Seitentitel: Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Vierzehneck
(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Vierzehneck)

Vierzehneck (Tetradecagon)Bearbeiten

  • Das regelmäßige Vierzehneck ist nicht als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

KonstruktionBearbeiten

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit HilfsmittelBearbeiten

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze (Abbildung) des Siebenecks (Heptagon) nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel "Tomahawk" zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

 
Animation der Konstruktionsskizze
 
Vierzehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Es beginnt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems im Punkt   mit einem Kreis mit Radius   Es folgt die Festlegung der Punkte   und  . Anschließend werden die Punkte   und   bestimmt, sie sind Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit Basis  . Nach dem Verbinden der Punkte   und   mit    in der Original-Zeichnung aus der Zeitschrift The American Mathematical Monthly, siehe Einzelnachweise, ist dieser Punkt zwischen   und  , wird um   ein Kreisbogen von   bis   gezogen. Nun drittelt man den Winkel   mit einer freiwählbaren Methode (z. B. Kurven, Tomahawk etc.), dabei ergeben sich die Punkte   und  . Eine Gerade durch   und   ergibt   und  , die zusammen mit   Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks sind.

Nun bedarf es noch einer Halbierung des Zentriwinkels   des Siebenecks und man erhält so den zweiten Eckpunkt   des gesuchten Vierzehnecks. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens   nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem UmkreisBearbeiten

  1. Es sei ein Kreis um   mit beliebigem Radius  .
  2. Halbgerade durch   und   ergibt Schnittpunkt  .
  3. Halbgerade senkrecht zu   durch   ergibt Schnittpunkte   und  .
  4. Strecken   eintragen.
  5. Kreis um   durch  .
  6. Strecken  , Kreis um   durch  .
  7. Bestimmen der Funktionspunkte:
Es beginnt mit Punkt  , dessen Abstand zu Punkt   ist gleich der Strecke  . In der Darstellung beschrieben als  . Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von   als   bis   als   (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.
  1. Einzeichnen der Kreissekanten:
Es beginnt mit der Sekante ab   durch   bis sie die äußere Kreislinie in   schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt   durch   bis sie wieder die äußere Kreislinie in   schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von   bis   (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.
  1. Die Verbindung   mit   schneidet den innersten Kreis in   als dritten Eckpunkt des entstehenden Vierzehnecks; die Strecke   ist die angenäherte Seitenlänge eines regelmäßigen Siebenecks.
  2. Halbiere den Winkel  , es ergibt auf dem innersten Kreis den Eckpunkt   des Vierzehnecks.
  3. Verbinde den Eckpunkt   mit  , es ergibt die angenäherte Seitenlänge   des regelmäßigen Vierzehnecks.
  4. Trage auf den innersten Kreis, ab dem Eckpunkt  , die Seitenlänge   elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.
  • Somit ergibt sich:
Eine Näherung des regelmäßigen Vierzehnecks E1 bis E14.

ErgebnisBearbeiten

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Vierzehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen)  
  • Seitenlänge des Siebenecks  
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge
Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler  
  • Konstruierter Zentriwinkel des Siebenecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen)  
  • Zentriwinkel des Siebenecks  
  • Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels
Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler  

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichenBearbeiten

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

WeblinksBearbeiten

Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 185–187 (p. 193 Fig.4)" Archivdatei abgerufen am 04. 04. 2016

  Konstruktion mit Zirkel und Lineal

  Konstruierbares Polygon

  Tomahawk (Geometrische Form)

GeoGebra