Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Linearkombinationen und Unterräume



LinearkombinationenBearbeiten

Nehmen wir uns mal ein paar Vektoren   aus einem Vektorraum  , wobei   eine beliebige Menge ist. Wir wissen nach Definition können wir jeden dieser Vektoren mit einem Skalar multiplizieren und dann alle summieren und haben immer noch einen Vektor   in  , also ist   für  . Wir für ein solches   sagen wir mit   ist eine Linearkombination der Vektoren  .

BeispieleBearbeiten

 , also ist   eine Linearkombination von  .

 , also ist   eine Linearkombination von  .

 , da es kein   gibt, die diese Gleichung erfüllen, ist   keine Linearkombination von  .

Der Spann / Das ErzeugnisBearbeiten

Haben wir nun Vektoren   so wird die Menge aller Linearkombinationen aus diesen Vektoren das Erzeugnis/der Spann genannt. In Symbolsprache:   ist das Erzeugnis und   der Spann.

Satz:   ist ein Untervektorraum (für den Spann geht es genauso).

BeweisBearbeiten

1.  

2. Seien   und   so ist trivialerweise :  .

Denn eine Linearkombination von Linearkombinationen ist eine Linearkombination der Ursprünglichen Vektoren.

UnterräumeBearbeiten

Der Unterraum (genauer Untervektorraum) ist ein Vektorraum der ganz in einem Vektorraum liegt.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über einem Körper  . Eine Teilmenge   heißt Untervektorraum, wenn sie mit den von   induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn

  •   und
  • für alle   auch   und
  • für alle   und alle   auch  

gilt. Wobei man die Letzteren Beiden auch zusammenfassen kann mit:

  • für alle   gilt :  

BeispieleBearbeiten

Kanonischer UnterraumBearbeiten

Sei   so ist jeder   mit   mit   ein Untervektorraum.

Gerade und EbeneBearbeiten

Sei   ein Vektorraum. So ist eine Ebene   die Menge alle Vektoren der Form   für zwei eindeutige Vektoren   und für alle  .

Die Gerade besteht aus allen Vektoren der Form   für ein eindeutigen Vektor   und für alle  .

Man sieht schnell (Übungsaufgabe), dass die Ebene und die Gerade Untervektorräume von   sind und die Gerade ein Untervektorraum der Ebene ist.