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(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Siebzehneck)

SiebzehneckBearbeiten

Eigenschaften, mathematischer Hintergrund u. a. m. sind in dem Artikel   Siebzehneck enthalten.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis nach H. W. RichmondBearbeiten

 
Siebzehneck nach Herbert W. Richmond, ausführlich dargestellte Version

Das folgende regelmäßiges Siebzehneck ist eine ausführlich dargestellte Version der Konstruktion, die von Herbert W. Richmond 1893 veröffentlicht wurde.

Ist ein Kreis k1 (der Umkreis um das entstehende Siebzehneck) um den Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

  1. Zeichnen eines Durchmessers von k1; Schnittpunkte mit k1 sind A und B.
  2. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k1 sind C und D.
  3. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
  4. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA.
  5. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 zwischen OF und FA.
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 zwischen m und w1; Schnittpunkt mit AB ist G.
  7. Konstruktion der Senkrechten s zu w2 durch F.
  8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w3 zwischen s und w2; Schnittpunkt mit AB ist H.
  9. Konstruktion des Thaleskreises k2 (mit Mittelpunkt M) über HA; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  10. Konstruktion eines Kreises k3 um G, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N (dabei liegt N sehr nahe an M).
  11. Konstruktion der Tangente an k3 durch N; Schnittpunkte mit k1 sind die Eckpunkte P3 und P14 des Siebzehnecks.
  12. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d1 = AP3 von k1 auf k1 – ab dem Eckpunkt P3 entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P14 im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k1 sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
  13. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Variation der Konstruktion nach H. W. RichmondBearbeiten

 
Siebzehneck, Variation, darin liegt Punkt N nicht mehr so nah an M

Unterschiede zum Original

  • Der Kreis k2 bestimmt statt der Winkelhalbierenden w3 den Punkt H.
  • Der Kreis k4 um den Punkt G′ (Spiegelung des Punktes G an m) ergibt den Punkt N, der dadurch für die Konstruktion der Tangente nicht mehr so nah an M liegt.
  • Einige Bezeichnungen sind geändert.

Konstruktionsbeschreibung

  1. Zeichnen eines großen Kreises k1 (des Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um den Mittelpunkt O.
  2. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k1 sind A und B.
  3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k1 sind C und D.
  4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
  5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FB.
  6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w1 zwischen OF und FB; Schnittpunkt mit AB ist Q.
  7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w2 zwischen OF und FQ; Schnittpunkt mit AB ist G.
  8. Konstruktion von G′ durch Spiegelung von G an m.
  9. Konstruktion des Kreises k2 um Q, der durch F verläuft; der näher an m liegende Schnittpunkt mit AB ist H.
  10. Konstruktion des Thaleskreises k3 über HB; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
  11. Konstruktion des Kreises k4 um G′, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N.
  12. Konstruktion der Tangente an k4 durch N; Schnittpunkte mit k1 sind die Eckpunkte P3 und P14 des Siebzehnecks.
  13. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d1 = AP3 von k1 auf k1 – ab dem Eckpunkt P3 entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P14 im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k1 sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
  14. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte StreckeBearbeiten

Das folgende Konstruktionsprinzip nutzt als Ansatz die gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels

 

Zuerst wird auf einer Zahlengeraden der Hauptteil der Formel ohne den Faktor   abgebildet. Es folgt die geometrische Division mit dem Divisor   und schließt mit einer zehnfachen Vergrößerung einer Dreieckseite ab, deren Länge dem Kosinus des Zentriwinkels entspricht.

Hauptteil der Formel, ohne Faktor  Bearbeiten

 
Siebzehneck, Hauptteil der Formel, ohne Faktor  , Konstruktionsskizze
  1. Zeichne die Zahlengerade   und bestimme darauf Punkt  , die Strecke   und  
  2. Errichte die Zahlengerade   durch Punkt   als Senkrechte zur Zahlengerade   und bestimme darauf die Strecke  , dabei ist Punkt   auf  
  3. Ziehe durch   die zweite Zahlengerade   als Parallele zur  
  4. Halbiere die Strecke   als Schnittpunkt ergibt sich Punkt  
  5. Zeichne den Halbkreis um   ab   und eine Parallele zur Zahlengeraden   ab Punkt   bis zum Halbkreis, als Schnittpunkt ergibt sich  
  6. Verbinde den Punkt   mit  , die so erhaltene Strecke  
  7. Ziehe einen Halbkreis um Punkt   mit dem Radius  , als Schnittpunkt ergibt sich   auf  
  8. Übertrage ab Punkt   die Strecke   auf die Zahlengerade  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  9. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden   ab Punkt   bis  , dabei ergibt sich der Schnittpunkt  
  10. Bestimme die Strecke   durch Subtraktion der Strecke   von  , somit ist  
  11. Verdopple die Strecke  , als Schnittpunkt ergibt sich  , somit ist  
  12. Ziehe den Kreisbogen     und addiere anschließend zum Punkt   die Strecke  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  13. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden   ab Punkt   bis zum Kreisbogen  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  14. Verbinde Punkt   mit  , die so erhaltene Strecke  
  15. Bestimme die Strecke   durch Addition der Strecke   zur Strecke  , somit ist  
  16. Fälle das Lot vom Punkt   auf die Zahlengerade  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  17. Bestimme die Strecke   durch dreimalige Addition der Strecke   zur Strecke  , als Schnittpunkte ergeben sich   und   somit ist  
  18. Bestimme die Strecke   durch Subtraktion der Strecke   von  , somit ist  
  19. Bestimme die Strecke   sie ist gleich lang wie  
  20. Ziehe den Kreisbogen     und addiere anschließend zum Punkt   die Strecke  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  21. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden   ab   bis zum Kreisbogen  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  22. Verbinde Punkt   mit  , die so erhaltene Strecke  
  23. Bestimme die Strecke   durch Subtraktion der Strecke   von  , somit ist  
  24. Bestimme die Strecke   durch Subtraktion der Strecke   von  , somit ist  
  25. Halbiere die Strecke  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  26. Ziehe den Kreisbogen     und addiere anschließend zum Punkt   die Strecke  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  27. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden   ab   bis zum Kreisbogen  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  28. Verbinde den Punkt   mit  , die so erhaltene Strecke  
  29. Addiere zur Strecke   zweimal die Strecke  , als Schnittpunkte ergeben sich   und   somit ist der Hauptteil der Formel auf   konstruiert; die Strecke  

Geometrische Division mit dem Divisor 16Bearbeiten

 
Siebzehneck, geometrische Division mit dem Divisor 16, Konstruktionsskizze
  1. Bestimme die Strecke   durch Subtraktion der Strecke   von  , somit ist  
  2. Fälle das Lot vom Punkt   auf die Zahlengerade  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  3. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade   vom Punkt   bis auf  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  4. Halbiere die Strecke  , als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt  , dabei ist   auf der Zahlengeraden  
  5. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade   ab dem Punkt   bis auf die Strecke  , als Schnittpunkt ergibt sich  
  6. Lege ein Lineal mit seiner Kante an die Punkte   und   danach markiere mithilfe der Linealkante auf der Zahlengeraden   den Schnittpunkt   Eine Linie durch   nach   ist nicht notwendig, sie würde auch zu dicht an der folgenden (grünen) Fuktionslinie sein.
  7. Verbinde den Punkt   mit  , die Strecke   (grüne Linie) schneidet die Strecke   in einem, wegen des sehr kleinen Dreiecks  , nicht sichtbaren Punkt; nennen wir den virtuellen Punkt  .
Somit ist die geometrische Division mit dem Divisor   durchgeführt.
Die virtuelle Strecke   entspricht bereits dem Kosinus des Zentriwinkels:
 
Um das Siebzehneck fertig konstruieren zu können, bedarf es noch einer starken Vergrößerung der Strecke  

VorüberlegungenBearbeiten

Betrachtet man zuerst von den beiden ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken   und   (beide nur durch deren Eckpunkte bestimmt) jeweils das Verhältnis der kleinen zur großen Kathete, so zeigt sich mit  :

 
d. h. bei einer Vergrößerung der kleinen Kathete   mit dem Faktor   wird deren Länge
 

Nun zum virtuellen rechtwinkligen Dreieck   mit den beiden Gegebenheiten:

  • Kleine Kathete   ist dieselbe des rechtwinkligen Dreiecks  
  • Winkel am Scheitel   durch den Verlauf der Strecke   (grüne Linie) bestimmt.

Konstruiert man nun, wie im Folgenden beschrieben, ein rechtwinkliges Dreieck, das dem virtuellen rechtwinkligen Dreieck   ähnlich ist und eine kleine Kathete mit der Länge   besitzt, ergibt sich als verwendbare große Kathete nochmals der Kosinus des Zentriwinkels  

 
Siebzehneck, gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke

Vergrößerung der Seite   des virtuellen rechtwinkligen Dreiecks  Bearbeiten

  1. Bestimme den Punkt   nahe   als dritten Teil der Strecke  , es ergibt sich die Länge der Strecke  
  2. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden   ab dem Punkt   bis auf die Strecke   (grüne Linie), als Schnittpunkt ergibt sich  
  3. Zeichne ab   eine Parallele zur Strecke   bis auf   als Schnittpunkt ergibt sich  
Das rechtwinklige Dreieck   ist ähnlich dem virtuellen Dreieck   der Punkt   ist das Pendant des oben benannten Punktes  
Somit ist die Strecke   der gesuchte Kosinus des Zentriwinkels  
  1. Verdoppele die Strecke   auf dem Zahlenstrahl   und addiere anschließend dazu geometrisch den Zahlenwert   (Strecke  ), es ergeben sich auf   die Zahlenwerte   und  
  2. Bestimme den Punkt   auf   beliebig und zeichne ab   eine Parallele zu  
  3. Übertrage die Strecke   auf diese Parallele, als Schnittpunkt ergibt sich  
  4. Ziehe den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks um   durch   dabei ergibt sich der siebzehnte Eckpunkt  .
  5. Übertrage die Strecke   ab   auf den Radius des Umkreises, als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt  
  6. Errichte eine Senkrechte auf   ab   entgegen dem Uhrzeigersinn bis zum Kreis, als Schnittpunkt ergibt sich   der erste Eckpunkt des Siebzehnecks.
  7. Verbinde den Eckpunkt   mit  , somit ist ist die erste Seite   des Siebzehnecks exakt konstruiert.
  8. Abschließend trage die Strecke   noch fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis ab. Nach dem Verbinden der benachbarten Eckpunkte ergibt sich das regelmäßige Siebzehneck  .

WeblinksBearbeiten

  Siebzehneck

  Siebzehneck, Seite gegeben

  Mittelsenkrechte

  Thaleskreis

  Winkelhalbierende

  Spiegelung (Geometrie)

Parallele hier im Kapitel Grundkonstruktionen

  Kreiswinkel, Zentriwinkel

  Zentrische Streckung

  Dritter Strahlensatz

  Zahlengerade

  Konstruktion mit Zirkel und Lineal

  Siebzehneck, gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke, mit Kurzbeschreibung, Animation

Herbert W. Richmond 1893 Siebzehneck Beschreibung und Siebzehneck Abbildung (Fig. 6)