Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Definition



Ein Vektorraum über dem Körper – oder kurz -Vektorraum – ist eine nichtleere Menge mit einer Addition und einer Skalarmultiplikation , so dass eine abelsche Gruppe bildet und zusätzlich gilt:

  • Die Skalarmultiplikation ist assoziativ: für alle
  • ist das neutrale Element bezüglich der Skalarmultiplikation, das heißt für alle gilt:

Zudem sind beide Verknüpfungen distributiv, so dass für gilt:

Ein Beispiel für einen Vektorraum ist die euklidische Ebene mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Anschaulich entspricht dies einer Ebene mit Nullpunkt, in der Vektoren durch Addition aneinandergesetzt und durch Multiplikation gestreckt werden.

UnterräumeBearbeiten

Eine Teilmenge   heißt Unterraum eines  -Vektorraums  , falls

  •  
  • Für alle   und   gilt:  .

  bildet selbst wieder einen Vektorraum. Aufgrund des geringeren Aufwands wird deshalb der Beweis, dass ein gegebenes   einen Vektorraum bildet, nicht selten über die Unterraumeigenschaften geführt, nachdem zuvor ein geeigneter,   umgebender Vektorraum   gewählt wurde.

Insbesondere sind   und   triviale Unterräume von  .

In der euklidischen Ebene sind beispielsweise alle Geraden durch den Nullpunkt Unterräume.

Ein um einen festen Vektor   verschobener Unterraum   des Vektorraums  , das heißt eine Menge der Form

 

heißt affiner Unterraum mit Translationsraum  .

Insbesondere ist die Lösungsmenge eines beliebigen linearen Gleichungsystems   – sofern nicht leer – ein affiner Unterraum mit   Lösung von   und  .