Mathematik: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Definition



Was ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) ?Bearbeiten

Eine Gleichung der Form

 

heißt lineare Gleichung mit   Unbekannten  . Linear ist die Gleichung, weil die   nur linear (d.h. in der ersten Potenz) vorkommen. Die Koeffizienten   und   sind reelle (oder auch komplexe) Zahlen.

Oft führt die mathematische Lösung eines Problems auf mehrere derartiger Gleichungen. Betrachten wir dazu folgendes Beispiel:

Man kann
 
als parameterfreie Darstellung einer Ebene im   lesen. Ebenso sind
  und
 
zwei weitere Ebenen. Drei Ebenen können sich in einem (gemeinsamen) Punkt   schneiden. Da dieser Punkt auf allen drei Ebenen liegt, müssen seine Koordinaten alle drei Gleichungen simultan erfüllen.
Im Allgemeinen sind nun mehrere (lineare) Gleichungen (etwa   der Anzahl nach) aufgestellt worden, die jeweils   Unbekannte   enthalten. Ein solches Gleichungssystem aus   linearen Gleichungen mit jeweils   Unbekannten nennt man ein lineares Gleichungsystem, kurz LGS.
Das Gleichungssystem unseres Beispiels mit   lässt sich nun wie folgt darstellen:
 


Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit   Gleichungen und   Unbekannten wie folgt definieren:

Definition
Es sei   ein Körper und   für   und  . Dann nennt man
 
ein homogenes lineares Gleichungssystem in den Variablen  . Ein Tupel   heißt Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems, wenn   ist für alle  .
Wenn   beliebig ist, so heißt
 
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel   heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn   für alle  .

Ein homogenes lineares Gleichungssystem besitzt immer die sogenannte triviale Lösung  . Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem braucht nicht notwendigerweise eine Lösung zu haben.