Mathematik: Lineare Algebra: Eigenwerte: Das charakteristische Polynom

Das charakteristische Polynom ist ein spezielles Polynom, durch welches sich bestimmte Aussagen über lineare Abbildungen oder quadratische Matrizen machen lassen. Außerdem hängt es sehr eng mit den Gebieten der Eigenwerte und Eigenvektoren zusammen, welche sich (oftmals) nur damit berechnen lassen.

DefinitionBearbeiten

Zwei n×n-Matrizen A und B heissen ähnlich, wenn es eine invertierbare n×n-Matrix P gibt, so, dass

 .

SatzBearbeiten

Zwei ähnliche n×n-Matrizen A und B haben dieselbe Determinante.

DefinitionBearbeiten

Für MatrizenBearbeiten

Es sei   eine  -Matrix mit Elemente aus einem Körper  . Dann wird das charakteristisches Polynom   von   definiert durch:

 .

Darin ist   die n-dimensionalen Einheitsmatrix.

SatzBearbeiten

Zwei ähnliche n×n-Matrizen A und B haben dasselbe charakteristisches Polynom.

SatzBearbeiten

Die repräsentierenden Matrizen eines Endomorphismus auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, sind ähnliche n×n-Matrizen.

DefinitionBearbeiten

Die Determinante det(φ) eines Endomorphismus φ auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, ist die Determinante einer seiner repräsentierenden Matrizen.

DefinitionBearbeiten

Für EndomorphismenBearbeiten

Es seien   ein Vektorraum endlicher Dimension, und   ein Endomorphismus auf  . Dann wird das charakteristische Polynom   von   definiert durch:

 

SätzeBearbeiten

  1. Zwei Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom, wenn sie ähnlich sind.
  2. Wenn das charakteristische Polynom   in Linearfaktoren zerfällt, dann nennt man   zerfallend über  .


BeispieleBearbeiten

Ein allgemeines BeispielBearbeiten

Es sei

 .

Dann ist das charakteristische Polynom   von   gegeben durch:

 
 

Anmerkung:
Löst man die Gleichung   nun nach   auf, so hat man die Eigenwerte zur Matrix   gefunden.


Ein Beispiel zu LinearfaktorenBearbeiten

Es sei

 .


Dann ist das charakteristische Polynom   von  :


 
 


Das charakteristische Polynom   ist also  .
  ist zerfallend und aus den Linearfaktoren von   kann man unmittelbar erkennen, dass die w:Eigenwerte   und   sind.


ZahlenbeispielBearbeiten

Es sei

 .


Dann ist das charakteristische Polynom   von  :


 
 

Das charakteristische Polynom   ist also  .


-- Domino 18:08, 6. Apr. 2008 (CEST)