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(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Dreizehneck)

Dreizehneck (Tridecagon)Bearbeiten

  • Das regelmäßige Dreizehneck ist nicht als (exakte) Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

KonstruktionBearbeiten

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit HilfsmittelBearbeiten

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel Tomahawk zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

 
Animation der Konstruktionsskizze
 
Dreizehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Für das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt   mit Radius  . Es folgt die Festlegung des Punktes  . Um den Punkt   zu erhalten, werden zunächst die Zahlenwerte  , als zwölfter Teil von  , sowie   bestimmt, die Strecke   halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Die danach errichtete Senkrechte auf   ab   schneidet den Thaleskreis in  . Die Verbindung des Punktes   mit   ergibt   für das Eintragen des Punktes  . Im Anschluss die Zahlenwerte   und   auf   ermitteln sowie die Punkte   und   einzeichnen.

Zum Finden der Punkte   und   wird zuerst der Zahlenwert   auf   festgelegt und eine Senkrechte durch die   errichtet. Zieht man nun einen Kreisbogen um   durch  , schneidet er die Senkrechte in   und  . Nach dem Verbinden der Punkte   und   mit   sowie dem Ziehen eines Kreises um   durch  , wird der Winkel   mit einer frei wählbaren Methode gedrittelt. Hier z. B. geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks, dabei ergeben sich die Punkte   und  . Eine Gerade durch   und   ergibt   und  , die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreizehnecks   sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens   nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem UmkreisBearbeiten

  1. Es sei ein Kreis um   mit beliebigem Radius  .
  2. Gerade durch   und   ergibt Schnittpunkt  .
  3. Gerade senkrecht zu   durch   ergibt Schnittpunkte   und  .
  4. Strecken   eintragen.
  5. Kreis um   durch   ergibt Schnittpunkte   und  .
  6. Strecke  , Kreis um   durch  .
  7. Bestimmen der Funktionspunkte:
Es beginnt mit Punkt  , dessen Abstand zu Punkt   ist gleich der Strecke  . In der Darstellung beschrieben als  . Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von   als   bis   als   (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.
  1. Einzeichnen der Kreissekanten:
Es beginnt mit der Sekante ab   durch   bis sie die äußere Kreislinie in   schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt   durch   bis sie wieder die äußere Kreislinie in   schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von   bis   (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.
  1. Die Verbindung von   mit   schneidet den innersten Kreis in  , als zweiten Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks.
  2. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt   die Strecke  , sie entspricht der Seitenlänge   des Dreizehnecks, elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.
  • Somit ergibt sich:
Eine Näherung des regelmäßigen Dreizehnecks E1 bis E13.

ErgebnisBearbeiten

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen)  
  • Seitenlänge des Dreizehnecks  
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:
Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler  
  • Konstruierter Zentriwinkel des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 14 Nachkommastellen)  
  • Zentriwinkel des Dreizehnecks  
  • Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:
Bis zu den max. angezeigten 14 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler  

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichenBearbeiten

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

WeblinksBearbeiten

  Konstruktion mit Zirkel und Lineal

  Konstruierbares Polygon

  Tomahawk (Geometrische Form)

  Dreizehneck