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(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ 257-Eck)
257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

KonstruktionBearbeiten

Das regelmäßige 257-Eck, im englischen Sprachraum 257-gon, ist zwar als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal theoretisch möglich, kann aber wegen der sehr hohen Anzahl und Dichte der erforderlichen Linien nicht übersichtlich abgebildet werden.

Die im Jahre 1991 veröffentlichte Konstruktionsmethode von Duane W. DeTemple unter Verwendung des sogenannten Carlyle-Kreises, ist deutlich einfacher, verwehrt aber wegen der dicht neben- und übereinander liegenden 150 Hilfskreisen den erforderlichen Durchblick.[1]

Erlaubt man jedoch neben Zirkel und Lineal ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in n gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine gut nachvollziehbare exakte Konstruktion der ersten Ecke E1 und damit die Seitenlänge des 257-Ecks darstellbar.

Exakte Konstruktion der Seitenlänge mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches HilfsmittelBearbeiten

Würde der gleiche Ansatz wie beim Elfeck angewandt werden, d. h. den Umkreisradius zuerst in 257 gleiche Abschnitte teilen und anschließend den vierten Teilungspunkt zur Konstruktion des Mittelpunktswinkels μ nutzen, wäre z.B. bei einem Umkreisradius r = 100 mm der Abstand von einem zum nächsten Teilungspunkt etwas kleiner als 0,4 mm.

Eine machbare Alternative zeigt die folgende Konstruktion. Übrigens ist sie auch mit realem Zirkel, Lineal und z. B. mithilfe der Quadratrix in Form einer Schablone auf einem Blatt Papier im Format DIN A4 realisierbar.

Unter Verwendung der Quadratrix wird nicht zuerst der erste Eckpunkt E1 des 257-Ecks gesucht, sondern der sechzehnte Eckpunkt E16.

Der Eckpunkt   lässt sich auf folgende Art und Weise finden.
Für den Mittelpunktswinkel   des Kreisausschnittes   gilt
 ,
mit Berücksichtigung des Mittelpunktswinkels   des Viertelkreises erhält man
 
Diese Dezimalzahl ist mithilfe des dritten Strahlensatzes mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Die Länge der Strecke   in Längeneinheiten [LE], sprich der Abstand vom Mittelpunkt   des Umkreises bis zum Funktionspunkt   errechnet sich aus
  [LE]
Der der Wert des Quotienten   ist ebenso mit Zirkel und Lineal mithilfe des dritten Strahlensatzes konstruierbar.[2]

Die fünf Hauptschritte der KonstruktionBearbeiten

  1. Schema
  2. Zahl 4,015625 (mithilfe des dritten Strahlungssatzes)
  3. Einheitskreis mit Quadratrix des Hippias
  4. Strecke OM aus dem Quotient 1 : 4,015625 (mithilfe des dritten Strahlungssatzes)
  5. Eckpunkt E1
SchemaBearbeiten
  1. Bestimme den Punkt A.
  2. Zeichne die Strecke AB mit der Länge 1.
  3. Errichte eine zu AB senkrechte Strecke BC mit der Länge 1.
  4. Konstruiere eine Strecke CD parallel zur Strecke AB, etwas länger als 1.
  5. Zeichne eine Gerade parallel zur Strecke BC durch den Punkt A mit einer kurzen Unterbrechung nahe der Strecke CD, d. h. CD und die Gerade haben keinen Schnittpunkt.
  6. Teile die Strecken AB in 10 gleiche Abschnitte, aber zeichne nur die Teilungspunkte (Teilungspunkt im weiteren Verlauf mit TP bezeichnet) TP1 bis TP3 und TP5 bis TP7 ein.
  7. Projiziere die TPs der Strecke AB auf die Strecke CD und ergänze darauf TP4.
  8. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt C durch TP1 der Strecke AB sowie eine gerade Linie vom Punkt B durch TP1 der Strecke CD, jeweils bis zur Geraden die durch A verläuft, es ergeben sich die Scheitelpunkte C1 bzw. B1.
  9. Verbinde TP1 von Strecke AB mit TP1 von Strecke CD, es ergibt die Strecke (1)(1).
Zahl 4,015625Bearbeiten
  1. Verbinde TP5 (letzte Nachkommastelle der Zahl 4,015625) mit C1, es ergibt den Schnittpunkt 5 auf AB. Der Wert der Zahl 5 ist damit auf 0,5 verkleinert, eingetragen wird aber 5.
  2. Addiere 5 zum TP2 auf AB, es ergibt 25.
  3. Verbinde 25 mit B1, es ergibt den Schnittpunkt 25 auf CD.
  4. Greife die Strecke (1)25 von CD ab und subtrahiere sie vom TP7 auf AB, es ergibt 625.
  5. Verbinde 625 mit B1, es ergibt den Schnittpunkt 625 auf CD.
  6. Addiere 625 zum TP5 auf CD, es ergibt 5625.
  Zusätzlicher Hilfsstrahl wird eingearbeitet:
  1. Bestimme den Punkt E auf C1,B1, mit AE ungefähr ein Viertel der Länge von BC.
  2. Errichte eine Senkrechte zur Strecke C1,B1 ab E bis auf die Strecke (1)(1), es ergibt den Schnittpunkt F.
  3. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt C durch F bis zur Strecke C1,B1, es ergibt den Schnittpunkt C2.
  Es geht weiter mit 5625
  1. Verbinde 5625 mit C2, es ergibt 5625 auf der Strecke EF.
  2. Addiere 5625 zum TP1 auf CD, es ergibt 15625.
  3. Verbinde 15625 mit C1, es ergibt den Schnittpunkt 15625 auf AB.
  Da die nächste Dezimalstelle eine 0 (Null) ist, muss der bisher hierher konstruierte Wert 0,15625 nochmals durch 10 geteilt werden, bevor er weiter verwendet werden kann.
  1. Verbinde 15625 mit B1, es ergibt den Schnittpunkt 015625 auf CD, die Unterbrechung der Geraden ermöglicht eine Markierung des Punktes 015625.
  2. Greife die Strecke (1)015625 von CD ab und subtrahiere sie vom TP5 auf AB, somit ist die Zahl 4,015625 fertig konstruiert.
Einheitskreis mit Quadratrix des HippiasBearbeiten
  1. Halbiere die Strecke C1,B1, es ergibt den Schnittpunkt G.
  2. Bestimme den Mittelpunkt O für den Umkreis des 257-Ecks mit dem Radius GO = AB = 1.
  3. Zeichne den Umkreis um O, es ergibt den Schnittpunkt E257 auf der Geraden.
  4. Errichte eine zu GE257 senkrechte Strecke OH.
  5. Mit den noch fehlenden Seiten (Länge 1) vervollständige das Quadrat über OE257.
  6. Zeichne die Quadratrix ein mit der Parameterkurve  :
 

mit

 
Strecke OM aus dem Quotient 1 : 4,015625Bearbeiten
  1. Verlängere die Strecke (1)(1) bis zur Strecke OH, es ergibt den Schnittpunkt I.
  2. Errichte eine Senkrechte im Punkt G bis zur Strecke BC, es ergibt den Schnittpunkt J.
  3. Ziehe eine Parallele ab der konstruierten Zahl 4,015625 bis zur Strecke GJ, es ergibt den Schnittpunkt K.
  4. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt K durch I bis zur Strecke OE257, es ergibt den Schnittpunkt L.
  5. Verbinde Punkt J mit L, es ergibt den Schnittpunkt M auf OH, somit ist die Funktionsstrecke OM konstruiert.
Eckpunkt E16 bis E1Bearbeiten
  1. Ziehe eine Parallele zu OE257 ab dem Punkt M bis zur Quadratrix, es ergibt den Schnittpunkt N.
  2. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch N bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der sechzehnte Eckpunkt E16 des 257-Ecks.
  3. Die abschließende vierfache Winkelhalbierung erzeugt die Eckpunkte  ,  ,   und schließlich  . Somit entspricht der Abstand |E257E1| exakt der Seitenlänge des 257-Ecks.

Näherungskonstruktion der 1. SeiteBearbeiten

Zwar nicht exakt, aber deutlich einfacher ist die folgende Konstruktion.

  1. Es sei ein Kreis um   mit beliebigem Radius  .
  2. Halbgerade durch   und   ergibt Schnittpunkt  .
  3. Halbgerade senkrecht zu   durch   ergibt Schnittpunkte   und  .
  4. Strecken   eintragen.
  5. Kreis um   durch   ergibt Schnittpunkt  .
  6. Strecke  , Kreis um   durch  .
  7. Bestimmen der Funktionspunkte:
Es beginnt mit Punkt  , dessen Abstand zu Punkt   ist gleich der Strecke  . In der Darstellung beschrieben als  . Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von   als   bis   als   (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.
  1. Einzeichnen der Kreissekanten:
Es beginnt mit der Sekante ab   durch   bis sie die äußere Kreislinie in   schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt   durch   bis sie wieder die äußere Kreislinie in   schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von   bis   (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.
  1. Die Verbindung von   mit   schneidet den innersten Kreis in  , als vierten Eckpunkt des entstehenden 257-Ecks.
  2. Konstruiere innerhalb des Winkels   zwei Winkelhalbierende, es ergeben sich die Eckpunkte   und  .
  • Somit ergibt sich mit der Strecke   annähernd die erste Seite des 257-Ecks.

ErgebnisBearbeiten

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seite des 257-Ecks in GeoGebra (Anzeige 15 signifikante Nachkommastellen, gerundet)  
  • Seite des 257-Ecks, 15 sigifikante Nachkommastellen, ebenfalls gerundet  
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seite  
  • Konstruierter Zentriwinkel in GeoGebra (Anzeige 14 signifikante Nachkommastellen, gerundet)  
  • Zentriwinkel des 257-Ecks, 14 signifikante Nachkommastellen, ebenfalls gerundet  
  • Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels  
Beispiel um den Fehler zu verdeutlichenBearbeiten

Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge a < 1 mm.

QuellenBearbeiten

  1.   257-Eck
  2.   257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

WeblinksBearbeiten

  Konstruktion mit Zirkel und Lineal

  Carlyle-Kreis

  Quadratrix des Hippias

  Mittelpunktswinkel

   Scheitelpunkt

  GeoGebra

  257-Eck E-15, Näherungskonstruktion der ersten Seite, Animation