Mathematik: Lineare Algebra: Eigenwerte: Das charakteristische Polynom

Das charakteristische Polynom ist ein spezielles Polynom, durch welches sich bestimmte Aussagen über lineare Abbildungen oder quadratische Matrizen machen lassen. Außerdem hängt es sehr eng mit den Gebieten der Eigenwerte und Eigenvektoren zusammen, welche sich (oftmals) nur damit berechnen lassen.

Definition

Zwei n×n-Matrizen A und B heissen ähnlich, wenn es eine invertierbare n×n-Matrix P gibt, so, dass

$B=P^{-1}AP$.

Satz

Zwei ähnliche n×n-Matrizen A und B haben dieselbe Determinante.

Definition

Für Matrizen

Es sei $A$ eine $\scriptstyle n\times n$-Matrix mit Elemente aus einem Körper $\scriptstyle \mathbb {K}$. Dann wird das charakteristisches Polynom $p_{A}$ von $A$ definiert durch:

$\!\,p_{A}(\lambda ):=\det(A-\lambda \mathrm {I} _{n})$.

Darin ist $\mathrm {I} _{n}$ die n-dimensionalen Einheitsmatrix.

Satz

Zwei ähnliche n×n-Matrizen A und B haben dasselbe charakteristisches Polynom.

Satz

Die repräsentierenden Matrizen eines Endomorphismus auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, sind ähnliche n×n-Matrizen.

Definition

Die Determinante det(φ) eines Endomorphismus φ auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, ist die Determinante einer seiner repräsentierenden Matrizen.

Definition

Für Endomorphismen

Es seien $V$ ein Vektorraum endlicher Dimension, und $\varphi$ ein Endomorphismus auf $V$. Dann wird das charakteristische Polynom $p_{\varphi }$ von $\varphi$ definiert durch:

$p_{\varphi }(\lambda ):=\det(\varphi -\lambda \cdot \mathrm {id} )$

Sätze

1. Zwei Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, wenn sie ähnlich sind.
2. Wenn das charakteristische Polynom $p_{A}$ in Linearfaktoren zerfällt, dann nennt man ${\text{A}}$ zerfallend über $\mathbb {K}$.

Beispiele

Ein allgemeines Beispiel

Es sei

$A\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}{\text{(}}\mathbb {K} {\text{)}}{\text{, A :=}}\left({\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}}\right)$.

Dann ist das charakteristische Polynom $p_{A}$ von $A$ gegeben durch:

$p_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda E)=\det(\left({\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{ll}1&0\\0&1\end{array}}\right))=$

$\det(\left({\begin{array}{ll}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{array}}\right))=(a-\lambda )(d-\lambda )-bc=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +ad-bc.$

Anmerkung:
Löst man die Gleichung $p_{A}(\lambda )=0$ nun nach $\lambda$ auf, so hat man die Eigenwerte zur Matrix ${\text{A}}$ gefunden.

Ein Beispiel zu Linearfaktoren

Es sei

$B\in {\mathcal {M}}_{2\times 2}{\text{(}}\mathbb {K} {\text{), B :=}}\left({\begin{array}{ll}a&0\\0&b\end{array}}\right)$.

Dann ist das charakteristische Polynom $p_{B}$ von ${\text{B}}$:

$p_{B}{\text{ = }}\det(B-\lambda E){\text{ = }}\det(\left({\begin{array}{ll}a&0\\0&b\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{ll}1&0\\0&1\end{array}}\right)){\text{ = }}$
$det(\left({\begin{array}{ll}a-\lambda &0\\0&b-\lambda \end{array}}\right)){\text{ = }}(a-\lambda )(b-\lambda )$

Das charakteristische Polynom $p_{B}$ ist also $(a-\lambda )(b-\lambda )$.
$B$ ist zerfallend und aus den Linearfaktoren von $p_{B}$ kann man unmittelbar erkennen, dass die w:Eigenwerte $a$ und $b$ sind.

Zahlenbeispiel

Es sei

$C\in {\mathcal {M}}_{3\times 3}{\text{(}}\mathbb {C} {\text{), }}C{\text{ := }}\left({\begin{array}{lll}-1&1&1\\0&1&3\\1&0&2\end{array}}\right)$.

Dann ist das charakteristische Polynom $p_{C}$ von $C$:

$p_{C}=\det(C-\lambda E)=det(\left({\begin{array}{lll}-1&1&1\\0&1&3\\1&0&2\end{array}}\right)-\lambda \left({\begin{array}{lll}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right))=$
$\det(\left({\begin{array}{lll}(-\lambda -1)&1&1\\0&(1-\lambda )&3\\1&0&(2-\lambda )\end{array}}\right))=-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+2\lambda$

Das charakteristische Polynom $p_{C}$ ist also $-\lambda ^{3}+2\lambda ^{2}+2\lambda$.

-- Domino 18:08, 6. Apr. 2008 (CEST)