, tragen wir unseren Vektor zurück ins Klassenzimmer und machen weiter - Meyer, wieviele Dimensionen hat der Vektor, wenn Du ihn trägst?" und überreichte dem Schüler Meyer den Vektor zur sorgfältigen und ehrenvollen Aufbewahrung bis zum Ende des Unterrichts.

Nach dem Unterricht unterhielten wir uns noch eine Weile über diese doch recht laute, theatralische Einlage. Sie hat aber ihren Zweck erfüllt: Bis heute habe ich nicht vergessen, was ein Vektor ist. Und: Wissen Sie, wieviele Dimensionen der Vektor hat, wenn Meyer ihn trägt?

Geraden und Ebenen

Gegenseitige Lage von Geraden

Zwei Geraden im Raum können entweder parallel oder nicht parallel zueinander liegen. Im ersten Fall unterscheidet man noch identisch (wenn sie aufeinander liegen) und echt parallel (wenn sie einen Abstand > 0 besitzen). Im zweiten Fall können sich die Geraden in einem Punkt schneiden oder sie liegen windschief zueinander.