Mathematikunterricht/ Sek/ Zahlen und Rechenoperationen

Die elementaren Operationen Siehe auch Mathematik für mathematische Pflegefälle - Rechnen - Mathematik für die Grundschule

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Wozu werden Zahlen benutzt?

• zum Zählen; im Zählen finden Zahlen ihren Ursprung
  • Um zu wissen wieviele Dinge es gibt und zählen wir: 1, 2, 3, 4, 5, …; eine Lotterieurne enthält 49 Kugeln, eine Eierpackung 10 Eier, …
  • damit Zählen nicht zu langweilig wird und nicht zu lange dauert rechnen wir mit Zahlen, aber im Grunde genommem ist alles Rechnen auf Zählen zurück zu führen

• zum Ordnen; beim Zählen wird das erste Objekt als erstes gezählt, usw.
  • Der erstgeborene Sohn, der zweite, …; am Ende eines Wettkampfes z. B. landen die Sportler auf dem ersten, zweiten, dritten, vierten Platz, u.s.w. ; Hausnummern, wenn jedenfalls die Ordnung benutzt wird.

• zum Benennen; eigentlich sind dies keine Zahlen, man kann nicht damit rechnen; nur werden Ziffern als Zeichen benutzt;
  • "Zahlen" sind Namen: Postleitzahlen, Telefonnummern

• zum Messen; obwohl Messen eigentlich wieder Zählen bedeutet; wir stellen fest wie oft die Einheit in den Messwert passt
  • Ein Quadrat, dass die Seitenlänge 1 Meter hat, misst in der Diagonalen 1,414213… m. Der Umfang eines Kreises mit einem Radius von 1 m ist 6,28318… m.

Eine Temperatur beträgt + 25,6°C. Jemand wiegt 49,3 kg.

und schließlich

• zum Rechnen
  • $1+3=4\ ;\ 3\cdot 6=18\ ;\ \dots$

Was sind Zahlen?

Die Frage lässt sich nicht so einfach beantworten. Unter Zahlen versteht man heutzutage vor allem solche Dinge, mit denen man so schön rechnen kann, dass man auch unbeschränkt dividieren kann.

Wie werden Zahlen dargestellt?

• Erinnerung:

• • Beispiel: Die Zahl 34067 ist eine Abkürzung für folgende Produktsumme:

$3\cdot 10000+4\cdot 1000+0\cdot 100+6\cdot 10+7\cdot 1$

Das kann man noch etwas anders darstellen:

$3\cdot 10^{4}+4\cdot 10^{3}+0\cdot 10^{2}+6\cdot 10^{1}+7\cdot 10^{0}$

• Das heißt in unserem Zahlensystem haben wir die Zahl 10 als Basis gewählt und addieren immer Potenzen von 10.
• Außerdem gibt es eine Zahl 0 für welche gilt:

• • $0\cdot a=0$ und $a^{0}\!\ =1$ für alle a.

• Aber natürlich ist die Wahl der Zahl 10 als Basis völlig gleichgültig und man kann jede andere Zahl nehmen, um Zahlen darzustellen.

Historisch belegt sind:

• • das Sexagesimalsystem: Basis 60 (Babylonien)
  • das Vigesimalsystem: Basis 20 ( Maya und Azteken, Normannen)
  • das Dezimalsystem: Basis 10 (bei den meisten Völkern)
  • das Hexadezimalsystem: Basis 16, wird von Computerprogrammierern verwendet, weil es für Menschen einfacher ist als das Dualsystem
  • das Oktalsystem: wurde von Computerprogrammierern verwendet, als es noch keine 8-bit-Prozessoren gab
  • das Dualsystem: wird seit 1940 in der Elektrotechnik und beim Computerbau verwendet. Da es das theoretisch einfachste Zahlensystem ist, gehört es auch zur mathematisch-physikalischen Allgemeinbildung.

• Was macht man, wenn man die Zahl 0 nicht verwenden möchte?

Dann kann man beliebige Summen aus beliebigen Zahlen nehmen, um Zahlen darzustellen. Allerdings kann man dann nicht beliebig große Zahlen darstellen.

historisch vorgekommen sind:

• das griechische Zahlsystem. jedem Buchstaben wird eine Zahl zugeordnet:

zum Beispiel: τκδ = 300 + 20 + 4= 324

• das römische Zahlsystem: aus Kerbholz-Darstellungen entwickelt, nur die Buchstaben

1	5	10	50	100	500	1000
I	V	X	L	C	D	M

zum Beispiel: MCMLXXXVI = 1986

• die standardisierten Maße und Gewichte:
  • Will man beispielsweise 146 Euro bezahlen, so gibt man in der Regel 2 50-Euroscheine + 2 20-Euroscheine + 1 5-Euroschein + 1 1-Eurostück.

die Grundoperationen

Addition

Eine Addition lässt sich in jeder Menge definieren. Hier ist die Additionstafel der ersten Zahlen.

(+)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Die Addition ist kommutativ a + b = b + a

Verdopplung

Addiert man eine Zahl zu sich selbst, so verdoppelt sich diese.

Man schreibt a + a = 2a

Hier ist die Verdopplungsreihe für die ersten Zahlen:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40

Multiplikation

Man kann das Verdoppeln auf beliebige Vielfache verallgemeinern:

• $a=1\cdot a$
• $a+a=2\cdot a$
• $a+a+a=3\cdot a$
• $a+a+a+a=4\cdot a$

usw.

Hier ist die als Einmaleins bekannte Multiplikationstabelle:

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	0	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	0	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	0	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	0	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	0	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	0	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	0	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	0	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	0	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

• Die Multiplikation ist kommutativ: $a\cdot b=b\cdot a$
• Es gibt ein Element 0 mit $0\cdot a=a\cdot 0=0$
• Es gibt ein Element 1 mit $1\cdot a=a\cdot 1=a$

Quadrieren

Multipliziert man eine Zahl mit sich selbst, so nennt man das Quadrieren:

Man schreibt $a\cdot a=a^{2}$

Hier ist die Tabelle der Quadrate der ersten Zahlen

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841	900	961	1024

Potenzieren

Auch das Quadrieren lässt sich verallgemeinern:

• $1=a^{0}$
• $a=a^{1}$
• $a\cdot a=a^{2}$
• $a\cdot a\cdot a=a^{3}$
• $a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{4}$
• $a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{5}$

usw.

Die erste Zahl heißt Basis, die zweite Exponent, das Ergebnis heißt Potenz.

• Achtung: das Potenzieren ist nicht mehr kommutativ: $a^{b}$ ist ungleich $b^{a}$

Hier ist die Potenztabelle der ersten Zahlen:

^	0	1	2	3	4	5	6
0	1	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	4	8	16	32	64
3	1	3	9	27	81	243	729
4	1	4	16	64	256	1024	4096
5	1	5	25	125	625	3125	15625

Die Potenzen sind wichtig für die unterschiedlichen Zahldarstellungen

^	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096
10	1	10	100	1000	10.000	100.000	1000.000
16	1	16	256	4096	65536
20	1	20	400	8000	160.000
60	1	60	3600	216.000

Kombinatorische Operationen

Die bisherigen Operationen lassen sich noch weiter verallgemeinern:

Summe einer Zahlenreihe

1 = 1

1+2 = 3

1+2+3 = 6

1+2+3+4 = 10

1+2+3+4+5 = 15

1+2+3+4+5+6 = 21

Summe von 1 bis n = n*(n+1)/2 ($\sum _{k=1}^{n}k={{n\cdot (n+1)} \over 2}$)

Das sind die so genannten Dreieckszahlen.

Summe der ungeraden Zahlen

1 = 1

1+3 = 4

1+3+5 = 9

1+3+5+7 = 16

1+3+5+7+9 = 25

Summe der ersten n ungeraden Zahlen: $n^{2}$

Fakultät

$0!=1$

$1=1!=1$

$1\cdot 2=2!=2$

$1\cdot 2\cdot 3=3!=6$

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=4!=24$

$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=5!=120$

usw.

Die Anzahl der Permutationen (Vertauschungen) einer Menge mit n Elementen ist n!

die Umkehroperationen

Wenn man das Ergebnis einer Rechnung kennt, aber nur einen Operanden, wie lautet dann der Operand, den man nicht kennt?

• a + x = b, a und b bekannt, was ist dann x?
• $a\cdot x=b$, a und b bekannt, was ist dann x?

Die Antwort auf solche Fragen geben die Umkehroperationen. Die Grundoperationen haben immer ein Ergebnis, aber die Umkehroperationen haben manchmal keines. In den Fällen, wo kein Ergebnis in den natürlichen Zahlen möglich ist, führt der Versuch trotzdem eins zu finden zur Erweiterung der Zahlbereiche. Wichtig ist, dass alle hier genannten Operationen schon in den natürlichen Zahlen definiert werden können.

Subtraktion

ist die Umkehroperation der Addition

Wenn a + x = b,

dann ist x = b - a

in den Natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung, wenn a < b

Will man für a > b ebenfalls eine Lösung, so ergeben sich die ganzen Zahlen.

Halbieren

ist die Umkehroperation der Verdopplung

Wenn 2x = a, dann ist x = a:2

In den natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung, wenn a gerade ist.

Im Zehnersystem gilt: a ist gerade, wenn die letzte Ziffer 0,2,4,6 oder 8 ist.

Dividieren

ist die Umkehroperation der Multiplikation

Wenn $a\cdot x=b$,

dann ist x= b:a, man schreibt auch x= b/a

in den natürlichen Zahlen hat diese Gleichung nur eine Lösung,

1. wenn a < b, und
2. wenn b durch a teilbar ist, und
3. wenn a nicht 0 ist.

Will man, dass die Gleichung auch dann eine Lösung hat, wenn b nicht durch a teilbar ist, ergeben sich die rationalen Zahlen.

Im Zehnersystem gilt:

a ist durch 2 teilbar wenn die letzte Ziffer 0,2,4,6,8 ist

a ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist

a ist durch 4 teilbar, wenn die Zahl der letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist

a ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist

a ist durch 6 teilbar, wenn a durch 3 und 2 teilbar ist

a ist durch 7 teilbar, wenn das doppelte der letzten Ziffer von der verbleibenden Zahl abgezogen, durch 7 teilbar ist

a ist durch 8 teilbar, wenn die Zahl der letzten 3 Ziffern durch 8 teilbar ist

a ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist

a ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Auch dann, wenn die Division nicht funktioniert, kann man noch eine "Teilbarkeitsverwandtschaft" feststellen. Zwei Zahlen können gemeinsame Teiler haben: Zum Beispiel haben 36 und 24 die gemeinsamen Teiler: 12, 6, 4, 3, 2. Der größte davon, eben der größte gemeinsame Teiler, hier also 12, ist eine sehr wichtige Zahl, die mit einem besonderen Verfahren, dem so genannten euklidischen Algorithmus, für beliebige natürliche Zahlen berechnet werden kann. Ist der ggT von zwei Zahlen a und b die Zahl b, dann funktioniert die Division. Ist der ggT 1, so heißen die Zahlen relativ prim oder teilerfremd.

das Quadratwurzelziehen

ist die Umkehroperation des Quadrierens (zumindest, wenn man die Vorzeichen außer Betracht lässt). Eine Quadratwurzel ist immer eine positive Zahl. Beispiel:

${\sqrt {9}}=3,{\sqrt {25}}=5,{\sqrt {1}}=1$

Wenn $x^{2}=9$ ist, gibt es zwei Lösungen: $x={\sqrt {9}}=3$ und $x=-{\sqrt {9}}=-3$, weil sowohl

$3^{2}=9$ als auch $(-3)^{2}=9$

Mann kann auch die Quadratwurzel aus positiven Zahlen ziehen die keine Quadrate sind:

${\sqrt {2}}=1{,}41421356\dots ,{\sqrt {3}}=1{,}73205\dots ,{\sqrt {99}}=9{,}94987\dots$,

Betrachte die Reihe der Quadratzahlen und die Summe der ungeraden Zahlen.

Zwar gibt es keine unmittelbar einsichtige Regel, wann die Gleichung $x^{2}=a$ eine ganze Zahl als Lösung hat, aber z. B. kann Sie keine Lösung haben wenn, die letzte Ziffer von a 2,3,7 oder 8 ist.

Will man dass die Gleichung auch für negative a eine Lösung hat, dann ergeben sich die komplexen Zahlen (z. B. $x^{2}=-1\rightarrow x=\pm i$).

Radizieren (allgemeines Wurzelziehen)

Wenn $x^{b}=c$, dann ist $x={\sqrt[{b}]{c}}$ (b-te Wurzel aus c)

Logarithmieren

Wenn $a^{x}=c$, dann ist $x={\log _{a}}c$ (Logarithmus c zur Basis a), c darf dabei nie 0 sein.

Kombinatorische Umkehroperationen

Durchschnitt

$a+b \over 2$ der Durchschnitt zweier Zahlen wird gebildet, indem man die Summe der beiden Zahlen durch 2 teilt. In den natürlichen Zahlen ist der Durchschnitt nur definiert wenn beide Zahlen gerade oder beide Zahlen ungerade sind.

Der Durchschnitt mehrerer Zahlen wird gebildet indem man die Zahlen alle addiert, und ihre Summe durch die Anzahl der Zahlen teilt.

(n Zahlen): $a+b+c+\dots +z \over n$

Kettenendendifferenzen

Differenz der letzten und ersten Zahlen $n+(n-1)+(n-2)+\dots +(n-k+1)-(1+2+\dots +k)=n\cdot k$, wenn $k<{\frac {n}{2}}$

Binominalkoeffizienten

Quotient aus den letzten und ersten Zahlen

${\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \dots \cdot (n-k+1)} \over {1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot k}}={n \choose k}$, n>k. Gesprochen: n über k.

Hier ist die als Pascal'sches Dreieck bezeichnete Tabelle der ersten Binomialkoeffizienten

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

Beachte:

Die Summe der n-ten Zeile ist $2^{n}$

Die erste Spalte besteht nur aus Einsen

Die zweite Spalte enthält die natürlichen Zahlen

Die dritte Spalte enthält die Summe der ersten Zahlen, d.h. die Dreieckszahlen

Die Zeilen sind spiegelsymmetrisch

Jeder Binomialkoeffizient ist die Summe der beiden über ihm stehenden Koeffizienten.

Exponenzieren

Der Exponens $e^{a}\,$ oder exp(a) von a ist

$e^{a}=1+a+{\frac {a^{2}}{2!}}+{\frac {a^{3}}{3!}}+{\frac {a^{4}}{4!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}}{n!}}$

Diese Funktion taucht bei der Zinseszinsrechnung auf und von ihr lassen sich auch die trigonometrischen Funktionen ableiten.

geometrische Operationen

Die geometrischen Operationen werden wichtig, sobald man mit negativen und komplexen Zahlen zu tun hat.

Betrag

Für reelle Zahlen a ist:

|a| = a, wenn a positiv ist

und

|a| = a, wenn a negativ ist

Deshalb gilt:

$|a|={\sqrt {a^{2}}}$

Länge

Für komplexe Zahlen a+bi ist:

$|a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Deshalb gilt für komplexe z:

$|z|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$

Signum

Die Funktion sign, Signum, bestimmt das Vorzeichen und gibt es als +1, -1 oder 0 zurück.

sign(a) = +1 wenn a positiv ist.

sign(a) = -1 wenn a negativ ist.

sign(a) = 0 wenn a neutral (0) ist.

Komplex Konjugierte

Das komplex Konjugierte einer komplexen Zahl c=a+bi ist die komplexe Zahl a-bi. Mann schreibt:

${\overline {c}}={\overline {a+bi}}=a-bi$.

Phase, Argument

Eine komplexe Zahl z=a+bi kann man auch vorstellen als:

$z=|z|\,e^{\arg(z)i}$.

Darin ist arg(z) der Winkel zwischen dem Vektor z und die reelle Achse. Dieser Winkel lasst sich bestimmen als Lösung der Gleichungen:

$\cos(\arg(z))={\frac {a}{|z|}}$

$\sin(\arg(z))={\frac {b}{|z|}}$.

Nachfolger und Vorgänger

ist n eine natürliche Zahl so ist n' = s(n) = n+1 der Nachfolger derselben und n´ = p(n) = n-1 der Vorgänger.

Diese Operation ist wichtig, wenn man die natürlichen Zahlen durch Axiome definiert.

Es gilt: a+b= a(1+b/a)= a*(b/a)' für a teilt b.