Nehmen wir uns mal ein paar Vektoren
(
v
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}
V
{\displaystyle V}
I
{\displaystyle I}
u
{\displaystyle u}
V
{\displaystyle V}
u
=
∑
i
∈
I
λ
i
⋅
v
i
{\displaystyle u=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot v_{i}}
λ
i
∈
K
{\displaystyle \lambda _{i}\in K}
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
u
{\displaystyle u}
Linearkombination der Vektoren
(
v
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}
(
1
2
)
=
1
⋅
(
1
0
)
+
2
⋅
(
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
(
1
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}
(
1
0
)
,
(
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
(
1
2
)
=
2
⋅
(
0
,
5
1
)
+
0
⋅
(
4
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}0,5\\1\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}}
(
1
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}
(
0
,
5
1
)
,
(
4
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0,5\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}}
(
1
2
)
=
λ
⋅
(
0
,
5
0
)
+
μ
⋅
(
4
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}0,5\\0\end{pmatrix}}+\mu \cdot {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}}
λ
,
μ
∈
K
{\displaystyle \lambda ,\mu \in K}
(
1
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}
keine Linearkombination von
(
0
,
5
0
)
,
(
4
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0,5\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}}
Haben wir nun Vektoren
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
∈
V
{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V}
<
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
>
{\displaystyle <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>}
s
p
a
n
(
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle span(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})}
Satz:
<
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
>
{\displaystyle <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>}
1.
0
=
∑
i
=
0
n
0
⋅
v
i
∈<
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
>
{\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}0\cdot v_{i}\in <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>}
2. Seien
u
,
v
∈<
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
>
{\displaystyle u,v\in <v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}>}
λ
,
μ
∈
K
{\displaystyle \lambda ,\mu \in K}
λ
⋅
u
+
μ
⋅
v
∈
V
{\displaystyle \lambda \cdot u+\mu \cdot v\in V}
Denn eine Linearkombination von Linearkombinationen ist eine Linearkombination der Ursprünglichen Vektoren.
Der Unterraum (genauer Untervektorraum) ist ein Vektorraum der ganz in einem Vektorraum liegt.
Sei
V
{\displaystyle V}
Vektorraum über einem Körper
K
{\displaystyle K}
U
⊆
V
{\displaystyle U\subseteq V}
Untervektorraum , wenn sie mit den von
V
{\displaystyle V}
0
∈
U
{\displaystyle 0\in U}
für alle
u
,
v
∈
U
{\displaystyle u,v\in U}
u
+
v
∈
U
{\displaystyle u+v\in U}
für alle
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K}
u
∈
U
{\displaystyle u\in U}
λ
⋅
u
∈
U
{\displaystyle \lambda \cdot u\in U}
gilt.
Wobei man die Letzteren Beiden auch zusammenfassen kann mit:
für alle
u
,
v
∈
U
,
λ
,
μ
∈
K
{\displaystyle u,v\in U,\lambda ,\mu \in K}
λ
⋅
u
+
μ
⋅
v
∈
U
{\displaystyle \lambda \cdot u+\mu \cdot v\in U}
Sei
V
=
K
n
{\displaystyle V=K^{n}}
K
i
n
{\displaystyle K_{i}^{n}}
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}
x
i
=
0
{\displaystyle x_{i}=0}
Sei
V
=
R
3
{\displaystyle V=R^{3}}
Ebene
E
{\displaystyle E}
v
=
λ
⋅
w
+
μ
⋅
u
{\displaystyle v=\lambda \cdot w+\mu \cdot u}
u
,
w
∈
V
{\displaystyle u,w\in V}
λ
,
μ
∈
K
{\displaystyle \lambda ,\mu \in K}
Die Gerade besteht aus allen Vektoren der Form
v
=
λ
⋅
w
{\displaystyle v=\lambda \cdot w}
u
∈
V
{\displaystyle u\in V}
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K}
Man sieht schnell (Übungsaufgabe), dass die Ebene und die Gerade Untervektorräume von
V
{\displaystyle V}
