Mathematik-Glossar: Mathematische Attribute


In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen, surjektiv), kann aber auch ein Substantiv involvieren (z. B. vom Grad 3). Dieses Glossar soll insbesondere in Fällen, in denen ein und dasselbe Attribut auf Objekte ganz verschiedenen Typs (vgl. dazu: w:Hierarchie mathematischer Strukturen) angewandt wird, zur schnellen Orientierung dienen, Querverbindungen aufzeigen und vor möglichen Verwechslungen bewahren.

Inhaltsverzeichnis: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z


ABearbeiten

abelschBearbeiten

abgeschlossenBearbeiten

abundantBearbeiten

Eine natürliche Zahl x heißt abundant, wenn ihre echte Teilersumme (die Summe aller Teiler ohne die Zahl selbst) größer ist als die Zahl x selbst. Vergleiche die Attribute defizient und vollkommen in diesem Glossar.

abzählbarBearbeiten

adaptiertBearbeiten

  • Ein w:stochastischer Prozess   der auf einem w:Wahrscheinlichkeitsraum   mit zugehöriger w:Filtrierung   definiert ist, heißt adaptiert, wenn die Zufallsvariable   für jedes    -messbar ist.

w:adjungiertBearbeiten

  • In der linearen Algebra heißt ein w:Endomorphismus g eines (euklidischen oder unitären, also mit einem Skalarprodukt < , > ausgestatteten) k-w:Vektorraums W adjungiert zu einem Endomorphismus f eines (ebenfalls euklidischen oder unitären) k-Vektorraums V, falls für alle v in V und alle w in W gilt:
 
Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume entspricht dem adjungierten Endomorphismus die w:transponierte Matrix (im Fall einer w:Bilinearform) bzw. die konjugiert-w:transponierte Matrix (im Fall einer w:Sesquilinearform). Ist ein Endomorphismus gleich seinem adjungierten Endomorphismus, so heißt er selbstadjungiert oder symmetrisch (für Bilinearformen) bzw. hermitesch (für Sesquilinearformen).
Siehe auch: w:Adjungierte Matrix, w:Adjungierter Operator
  • In der w:Kategorientheorie heißen Paare ( ,  ) von Funktoren zwischen Kategorien C und D adjungiert, wenn für alle Objekte X von C und Y von D gilt:
MorD(FX, Y) = MorC(X, GY).
siehe auch: w:Adjunktion (Kategorientheorie)
 
gegeben ist, die adjungierte Darstellung.
  • In der Theorie der Lie-Algebren ist die adjungierte Darstellung die Darstellung der Lie-Algebra auf sich selbst, die durch die Lie-Klammer gegeben ist:
 

affinBearbeiten

  • Eine Funktion der Form   heißt affin-linear, siehe auch w:affine Abbildung.
  • Ein w:affiner Raum ist ein „w:Vektorraum ohne Ursprung“, d. h. es gibt zu je zwei Punkten   einen Vektor  , so dass die Verschiebung um diesen Vektor   auf   abbildet. Die Menge dieser Verschiebungen bildet einen Vektorraum, aber im affinen Raum selbst gibt es keinen ausgezeichneten Punkt wie den Ursprung eines Vektorraums. Beispielsweise sind Geraden und Ebenen im Anschauungsraum affine Räume.
  • S. auch w:affine Ebene.
  • Ein Koordinatensystem ist affin, wenn die Koordinatenachsen durch Geraden gebildet werden, siehe w:Affine Koordinaten
  • Ein affines Schema ist ein Schema, das isomorph zum w:Spektrum eines Ringes ist. Ein Spezialfall ist:
  • Eine affine algebraische Varietät ist eine w:algebraische Varietät, die sich als abgeschlossene Menge in einen affinen Raum einbetten lässt.
  • Eine w:Inzidenzstruktur oder ein w:Blockplan heißen affin, wenn sie über einen Parallelismus verfügen, bei dem sich je zwei Blöcke in einer konstanten Zahl von Punkten schneiden.

ähnlichBearbeiten

w:algebraischBearbeiten

  • Eine algebraische Gleichung entsteht durch Nullsetzen einer ganzrationalen Funktion (oder „Polynomfunktion“) f. Ihre Lösungen sind die Nullstellen von f.
  • Eine Funktion heißt algebraisch, wenn alle Paare aus Punkt und Funktionswert Lösungen derselben algebraischen Gleichung sind. Andernfalls heißt die Funktion transzendent.
  • In der w:Funktionentheorie heißt eine hebbare Singularität auch algebraisch.
  • Eine w:komplexe Zahl heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Die Menge (genauer: Der Körper) der algebraischen Zahlen bildet den algebraischen Abschluss der Menge   (der rationalen Zahlen).
  • Ein Element einer w:Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden Körper ist, siehe w:algebraisches Element.

w:algebraisch abgeschlossenBearbeiten

  • Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom vom Grad ? 1 mit Koeffizienten aus K eine Nullstelle in K hat. Dann zerfällt in K jedes Polynom in lineare Faktoren (vom Grad 1). Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, der der reellen Zahlen nicht. Siehe auch w:algebraischer Abschluss.

alternierendBearbeiten

Die Grundbedeutung von alternierend ist „abwechselnd“. In vielen Fällen sind damit abwechselnde Vorzeichen gemeint.

  • Die w:alternierende Quersumme einer natürlichen Zahl in Dezimaldarstellung erhält man, indem man, von rechts nach links, die Ziffern abwechselnd subtrahiert und addiert.
  • Die w:alternierende harmonische Folge ist die Folge der Zahlen  
  • Eine w:alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der die Reihenglieder abwechselnd positiv und negativ sind. Ein einfaches Beispiel einer alternierenden Reihe ist die aus der alternierenden harmonischen Folge gebildete (alternierende harmonische) Reihe.
  • Die w:alternierende Gruppe   ist die Gruppe der geraden Permutationen einer  -elementigen Menge.
  • In der Graphentheorie ist ein w:alternierender Pfad (bezüglich einer Paarung) ein Pfad, dessen Kanten abwechselnd zur Paarung und nicht zur Paarung gehören.

analytischBearbeiten

  • In der Theorie analytischer Funktionen heißt eine Menge analytisch, wenn sie als w:Nullstellengebilde von analytischen Funktionen darstellbar ist.
  • In der Deskriptiven Mengenlehre heißt eine Teilmenge eines Polnischen Raums (z. B.   oder  ) analytisch, wenn sie das Bild einer Borel-Menge unter einer stetigen Abbildung ist.
  • In der w:Funktionentheorie heißt eine Funktion einer oder mehrerer komplexer Veränderlicher analytisch, wenn sie lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Das ist (im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent dazu, dass die Funktion beliebig oft komplex differenzierbar ist, und das wiederum ist (erneut im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent dazu, dass die Funktion einmal komplex differenzierbar, also holomorph oder regulär ist. Tatsächlich werden in der Funktionentheorie, das heißt in der komplexen Analysis, die Begriffe analytisch, holomorph und regulär äquivalent gebraucht.
  • Auch in der reellen Analysis heißt eine Funktion analytisch wenn sie lokal durch eine Potenzreihe gegeben ist.
  • Die Lösung eines Problems wird als analytisch bezeichnet, wenn sie – im Gegensatz zu numerischen Lösungen – in Form von bekannten Funktionen, Konstanten etc. angeschrieben werden kann.

antisymmetrischBearbeiten

  • Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn für je zwei verschiedene Elemente   und   der Menge nicht gleichzeitig   und   gelten kann. Dies ist eine der definierenden Eigenschaften einer partiellen Ordnung.
  • Eine w:multilineare Abbildung heißt antisymmetrisch, wenn ihr Wert beim Vertauschen zweier ihrer Argumente das Vorzeichen wechselt.

äquidistantBearbeiten

bedeutet gleich weit entfernt.

äquivalentBearbeiten

  • Zwei Aussagen heißen äquivalent, wenn sie unter gleichen Voraussetzungen denselben Wahrheitswert haben. Insbesondere heißen zwei Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.
  • Zwei Elemente einer Menge heißen äquivalent, wenn sie in der gleichen w:Äquivalenzklasse bezüglich einer w:Äquivalenzrelation liegen.
  • In der linearen Algebra heißen zwei m×n Matrizen A und B äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen S und T gibt, sodass A = S·B·T. Äquivalente Matrizen beschreiben bezüglich geeigneter Basen die gleiche lineare Abbildung; Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. Falls die äquivalenten Matrizen A und B quadratisch sind (m=n) und T=S-1 gewählt werden kann, sind A und B sogar ähnlich.
  • Zwei Darstellungen heißen äquivalent, wenn sie bis auf Basenwechsel aus den gleichen linearen Abbildungen bestehen.

assoziativBearbeiten

Eine w:zweistellige Verknüpfung * heißt assoziativ, wenn für alle Elemente a, b und c der Grundmenge stets die Gleichung a*(b*c) = (a*b)*c gilt. Die Assoziativität der Verknüpfung erlaubt, die Klammern wegzulassen und einfach a*b*c zu schreiben.

Eine Menge A und eine zweistellige Verknüpfung * auf A, deren Ergebnisse alle in A liegen, wird als Magma bezeichnet. Ist diese Verknüpfung darüber hinaus auch assoziativ spricht man von einer w:Halbgruppe.

w:asymmetrischBearbeiten

  • Eine Relation R heißt asymmetrisch, wenn aus xRy stets nicht yRx folgt. Insbesondere gilt nicht xRx. Dies ist eine der Eigenschaften einer strikten partiellen Ordnung.

auflösbarBearbeiten

 
von w:Normalteilern gibt, deren Quotienten (auch „Faktorgruppen“) Gk/Gk+1 abelsch sind.
  • Eine w:Lie-Algebra heißt auflösbar, wenn es eine absteigende Folge
 
von Idealen gibt (d. h.   soll ein Ideal in   sein), deren Quotienten abelsch sind.

ausgeartetBearbeiten

  • Eine bilineare Abbildung b (eine w:Bilinearform) heißt ausgeartet, wenn es einen Vektor x ? 0 gibt, der für jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erfüllt. Für das Gegenteil gibt es die Begriffe regulär oder perfekt, meist sagt man aber schlicht „nicht ausgeartet“.

BBearbeiten

befreundetBearbeiten

  • Ein Paar natürlicher Zahlen heißt befreundet, wenn die Summe der echten Teiler der einen Zahl die jeweils andere ergibt. Beispiel: 220 und 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, 1+2+4+71+142 = 220). Siehe w:befreundete Zahlen.

berechenbarBearbeiten

  • Eine w:reelle Zahl heißt berechenbar, wenn eine Bildungsvorschrift existiert, die jede ihrer Dezimalstellen erzeugen kann.

beschränktBearbeiten

  • Eine Teilmenge   eines metrischen Raums   heißt beschränkt, wenn es eine positive reelle Zahl   gibt, sodass der Abstand zweier Elemente von   stets kleiner oder gleich   ist, wenn also die Abstände in   beschränkt sind.
  • Als Spezialfall davon heißt eine Menge   reeller Zahlen beschränkt, wenn es zwei reelle Zahlen   und   gibt, sodass   eine Teilmenge des abgeschlossenen Intervalls   ist.
  • Eine Funktion heißt beschränkt, wenn ihr Bildbereich eine beschränkte Menge ist.
  • Ein w:linearer Operator zwischen normierten Räumen heißt w:beschränkter Operator, wenn er beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abbildet. (Was äquivalent dazu ist, dass der lineare Operator stetig ist.)
  • Eine w:stark stetige Halbgruppe heißt beschränkt, wenn die Menge der zugehörigen Operatoren eine norm-beschränkte Menge ist.
  • Eine Teilmenge eines topologischen Vektorraums (über   oder  ) heißt beschränkt, wenn sie von jeder  -Umgebung absorbiert wird. Im Falle von normierten Vektorräumen stimmt dies mit der Definition für Teilmengen metrischer Räume überein.

bijektivBearbeiten

bilinearBearbeiten

  • Eine Funktion   zu gegebenen Vektorräumen heißt bilinear, wenn sie bei festgehaltenem ersten Argument linear im zweiten Argument und bei festgehaltenem zweiten linear im ersten Argument ist. Wenn   ist und   der dem Vektorraum unterliegende Körper, heißt   w:Bilinearform. Über dem Körper der komplexen Zahlen betrachtet man oft sesquilineare statt bilinearer Funktionen.

bivariatBearbeiten

  • Eine Funktion ist bivariat, wenn sie genau zwei unbestimmte Variablen enthält (z. B.  ).
  • Die gemeinsame Verteilung zweier Zufallsvariablen ist bivariat (s. Hauptartikel: w:Bivariate Verteilung).

CBearbeiten

chaotischBearbeiten

Als mathematischer Begriff (s. w:Chaostheorie) Ausdruck eines schlecht gestellten (engl. „ill posed“) inversen Problems. Mittels einfacher, meist sogar deterministischer Regeln kann ein komplexes Objekt erzeugt werden, jedoch ist der Rückschluss vom Objekt auf die erzeugenden Regeln nicht oder nur schlecht möglich.

charakteristischBearbeiten

DBearbeiten

definitBearbeiten

defizientBearbeiten

Eine w:natürliche Zahl heißt defizient, wenn ihre echte w:Teilersumme (die w:Summe aller Teiler ohne die Zahl selbst) kleiner ist als die Zahl selbst. Vergleiche auch die Attribute abundant und vollkommen in diesem Glossar.

w:diagonaldominantBearbeiten

Eine Matrix heißt diagonaldominant, falls das Zeilensummenkriterium erfüllt ist, d. h. falls der Betrag jedes Diagonalelementes größer ist als die Summe der Beträge der restlichen jeweiligen Zeilenelemente.

diagonalisierbarBearbeiten

  • Eine Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, sodass   eine w:Diagonalmatrix ist (Die Matrizen A und D sind ähnlich). Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn das Charakteristische Polynom in w:Linearfaktoren zerfällt und die algebraischen gleich den geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte sind.

dichtBearbeiten

  • Eine Teilmenge M liegt dicht in einem topologischen Raum R, wenn es keine abgeschlossene Teilmenge von R außer R selbst gibt, die M enthält. Mit anderen Worten, M ist dicht (in R), wenn der Abschluss von M mit R übereinstimmt. Beispiel: die Menge der rationalen Zahlen Q liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen R (und macht diese dadurch separabel).
  • Die Teilordnung S einer geordneten Menge M heißt dicht, wenn es zu jedem x und y aus M mit x < y ein z aus S gibt, sodass x < z < y ist. Beispiel: die übliche Ordnung der rationalen oder der reellen Zahlen ist dicht. Siehe w:Ordnungstopologie.

differenzierbarBearbeiten

  • Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x0, falls der Limes des Differenzenquotienten an der Stelle x0 existiert.

DimensionBearbeiten

w:disjunktBearbeiten

  • Zwei Mengen heißen w:disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.

w:diskretBearbeiten

  • Eine Teilmenge   der reellen Zahlen heißt diskret, wenn es zu jedem Element   ein offenes Intervall gibt, das x enthält, aber außer   kein weiteres Element von  .
  • Allgemeiner heißt ein w:topologischer Raum   diskret, wenn jede Teilmenge offen ist. Dies bedeutet gerade, dass es zu jedem Element   eine Umgebung   gibt, die nur x enthält, also  .
  • Eine w:von-Neumann-Algebra vom Typ I wird diskret genannt.
  • Eine w:Zufallsvariable   heißt w:diskret, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt.

dualBearbeiten

  • Sei V ein w:Vektorraum über einem Körper K. Dann heißt der Vektorraum  , der die linearen Abbildungen von V nach K enthält, dual zu V (w:Dualraum).
  • In einer Booleschen Algebra entsteht eine duale Aussage, wenn man alle Elementaraussagen negiert, 0 mit 1 und ? mit ? vertauscht, und die gesamte Aussage negiert.
  • Analog dazu geht ein komplementärer Verband (z. B. eine Mengenalgebra) in sein duales Gegenstück über, wenn man die beiden inneren Verknüpfungen miteinander vertauscht und jedes Element durch sein Komplement ersetzt.
  • Zu einer lokalkompakten abelschen Gruppe betrachtet man die Dualgruppe.
  • Eine w:duale C*-Algebra ist eine C*-Algebra kompakter Operatoren.

EBearbeiten

echtBearbeiten

  • Eine w:Teilmenge heißt echt, wenn sie nicht identisch ist mit der Grundmenge.
  • Ein Teiler bzw. Faktor einer natürlichen Zahl heißt echt, wenn er kleiner als die Zahl selbst ist. Die Menge der echten Teiler einer Zahl ist somit die Menge der Teiler ohne die Zahl selbst.
  • Projektionen und von-Neumann-Algebren können die Eigenschaft echt unendlich haben, wie in der Typklassifikation von von-Neumann-Algebren erläutert.

eigentlichBearbeiten

Im Sinne des Selbstverständnisses oder der grundlegenden Definition, meist als Gegenbegriff zu uneigentlich

w:eindeutigBearbeiten

  • In älterer Literatur heißt eine injektive Abbildung eindeutig.
  • das Gegenteil von mehrdeutig.
  • Nach moderner Auffassung sind Abbildungen („Funktionen“) nach Definition eindeutig. Was früher „mehrdeutige Funktion“ genannt wurde, ist heutzutage eine Relation, aber keine Funktion.

eineindeutigBearbeiten

  • Von der Verwendung dieses veralteten Attributs ist abzuraten, da es uneinheitlich verwendet wurde: überwiegend in der Bedeutung bijektiv, zuweilen aber auch in der Bedeutung injektiv.

einfachBearbeiten

  • Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie mindestens zwei Elemente und keinen nichttrivialen w:Normalteiler besitzt. Die Menge {e}, die nur das Einselement enthält, und die Gruppe selbst werden als triviale Normalteiler angesehen. Siehe auch w:Einfache Gruppe.
  • Ein Modul heißt einfach, wenn er keine echten Untermoduln hat.
  • Ein Ring heißt einfach, wenn er keine nichttrivialen zweiseitigen Ideale besitzt. Ist R nicht-kommutativ, so ist die Einfachheit von R als links-R-Modul restriktiver als die ringtheoretische Einfachheit.
  • Eine w:Inzidenzstruktur oder ein w:Blockplan heißen einfach, wenn man ihre Blöcke als Punktmengen und ihre Inzidenzrelation als mengentheoretisches Enthaltensein auffassen kann.
  • Eine w:einfache Funktion ist eine messbare Funktion mit einer abzählbaren Menge von Funktionswerten.

einfach zusammenhängendBearbeiten

  • Ein w:topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn in ihm jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, d. h. wenn die w:Fundamentalgruppe trivial ist.
  • Äquivalent dazu: Eine offene Menge D heißt (homotop) einfach zusammenhängend, falls jede geschlossene Kurve in D nullhomotop ist.

elementweiseBearbeiten

Die Adverben elementweise oder auch komponentenweise beschreiben auf einfachen Art ausgeführte Rechenoperationen; man könnte anschaulich auch Stück für Stück sagen, z. B. kann man Matrizen komponentenweise addieren, was bedeutet, dass man einfach die einzelnen Einträge an den jeweils gleichen Positionen wie gewohnt addiert und das Ergebnis an dieselbe Position geschrieben wird.

elliptischBearbeiten

endlichBearbeiten

  • Eine Menge heißt endlich, wenn ihre Mächtigkeit (die Anzahl ihrer Elemente) eine w:natürliche Zahl ist. Oder äquivalent: wenn keine w:Bijektion zwischen der Menge und einer ihrer echten Teilmengen existiert.
  • Ein Maß heißt endlich, wenn das Maß der Grundmenge ? des Maßraums eine endliche Zahl ist. Ein Maß heißt ?-endlich, wenn ? die abzählbare Vereinigung messbarer Mengen endlichen Maßes ist.
  • In der w:Gruppentheorie ist die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Gruppen fundamental.
  • Projektionen und von-Neumann-Algebren können endlich sein, wie in der Typklassifikation von von-Neumann-Algebren erläutert.
  • In der Physik verwendet man das Wort endlich auch, um „von Null verschieden“ zu sagen.

entartetBearbeiten

  • Ein einfacher Grenzfall eines eigentlich andersartigen mathematischen Objektes heißt entartet. So ist etwa ein Punkt ein entarteter Kreis (mit Radius 0).
  • Eine bilineare Abbildung b (eine w:Bilinearform) heißt entartet oder ausgeartet, wenn es einen Vektor x ? 0 gibt, der für jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erfüllt. Das Gegenteil wird manchmal mit dem Wort regulär bezeichnet, meist spricht man aber einfach von „nicht entartet“ bzw. „nicht ausgeartet“.
  • Ein w:Eigenwert heißt  -fach entartet, wenn der zugehörige w:Eigenraum Dimension   hat.

erwartungstreuBearbeiten

  • Eine w:Schätzfunktion g(?) heißt erwartungstreu, wenn ihr Erwartungswert unter einer parametrischen Verteilung P? für alle ? mit dem zu schätzenden Funktional ?(?) übereinstimmt.

euklidischBearbeiten

exaktBearbeiten

FBearbeiten

faktoriellBearbeiten

fast abgeschlossenBearbeiten

  • Eine Menge   heißt bezüglich der Relation   fast  -abgeschlossen, wenn                  .

w:fast alleBearbeiten

  • Man sagt, dass eine Eigenschaft E für fast alle Elemente einer Menge oder Folge gilt, wenn sie für alle bis auf endlich viele gilt. Zum Beispiel gilt für eine konvergente Folge, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes fast alle Folgenglieder enthalten sind.
  • Im Kontext der w:Maßtheorie sagt man, abweichend davon, auch, dass eine Eigenschaft E für fast alle Elemente eines w:Maßraums gilt, wenn sie fast überall gilt. (siehe dort)

fast überallBearbeiten

  • Man sagt, dass eine Eigenschaft E fast überall in einer Menge X gilt, wenn auf X ein Maß definiert ist und die Menge der Punkte, für die die Eigenschaft E nicht gilt, eine w:Nullmenge ist. Wenn die Menge X Teilmenge eines Euklidischen Raums ist, die Punkte von X also reelle Koordinaten haben, legt man in der Regel das w:Lebesgue-Maß zugrunde. Siehe w:Nullmenge für weitere Erklärungen und Beispiele.

fast sicherBearbeiten

  • Man sagt, dass ein Ereignis auf einem Wahrscheinlichkeitsraum w:fast sicher (f. s. oder engl. a. e. für „almost everywhere“) eintritt, wenn dessen Wahrscheinlichkeit 1 beträgt. D. h. das Ereignis tritt fast überall auf dem Wahrscheinlichkeitsraum, als Maßraum betrachtet, ein. Die Definition ist äquivalent zu der Definition von w:fast überall aus der w:Maßtheorie.

fein, feiner, feinstBearbeiten

Diese Attribute dienen in der Topologie dem Vergleich verschiedener topologischer Strukturen auf derselben Menge. Siehe w:Topologischer Raum.

fettBearbeiten

Als fette Menge wird eine Teilmenge eines topologischen Raums X bezeichnet, die nicht mager ist, siehe w:Satz von Baire.

fraktalBearbeiten

In der Mathematik Bezeichnung für Mengen mit gebrochener w:Hausdorff-Dimension, selbstähnliche Mengen (siehe auch IFS-Fraktal) oder selbstähnliche Funktionen; siehe auch w:Fraktale Dimension.

freiBearbeiten

GBearbeiten

ganzBearbeiten

  • Eine in ganz   holomorphe Funktion heißt w:ganze Funktion.
  • In der w:Algebra heißt ein Element einer w:Ringerweiterung   ganz, wenn es w:Nullstelle eines normierten w:Polynomes mit Koeffizienten aus   ist.
  • Als Spezialfall hiervon heißt ein Element einer Körpererweiterung K von   (algebraisch) ganz oder ganzalgebraisch, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus   ist.
  • Eine Ringerweiterung heißt ganz, wenn alle Elemente ganz sind.

w:geradeBearbeiten

geordnetBearbeiten

glattBearbeiten

  • Bei Funktionen, Kurven, w:Mannigfaltigkeiten und anderen differenzierbaren Objekten: Oft salopp gebraucht in der Bedeutung „genügend oft w:differenzierbar“. Manchmal formal definiert als „beliebig oft differenzierbar“. Im Falle von Kurven im   steht glatt oft auch lediglich für stetig differenzierbar – siehe auch w:glatte Kurve und w:glatte Funktion.

gleichmäßig beschränktBearbeiten

Sei   ein w:normierter Raum. Eine Klasse von Funktionen   von   heißt gleichmäßig beschränkt, wenn es eine Konstante   gibt mit  .

gleichmäßig konvergentBearbeiten

  • Sei  . Eine w:Funktionenfolge   heißt gleichmäßig konvergent, wenn gilt: 

gleichmäßig stetigBearbeiten

  • Seien   und   metrische Räume. Eine Funktion   von   heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn zu jedem   ein   existiert mit  .

gleichgradig stetigBearbeiten

  • Seien   und   metrische Räume. Eine Menge   von Funktionen   heißt gleichgradig stetig im Punkt   wenn zu jedem   ein   existiert mit  . Die Menge   heißt gleichgradig stetig, wenn sie in jedem Punkt gleichgradig stetig ist.
  • Die Menge   heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, wenn   unabhängig von   gewählt werden kann, also falls gilt:

 .

  • Spezialfall: Sei  . Eine Menge von Funktionen   heißt gleichgradig stetig genau dann, wenn  

w:globalBearbeiten

  • Nicht auf eine Umgebung bezogen, also nicht lokal, sondern auf eine gesamte Grundmenge.

GradBearbeiten

  • In der w:Geometrie ist das Grad Maßeinheit für die Größe eines ebenen w:Winkels.
  • In der w:Algebra ist der Grad eines Summanden in einem w:Polynom der Exponent, mit dem die Variable in diesem Term potenziert ist; der Grad des Polynoms ist der größte Grad eines in dem Polynom enthaltenen Summanden.
  • In der w:Darstellungstheorie ist der Grad der Darstellung die Dimension des Vektorraums, in dem die Darstellung stattfindet.
  • In der w:Graphentheorie ist der Grad einer Ecke die Anzahl der in dieser Ecke zusammentreffenden Kanten.
  • Für den Grad einer Karte zwischen w:Mannigfaltigkeiten, siehe [1].

gröber, gröbstBearbeiten

Diese Attribute dienen in der Topologie dem Vergleich verschiedener topologischer Strukturen auf derselben Menge. Siehe w:Topologischer Raum.

größtes ElementBearbeiten

  • Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt größtes Element, wenn alle anderen Elemente kleiner sind, d. h. für jedes Element y die Relation x ? y gilt. Das größte Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch maximal und kleinstes Element.

HBearbeiten

harmonischBearbeiten

w:HausdorffraumBearbeiten

hebbarBearbeiten

Funktion   existiert mit   in  .

w:hermiteschBearbeiten

  • Die hermitesch adjungierte bzw. hermitesch konjungierte Matrix zu einer Matrix A ist die komplex Konjugierte der Transponierten (oder umgekehrt) von A,  . Alle komplexen Matrizen lassen sich hermitesch konjugieren; die hermitesch Konjugierte einer reellen Matrix ist einfach die Transponierte. Gängige Schreibweisen für die hermitesch Konjungierte von A sind  . Die Notation   steht je nach Autor für die hermitesch adjungierte beziehungsweise hermitesch konjungierte oder aber für die nur komplex konjugierte Matrix.
  • Zwei Matrizen A, B heißen adjungiert oder hermitesch adjungiert oder hermitesch konjugiert zueinander, wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen, das heißt  .
  • Eine Matrix heißt hermitesch oder selbstadjungiert genau dann, wenn sie zu sich selbst hermitesch adjungiert beziehungsweise adjungiert ist, das heißt  . Aus hermitesch folgt quadratisch, normal und daraus diagonalisierbar.
  • Eine w:hermitesche Form ist eine w:Sesquilinearform   mit  . Das innere Produkt in einem unitären Raum ist per definitionem eine hermitesche Form.

w:hinreichendBearbeiten

w:hölder-stetigBearbeiten

  • Für metrische Räume   heißt eine Funktion   hölder-stetig mit Exponent   und Konstante  , falls für alle   gilt  

holomorphBearbeiten

  • In der w:Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Variablen holomorph oder regulär in einem Bereich, wenn sie in diesem Bereich eindeutig ist und eine stetige Ableitung hat; diese Definition impliziert Stetigkeit der Funktion selbst.

w:homogenBearbeiten

  • Homogen ist ein Raum, der „überall gleich aussieht“:
  • Homogenität bezeichnet eine Art von Kompatibilität mit Skalarmultiplikation:
  • Eine Relation heißt homogen, wenn Vor- und Nachmenge übereinstimmen.
  • In der w:Zahlentheorie heißen Zahlen homogen, wenn sie aus den gleichen w:Primfaktoren aufgebaut sind, wie beispielsweise   und  .
  • In der projektiven Geometrie werden homogene Koordinaten verwendet.

homöomorphBearbeiten

  • Zwei topologische Räume   und   heißen homöomorph, falls es eine bijektive Abbildung   gibt, sodass   und   stetig sind. Vom Standpunkt der Topologie aus sind   und   gleich. Die Funktion   wird w:Homöomorphismus genannt.

homotopBearbeiten

Zwei Teilmengen (oder zwei Kurven) eines topologischen Raums sind homotop, wenn sie sich stetig ineinander deformieren lassen.

hyperbolischBearbeiten

IBearbeiten

idealBearbeiten

idempotentBearbeiten

  • Eine Funktion   heißt idempotent, wenn   gilt.
  • Ein Element   eines w:Monoiden heißt idempotent, wenn   gilt.

indefinitBearbeiten

  • Die Matrix A heißt indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen w:Eigenwert besitzt.

w:inhomogenBearbeiten

injektivBearbeiten

integrabelBearbeiten

inversBearbeiten

invertierbarBearbeiten

  • Eine Funktion   heißt invertierbar, wenn die w:Umkehrfunktion   existiert. Dann gilt   für alle   aus der w:Definitionsmenge von   bzw.   für alle   aus der w:Bildmenge von  . Eine Funktion ist genau dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist.

involutorischBearbeiten

  • Eine quadratische Matrix heißt involutorisch, wenn ihr Quadrat die Einheitsmatrix ist.
  • Eine Abbildung heißt involutorisch, wenn das zweifache Anwenden die Identität ist. Anschaulich: Zwei Mal machen macht gar nichts. Beispiele sind die komplexe Konjugation, die hermitesche Konjugation, das Transponieren, das Invertieren und viele mehr.

irrationalBearbeiten

irreduzibelBearbeiten

  • In einem w:Integritätsring   heißt eine von Null verschiedene Nichteinheit   irreduzibel, wenn für alle   aus   folgt:   ist eine Einheit oder   ist eine Einheit. Siehe auch w:irreduzibles Polynom.
  • Eine lineare Darstellung heißt irreduzibel, wenn sie nicht reduzibel ist, wenn also der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, keine nichttrivialen Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Die Klassifikation nach irreduziblen Darstellungen ist die Hauptaufgabe der w:Darstellungstheorie.
  • Eine Markow-Kette heißt irreduzibel, wenn jeder Zustand mit jedem verbunden ist.
  • w:Irreduzibler topologischer Raum

irreflexivBearbeiten

  • Eine zweistellige Relation R heißt irreflexiv auf einer Menge, wenn kein Element dieser Menge in Relation zu sich selbst steht: ¬ ? x: xRx. „Irreflexiv“ ist somit nicht das Gegenteil von „reflexiv“: es gibt Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind. Die Relation auf der leeren Menge ist sowohl reflexiv als auch irreflexiv. Eine irreflexive w:Ordnungsrelation heißt strikt.

w:isometrisch isomorphBearbeiten

isomorphBearbeiten

  • Zwei Mengen heißen isomorph, wenn sie durch einen w:Isomorphismus, also eine bijektive strukturerhaltende Abbildung aufeinander abgebildet werden können.

w:isotropBearbeiten

  • Ein Element x eines Bilinearraumes (V, b) heißt isotrop, wenn die Gleichung b(x, x) = 0 gilt.

JBearbeiten

KBearbeiten

kanonischBearbeiten

  • Die kanonische Basis des w:Vektorraums R3 ist {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Achtung: nicht jeder Vektorraum hat eine kanonische Basis.
  • Die kanonische Abbildung ? eines Vektorraums V auf einen w:Faktorraum V/U ist durch ?(v)=v+U gegeben.
  • Beispiel kanonische Verknüpfung: Hat man eine einfache w:algebraische Struktur, wie etwa eine Menge   und eine Verknüpfung   darauf, so kann man allgemein formulieren, wie sich eine Verknüpfung auf einer w:Quotientenmenge von   nach einer beliebigen w:Äquivalenzrelation   definieren lässt. Nämlich als Verknüpfung   zwischen den w:Äquivalenzklassen, wobei sich das Ergebnis der Verknüpfung als die Äquivalenzklasse des Ergebnisses der Anwendung der ursprünglichen Verknüpfung auf je einen beliebigen Repräsentanten der zu verknüpfenden Klassen ergibt; für Elemente   also   Dies ist jedoch weder immer die einzige Möglichkeit eine Verknüpfung auf der Quotientenmenge zu definieren, noch ist sie immer wohldefiniert, führt also zu einem Ergebnis. Hier ist sie zum Beispiel nur wohldefiniert, wenn ursprüngliche Verknüpfung und betrachtete Äquivalenzrelation miteinander verträglich sind. Ist sie wohldefiniert, kann man die Verknüpfung als kanonische Verknüpfung bezeichnen.
  • Eine w:kanonische Transformation, in der klassischen Mechanik eine Koordinatentransformation im w:Phasenraum, die die Hamiltonschen Gleichungen invariant lässt.
  • schwer zu fassender Begriff, der ungefähr so viel wie eindeutig analog bedeutet: Wird eine Eigenschaft (oder Methode) eines mathematischen Objektes aus den Eigenschaften und/oder Methoden eines anderen abgeleitet, indem eine Vorgehensweise angewendet wird, die analog zu einer Vorgehensweise ist, durch die bereits eine andere Eigenschaft (oder Methode) desselben mathematischen Objektes abgeleitet wurde, und ergibt sich die abgeleitete Eigenschaft (oder Methode) hierbei eindeutig, so kann die Eigenschaft (oder Methode) als kanonisch bezeichnet werden. Sie wird sozusagen analog zu der anderen Eigenschaft (oder Methode) für dasselbe Objekt abgeleitet und ergibt sich dabei eindeutig.
  • Verwandte Begriffe: natürlich, standardisiert, normiert, üblich, gewöhnlich.

Klasse CpBearbeiten

  • eine Funktion ist von der Klasse   bzw. eine  -Funktion, wenn sie   mal stetig differenzierbar ist.

kleinBearbeiten

  • Eine Kategorie heißt klein, wenn die Klasse ihrer Objekte eine Menge ist.

kleinstes ElementBearbeiten

  • Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt kleinstes Element, wenn alle anderen Elemente größer sind, d. h. für jedes Element y die Relation x ? y gilt. Das kleinste Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch minimal und größtes.

kollinearBearbeiten

  • Drei oder mehr Punkte, die auf einer Geraden liegen, heißen kollinear.
  • Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn sie w:linear abhängig sind.
  • Eine bijektive Abbildung zwischen projektiven Räumen, die alle Geraden wieder auf Geraden abbildet, heißt kollinear, siehe w:Kollineation.

w:KolmogoroffschBearbeiten

kommutativBearbeiten

  • Eine w:zweistellige Verknüpfung · heißt kommutativ, wenn x·y = y·x (das Kommutativgesetz) für alle x und y gilt.
  • Eine Gruppe heißt kommutativ (auch: abelsch), wenn ihre Verknüpfung kommutativ ist.
  • Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
  • Ein Diagramm heißt kommutativ, wenn verschiedene Pfade zwischen je zwei Punkten des Diagramms zu gleichen Funktionen führen.

kompaktBearbeiten

komplanarBearbeiten

komplementärBearbeiten

  • Zwei spitze w:Winkel heißen komplementär oder Komplementwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90°) ergänzen
  • siehe auch: Minor

konformBearbeiten

  • Eine Abbildung   aus einem w:Gebiet   in die w:komplexe Ebene   heißt lokal konform, wenn sie reell differenzierbar und w:winkeltreu (orientierungserhaltend) ist, d. h. das Differential ist für alle Elemente des Gebiets eine Drehstreckung (die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten). Mit anderen Worten:   ist lokal konform, wenn   analytisch auf einem Gebiet   ist und die Ableitung von   für jedes Element aus   von Null verschieden ist.
  • Ist   lokal konform und w:bijektiv, so heißt   konform.
  • Wenn   konform ist, so ist es auch die w:Umkehrabbildung
    Siehe hierzu: w:Konforme Abbildung

kongruentBearbeiten

  • Zwei geometrische Figuren heißen kongruent oder deckungsgleich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung aufeinander abgebildet werden können. Siehe w:Kongruenz (Geometrie). Wird zusätzlich zentrische Streckung zugelassen, heißen die Figuren ähnlich.
  • In w:Algebra und w:Zahlentheorie heißen zwei Zahlen kongruent modulo m, wenn sie denselben Rest bezüglich eines Divisors m haben. Beispiel: 3 ? 24 mod 7. Siehe w:Kongruenz (Zahlentheorie).
  • In der linearen Algebra heißen zwei   Matrizen A und B kongruent, falls es eine invertierbare Matrix S gibt, mit  . Dies ist genau dann der Fall, wenn A und B bezüglich verschiedener Basen dieselbe w:Bilinearform darstellen.

konjugiertBearbeiten

  • Zwei w:Komplexe Zahlen a und b heißen konjugiert komplex zueinander, wenn ihre Realteile übereinstimmen und ihre Imaginärteile gleichen Betrag und unterschiedliches Vorzeichen haben. Beispiel: die komplex Konjugierte von 2+i ist 2-i.
  • Matrizen heißen komplex konjugiert zueinander, wenn alle ihre Koeffizienten komplex konjugiert zueinander sind.
  • In der w:Funktionalanalysis heißen lineare Operatoren komplex konjugiert zueinander, wenn …
  • In der abstrakten Algebra heißen zwei über K w:algebraische Elemente einer w:Körpererweiterung L/K zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe w:Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen Konjugierte von a (in L). Jeder K-w:Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.
  • In einer Gruppe (G, *) heißen die Elemente   und   zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement   gibt, sodass   ist. Die Abbildung   heißt Konjugation mit c.
  • Zwei w:Untergruppen   und   heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element   gibt, sodass  .
  • Zwei Zahlen   heißen konjugiert, wenn   gilt.
  • Zwei stetige Abbildungen   sowie   bezüglich zweier metrischer Räume   und   heißen topologisch konjugiert, wenn es einen w:Homöomorphismus   gibt, sodass:  .

konsistentBearbeiten

  • In der mathematischen Statistik heißt eine Schätzung konsistent, wenn sie in Wahrscheinlichkeit (d. h. für eine ins Unendliche wachsende Stichprobe) gegen die geschätzte Größe konvergiert.

konvexBearbeiten

  • Eine Menge eines reellen Vektorraums heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten auch die Verbindungsstrecke enthält.
  • Eine auf einer konvexen Menge K definierte reellwertige Funktion f heißt (von unten) konvex, wenn   für alle   und alle   (das heißt, der w:Funktionsgraph verläuft stets unterhalb jeder w:Sekante).

kopunktalBearbeiten

  • Drei oder mehr Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt gehen (mit demselben Punkt inzidieren).

LBearbeiten

lindelöfBearbeiten

linearBearbeiten

  • Eine Funktion der Form f(x) = a + bx heißt affin-linear, siehe auch w:affine Abbildung und w:lineare Funktion. In der Elementarmathematik und vielen Anwendungen sagt man stattdessen nur linear. Das ist mit der folgenden, in weiten Teilen der Mathematik üblichen Definition von linear nur im Sonderfall a = 0 kompatibel:
  • In der Algebra und darauf zurückgreifenden Gebieten der Mathematik heißt eine Funktion f linear, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:
  1. w:Additivität:  
  2. Homogenität:   für alle   aus einem zugrunde liegenden Körper.

linksgekrümmtBearbeiten

Eine zwei Mal differenzierbare Funktion   heißt in einem Intervall   linksgekrümmt, wenn die zweite Ableitung positiv ist, also  . Der Name rührt daher, dass ein Fahrzeug stets nach links lenken muss, wenn es sich in Richtung steigender  -Werte entlang des Graphen der Funktion bewegt. Linksgekrümmte Funktionen sind streng konvex.

linksverträglichBearbeiten

Lipschitz-stetigBearbeiten

Eine reelle Funktion heißt Lipschitz-stetig, wenn die Anstiege (oder „Steigungen“) aller Sekanten nach oben und unten beschränkt sind. Der Begriff kann auf Funktionen in metrischen Räumen ausgedehnt werden.

lokalBearbeiten

  • auf eine Umgebung bezogen
  • Ein Ring heißt lokal, wenn er genau ein maximales Linksideal (oder Rechtsideal) besitzt.

lokal endlichBearbeiten

  • Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums ist lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.
  • Eine w:Halbordnung   auf einer Mengen   ist lokal endlich, wenn jedes Intervall   eine endliche Menge ist.

lokal Lipschitz-stetigBearbeiten

Eine reelle Funktion heißt lokal Lipschitz-stetig, wenn die Anstiege aller Sekanten nach oben und unten, innerhalb eines Intervalls, beschränkt sind.

lokal metrisierbarBearbeiten

MBearbeiten

magerBearbeiten

w:marginalBearbeiten

  • In der Stochastik heißt eine Wahrscheinlichkeit marginal, die aus einer bedingten Wahrscheinlichkeit durch „Marginalisierung“ hervorgegangen ist. „Marginalisieren“ heißt, über alle möglichen Werte einer Bedingung zu summieren oder integrieren. Beispiel: Ausgehend von der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B,C) ist P(A|B) bezüglich C marginal.

maximalBearbeiten

  • Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt maximal, wenn es in der Ordnung kein größeres Element gibt. Dieses Element muss nicht das größte Element sein: Wenn es mehrere maximale Elemente gibt, gibt es kein größtes.
  • w:Ideal (Mathematik), w:Untermodul
  • Ein w:Orthonormalsystem S eines w:Hilbertraums H heißt maximal, wenn es in H außer dem Nullvektor keinen Vektor gibt, der zu allen Vektoren aus S orthogonal ist. Das heißt, es gilt für alle x aus H  .

w:meromorphBearbeiten

  • Ist (eine Funktion einer komplexen Variablen) f holomorph im Gebiet G bis auf eventuelle Ausnahme von Polen, so heißt f meromorph in G.

messbarBearbeiten

  • Messbarer Raum wäre die wörtliche Übersetzung des englischen measurable space, der auf Deutsch eingeführterweise Messraum heißt; siehe w:Maßtheorie. Die einzelnen Mengen der ?-Algebra eines Maßraums (d. h. eines Messraums, auf dem ein Maß definiert ist) heißen jedenfalls messbar; siehe auch dazu den Artikel w:Maßtheorie.
  • Messbar ist nicht das gleiche wie metrisierbar, da ein Maß keine Metrik ist.

w:metrisierbarBearbeiten

minimalBearbeiten

  • Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt minimal, wenn es in der Ordnung kein kleineres Element gibt. Dieses Element muss nicht das kleinste Element sein: Wenn es mehrere minimale Elemente gibt, gibt es kein kleinstes.

monotonBearbeiten

  • Folgen. Eine Folge von Elementen einer geordneten Menge heißt monoton wachsend bzw. monoton abnehmend, wenn jedes Folgenglied kleiner bzw. größer ist als das nächste. Eine Folge heißt monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton abnehmend ist. Siehe w:Monotonie (Mathematik)
  • Logik, siehe w:Monotonie (Logik)
  • Eine w:Schauderbasis heißt monoton, wenn die Basiskonstante 1 ist.

multilinearBearbeiten

  • Eine Abbildung die Argumente aus mehreren Vektorräumen in einen Vektorraum abbildet, heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, wobei alle Vektorräume über demselben Skalarkörper definiert sein müssen. Eine multilineare Abbildung in den Skalarkörper ist eine w:Multilinearform.

multiplikativBearbeiten

  • Man nennt eine Gruppe oder w:Halbgruppe multiplikativ (im Gegensatz zu w:additiv), wenn das verwendete Symbol für die Gruppenverknüpfung ein Punkt ist bzw. weggelassen wird. Der Begriff bezieht sich ausschließlich auf die Schreibweise. Das neutrale Element wird dann häufig als Einselement und mit 1 oder e bezeichnet, das Inverse von   mit   und die n-fache Verknüpfung eines Elements mit sich selbst wird als Potenz   geschrieben.
  • Eine Abbildung zwischen zwei Strukturen mit einer multiplikativen Verknüpfung heißt multiplikativ, wenn sie bezüglich dieser Verknüpfung ein w:Homomorphismus ist. So werden z. B. bei der w:Gelfand-Transformation multiplikative, lineare Funktionale auf einer w:Banachalgebra betrachtet. Vergleiche auch Multiplikativität der Norm oder Multiplikativität der Determinante.
  • In der Zahlentheorie nennt man eine auf den natürlichen Zahlen definierte Abbildung   multiplikativ, wenn   für je zwei w:teilerfremde Zahlen n und m gilt, siehe w:Zahlentheoretische Funktionen.

multivariatBearbeiten

  • Eine Funktion ist multivariat, wenn sie mehrere unbestimmte Variablen enthält (z. B.  ). Siehe auch: w:univariat.

NBearbeiten

natürlichBearbeiten

  • Eine Abbildung zwischen zwei Konstruktionen F(A) und G(A) zu einem Objekt heißt natürlich, wenn sie kompatibel mit dem Austausch von A durch andere Objekte ist. Beispiel: die Determinante als Abbildung der n × n-Matrizen in den Grundkörper ist kompatibel mit dem Übergang zu einem Erweiterungskörper. Siehe w:Kategorientheorie
  • Siehe w:natürliche Zahl
  • Siehe natürlicher Logarithmus

negativBearbeiten

negativ definitBearbeiten

nilpotentBearbeiten

nirgends dicht oder nirgendwo dicht Bearbeiten

  • Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist nirgends dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist. Die Menge der ganzen Zahlen   ist beispielsweise nirgends dicht in der Menge der reellen Zahlen  .

w:noetherschBearbeiten

normalBearbeiten

  • In der w:Geometrie, insbesondere in der analytischen Geometrie, heißt eine Gerade normal zu einer Ebene (allgemeiner zu einer Fläche), wenn sie senkrecht auf dieser steht.
  • In der Topologie heißt ein w:topologischer Raum normal, falls beliebige zwei disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. Normale Räume erlauben Zerlegungen der Eins. Normale T1-Räume sind immer Tychonoff-Räume.
  • In der w:Statistik ist eine Zufallsvariable normal, wenn sie normalverteilt (Gauß-verteilt) ist.
  • In der w:Gruppentheorie sagt man im Deutschen statt normale Untergruppe üblicherweise w:Normalteiler. Ein Normalteiler ist invariant unter Konjugation beliebiger Gruppenelemente.
  • In der w:Körpertheorie ist eine endliche w:Körpererweiterung   normal, wenn jedes irreduzible w:Polynom über  , das eine Nullstelle in   hat, dort in Linearfaktoren zerfällt. Äquivalent dazu ist, dass das Bild einer Einbettung   in einen algebraischen Abschluss von   nicht von der Einbettung abhängt. Beispiel:   ist nicht normal.
  • In der kommutativen Algebra heißt ein Ring normal, wenn er nullteilerfrei und ganzabgeschlossen in seinem w:Quotientenkörper ist oder diese Bedingung für alle lokalen Ringe erfüllt ist. Beispiel:   ist nicht normal, der ganze Abschluss im Quotientenkörper   ist  
  • In der linearen Algebra heißt eine Matrix A normal, wenn sie mit ihrer komplex konjugierten Transponierten (hermitesch Adjungierten) kommutiert,  .
  • In der w:Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator in einem w:Hilbert-Raum normal, wenn er mit seinem adjungierten Operator kommutiert.
  • Eine reelle Zahl heißt normal, wenn unter ihren Nachkommaziffern für jedes   alle möglichen k-stelligen Ziffernblöcke mit gleichen asymptotischen relativen Häufigkeiten auftreten.

normiertBearbeiten

  • Ein Vektor heißt normiert oder w:Einheitsvektor, wenn er die Norm 1 hat.
  • (auch: normalisiert): Ein normierter Wertebereich einer Variablen ist auf einen bestimmten Bereich skaliert – üblicherweise zwischen 0 und 1 (bzw. 100 Prozent).
  • Ein w:Polynom nennt man normiert, wenn der Leitkoeffizient (der Koeffizient der höchsten Potenz der Variable) 1 ist.
  • Ein w:Normierter Raum ist ein Vektorraum, der mit einer Norm ausgestattet ist.
  • Eine Gleichung heißt normiert, wenn sie auf grundlegende Funktionen zurückgeführt oder in eine bestimmte standardisierte Darstellung gebracht ist.

notwendigBearbeiten

  • Eine Aussage A ist eine notwendige Bedingung einer anderen Aussage B, wenn zwischen den beiden Aussagen die logische Beziehung „aus B folgt A“ (kurz: B ? A) besteht. Äquivalent dazu ist die Implikation „nicht A ? nicht B“. Der Gegenbegriff ist hinreichend. Siehe hierzu auch w:Notwendige und hinreichende Bedingung.

nuklearBearbeiten

nullhomologBearbeiten

  • Eine im Gebiet   geschlossene Kurve  , heißt nullhomolog in  , wenn ihr Inneres   vollständig in   liegt, wobei   mit der w:Windungszahl  .

w:nullhomotopBearbeiten

  • Eine geschlossene Kurve  , heißt nullhomotop, wenn sie homotop zur konstanten Kurve   mit   für alle   ist, also zu einer „Kurve“, die in einen Punkt ausgeartet ist. Jede in einem Gebiet   nullhomotope Kurve ist auch in   nullhomolog. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

numerischBearbeiten

  • Eine Funktion   mit   heißt numerisch.   bezeichnet dabei die erweiterten reellen Zahlen.

OBearbeiten

orientiertBearbeiten

Der Begriff der Orientierung lässt sich für endlichdimensionale Vektorräume über geordneten Körpern definieren und verallgemeinert das Konzept

  • der Durchlaufrichtung im Eindimensionalen,
  • der Begriffe links und rechts sowie des Drehsinns in der Ebene,
  • der Begriffe w:Linkssystem und Rechtssystem im dreidimensionalen Raum (vgl. Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der linken bzw. rechten Hand).

Im n-dimensionalen Raum ist die Orientierung eine Eigenschaft der Basen. Zwei Basen (aus n linear unabhängigen Vektoren in gegebener Reihenfolge) heißen äquivalent, wenn sie durch eine w:lineare Abbildung positiver Determinante auseinander hervorgehen. Es gibt genau zwei Äquivalenzklassen, die Orientierungen, nämlich die positive und die negative Orientierung. Dabei ist die kanonische Basis positiv orientiert.

offenBearbeiten

  • Auf der reellen Zahlengerade heißt ein Intervall   offen, wenn es durch   gegeben ist.
  • Welche Teilmengen eines topologischen Raums offen heißen, ist Teil der Struktur eines topologischen Raumes. Aus einer Menge wird ein topologischer Raum dadurch, dass man angibt, welche Teilmengen offen heißen sollen.
  • Eine Menge, die Umgebung aller ihrer Punkte ist, heißt offen.
  • Eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen heißt offen, wenn sie offene Mengen auf offene Mengen abbildet.

w:OrdnungBearbeiten

  • Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente (die Mächtigkeit der der Gruppe zugrunde liegenden Menge).
  • In der w:Gruppentheorie ist die Ordnung n eines Gruppenelements g die kleinste positive ganze Zahl, für die gn=e gilt (mit dem neutralen Element e).
  • Die Ordnung einer w:Nullstelle oder einer w:Polstelle ist deren Vielfachheit.
  • Die Ordnung einer w:Differentialgleichung ist der höchste vorkommende Ableitungsgrad.
  • Die Ordnung eines Terms, mit einem w:Landau-Symbol O(x) bezeichnet, beschreibt die Geschwindigkeit, mit der dieser Term in einem Grenzübergang divergiert.
  • Ordnung kann außerdem Anordnung bedeuten, also die durch eine w:Ordnungsrelation induzierte Struktur bezeichnen.
  • In der algebraischen Zahlentheorie heißt ein Unterring   des Ganzzahlringes eines Zahlkörpers   eine Ordnung, wenn   eine Ganzheitsbasis der Länge   besitzt.

ordnungstreuBearbeiten

  • Eine Abbildung   der geordneten Klasse   <   auf der geordneten Klasse   <   heißt ordnungstreu, wenn      :   <        <   .

ordnungsvollständigBearbeiten

Eine Menge mit einer w:Ordnungsrelation heißt ordnungsvollständig, wenn jede nach oben beschränkte Teilmenge ein w:Supremum hat. Siehe w:Ordnungstopologie.

w:orthogonalBearbeiten

  • In der w:Geometrie sind zwei Geraden oder Ebenen orthogonal zueinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden.
  • Ein w:Koordinatensystem heißt orthogonal, wenn seine Achsen paarweise orthogonal zueinander sind.
  • Eine Projektion heißt orthogonal, wenn die Projektionsstrahlen senkrecht auf die Projektionsfläche treffen.
  • In der linearen Algebra und analytischen Geometrie sind zwei Vektoren orthogonal zueinander, wenn ihr w:Skalarprodukt null ist.
  • Da in der w:Funktionalanalysis Funktionen als Vektoren aufgefasst werden, folgt unmittelbar, dass zwei Funktionen f und g orthogonal zueinander heißen, wenn ihr inneres Produkt null ist; das innere Produkt in Funktionenräumen ist in der Regel definiert als Integral von f*(x)g(x), gegebenenfalls multipliziert mit einer Gewichtsfunktion w(x).
  • Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn ihre Inverse A-1 mit ihrer Transponierten AT übereinstimmt, wenn also A ATAT A = 1. Siehe: w:orthogonale Matrix. Orthogonale Matrizen besitzen in aller Regel reelle Koeffizienten. Matrizen mit komplexen Koeffizienten, die analoge Symmetrieeigenschaften besitzen, heißen unitär; die Transposition wird dabei durch die hermitesche Konjugation ersetzt.
  • Die Menge aller orthogonalen Matrizen vom Rang n über dem Körper K heißt w:orthogonale Gruppe O(n,K).

w:orthonormalBearbeiten

  • „Orthonormal“ ist ein Kunstwort aus „orthogonal“ (s. o.) und „normiert“, d. h. zwei Vektoren sind genau dann orthonormal zueinander (bzw. bilden dann ein so genanntes Orthonormalensystem), wenn sie orthogonal stehen und die Vektoren Einheitsvektoren sind (Vektoren der Länge 1).

PBearbeiten

w:paarweise verschiedenBearbeiten

  • je zwei Elemente einer Aufzählung sind verschieden, z. B. 1, 2, 3
  • 1, 1, 2 sind verschiedene Elemente, aber nicht paarweise verschieden

parabolischBearbeiten

parakompaktBearbeiten

  • Ein w:topologischer Raum ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine offene, lokal endliche Verfeinerung besitzt. Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal.

perfektBearbeiten

polnischBearbeiten

positivBearbeiten

  • Eine w:reelle Zahl heißt nach vorherrschendem Sprachgebrauch positiv, wenn sie größer als Null ist. Zahlen, die größer oder gleich Null sind, werden am kürzesten als nicht-negativ bezeichnet. Siehe w:positive und negative Zahlen.

positiv definitBearbeiten

  • Eine reelle w:symmetrische Bilinearform oder komplexe w:hermitesche Sesquilinearform s: V×V?K heißt positiv definit, wenn s(v,v) > 0 für alle v aus V \ {0}.
  • Eine Matrix   heißt positiv definit, falls  . Ist  , so bezeichnet man   als positiv semidefinit. In der Anwendung gilt meistens   oder  .
  • Siehe auch negativ definit.

w:präkompaktBearbeiten

primBearbeiten

  • Eine w:natürliche Zahl heißt prim oder eine Primzahl, wenn sie außer den beiden w:trivialen Teilern (die Zahl selbst und die 1) keine weiteren Teiler besitzt. Die Zahlen 0 und 1 werden ausgeschlossen und sind keine Primzahlen.
  • Allgemein heißt ein Element eines w:Integritätsrings prim, wenn es ungleich 0 und keine Einheit ist, und als Teiler eines Produkts auch immer einen der Faktoren teilt.

primitivBearbeiten

projektivBearbeiten

punktweiseBearbeiten

  • Sind   und   (nichtleere) Mengen, und ist   eine Familie von Abbildungen  , so gilt eine Eigenschaft punktweise auf  , wenn für jeden Punkt   die Menge   diese Eigenschaft besitzt. Beispiel: w:punktweise Konvergenz.
  • Ist   eine Familie von Funktionen von einer Menge   in eine w:algebraische Struktur  , so kann man aus den Verknüpfungen von   durch punktweise Definition entsprechende Verknüpfungen auf   definieren. Ist z.B.   ein Körper, so kann man mit den Gleichung   für   und  , punktweise eine Addition von Funktionen definieren. Ist   bzgl. dieser zweistelligen Verknüpfung abgeschlossen, so wird   hierdurch zu einer abelschen Gruppe. Ebenso definiert man punktweise   für   und  , womit dann   – wieder Abgeschlossenheit vorausgesetzt – zu einem w:Vektorraum über  . Definiert man zusätzlich, wieder punktweise, durch   eine Multiplikation, und bleibt   auch unter dieser neuen Verknüpfung abgeschlossen, so wird   zu einer S-Algebra.

pythagoreischBearbeiten

  • Ein Pythagoreisches Tripel sind drei natürliche Zahlen  , welche die aus dem Satz des Pythagoras bekannte Gleichung   erfüllen. Beispiele: 3,4,5; 5,12,13. Siehe w:Pythagoreisches Tripel. Man findet pythagoreische Tripel durch den Ansatz  .
  • Ein w:Pythagoreischer Körper ist ein Körper, in dem die Summe von zwei Quadraten auch wieder ein Quadrat ist.

QBearbeiten

quasi-Bearbeiten

Das Präfix Quasi- oder quasi- wird verwendet, um eine Eigenschaft zu charakterisieren, die – in einem streng definierten Sinne – „fast“ einer anderen entspricht oder einer anderen sehr „ähnlich“ ist.

Beispiele: w:Quasigruppe, w:Quasiordnung, w:quasikonforme Abbildung, w:quasikonkave Funktion, quasitonnelierter Raum, quasi-kompakt, w:Quasivollständigkeit.

RBearbeiten

RangBearbeiten

  • In der linearen Algebra ist der Rang einer linearen Abbildung die Dimension des Bildraums. Der Rang einer Matrix ist der Rang der durch die Matrix vermittelten linearen Abbildung.
  • Der Rang eines w:Tensors, auch Stufe genannt, ist die Anzahl der Vektorräume, aus deren direktem Produkt der Tensor gebildet ist.
  • In Anlehnung an den Rang eines Tensors ist in der w:Informatik, jedenfalls in der Fachsprache von w:Fortran, der Rang eines Feldes (Arrays) die Anzahl seiner Indizes.
  • Der Rang einer abelschen Gruppe gibt die „Größe“ der Gruppe im Verhältnis zum Vektorraum über den rationalen Zahlen an.

rationalBearbeiten

  • Eine w:rationale Zahl ist eine w:Zahl, die sich als Quotient aus zwei ganzen Zahlen darstellen lässt.
  • Die rationalen Funktionen über einem Körper   sind die Elemente des w:Quotientenkörpers des w:Polynomringes über  .
  • Ein w:rationaler Baum ist ein möglicherweise unendlicher gerichteter Baum, der aber nur endlich viele verschiedene Unterbäume enthält.
  •   Zahlen   heißen rational abhängig, wenn es ganze Zahlen   gibt, die nicht alle gleich Null sind, sodass  .

rechtsgekrümmtBearbeiten

Eine zwei Mal differenzierbare Funktion   heißt in einem Intervall   rechtsgekrümmt, wenn die zweite Ableitung negativ ist, also  . Der Name rührt daher, dass ein Fahrzeug stets nach rechts lenken muss, wenn es sich in Richtung steigender  -Werte entlang des Graphen der Funktion bewegt. Rechtsgekrümmte Funktionen sind streng konkav.

rechtsverträglichBearbeiten

reduzibelBearbeiten

  • Eine lineare Darstellung heißt reduzibel, wenn der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, nichttriviale Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Eine reduzible Darstellung kann in eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ausreduziert werden.
  • w:Ringtheorie: reduzibles Element

w:reellBearbeiten

  • Der Körper der reellen Zahlen entsteht durch Erweiterung aus dem der rationalen Zahlen durch Vervollständigung, etwa mit Hilfe der Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen oder aber der Dedekindschen Schnitte.
  • Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen sind alle reell.
  • w:Komplexe Zahlen sind reell, wenn ihr Imaginärteil Null ist.
  • Eine Matrix ist reell, wenn ihre sämtlichen Koeffizienten reell sind.
  • Ein Körper heißt formal reell, wenn sein Element -1 nicht als Summe von Quadraten darstellbar ist.

w:reflexivBearbeiten

  • Eine zweistellige Relation R heißt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht: ? x: xRx. Wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht, heißt die Relation irreflexiv.
  • Ein w:Banachraum heißt reflexiv, wenn die kanonische Einbettung in den w:Bidualraum surjektiv ist.

regelmäßigBearbeiten

w:regulärBearbeiten

w:relativ kompaktBearbeiten

  • Eine Menge   heißt relativ kompakt (oder präkompakt), wenn jede Folge aus   eine in   konvergente Teilfolge besitzt. Dies ist äquivalent zu: jede Folge aus   besitzt eine in   gleichmäßig konvergente Teilfolge.
  • eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt relativ kompakt, wenn ihr Abschluss kompakt ist.

SBearbeiten

schlichtBearbeiten

  • Eine Abbildung   heißt schlicht (auf  ), falls   injektiv und   holomorph ist.

w:selbstadjungiertBearbeiten

  • Eine Matrix heißt selbstadjungiert genau dann, wenn sie hermitesch ist.
  • In der w:Funktionalanalysis heißt ein w:linearer Operator f auf einem w:Hilbert-Raum H selbstadjungiert, wenn das innere Produkt (,) für alle x und y aus H die Beziehung (x,fy)=(fx,y) erfüllt und f auf ganz H definiert ist. Ist f nicht auf ganz H definiert, sondern nur auf einem Teilraum D(f) von H, so sind die Begriffe symmetrisch und selbstadjungiert im Allgemeinen verschieden. Jeder selbstadjungierte Operator f ist symmetrisch, aber nicht jeder symmetrische Operator

ist selbstadjungiert.

seltsamBearbeiten

semidefinitBearbeiten

semilinearBearbeiten

  • Eine Abbildung f: V?W zwischen zwei Vektorräumen über dem Körper C der komplexen Zahlen heißt semilinear (oder auch antilinear), wenn   und   mit v, w aus V und ? aus C. Der Strich über dem Koeffizienten ? bezeichnet komplexe Konjugation.
  • Ist allgemeiner   ein Ring und   ein w:Endomorphismus, so heißt eine additive Abbildung    -semilinear, wenn   für alle   und   gilt.

separabelBearbeiten

  • Ein w:topologischer Raum ist separabel, falls er eine abzählbare w:dichte Teilmenge hat. Beispiel: Die Menge   ist separabel, weil   dicht in   liegt.
  • Ein w:Polynom über einem Körper ist separabel, wenn (es gibt zwei Definitionen):
    • es in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat, bzw.
    • jeder seiner irreduziblen Teiler in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat.
Siehe w:Körpererweiterung.

sesquilinearBearbeiten

  • Eine Abbildung   (mit zwei Vektorräumen  ,   und dem Körper   der komplexen Zahlen) heißt sesquilinear (anderthalbfach linear), wenn sie linear im einen und semilinear im anderen Argument ist, wenn also   oder, in der entgegengesetzten, ebenfalls gebräuchlichen Konvention,  . Das innere Produkt in einem unitären Raum ist eine w:hermitesche Form, also eine Sesquilinearform  , die unter Vertauschung der beiden Argumente in ihr komplex Konjugiertes übergeht.

singulärBearbeiten

  • Eine quadratische Matrix heißt singulär, wenn sie nicht invertierbar ist.
  • In der Analysis heißt ein Punkt singulär (oder kritisch), wenn das Differential an dieser Stelle nicht w:surjektiv ist. Ein Wert heißt singulär, falls sein Urbild einen singulären Punkt enthält.
  • Eine Kardinalzahl heißt singulär, falls sie eine echt kleinere Kofinalität hat.

speziellBearbeiten

stark wohlgeordnetBearbeiten

stationärBearbeiten

  • Eine w:Folge (Mathematik)   heißt stationär, falls ein   existiert sodass für alle   gilt:  
  • Ein w:stochastischer Prozess heißt stationär, wenn dessen partielle Ableitung nach einiger Zeit verschwindet, siehe w:Stationarität.

stetigBearbeiten

w:striktBearbeiten

surjektivBearbeiten

  • Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Wertemenge Funktionswert mindestens eines Elements der Definitionsmenge ist. Wenn man in dieser Definition mindestens durch genau ersetzt, erhält man die Definition von bijektiv. Eine surjektive Funktion heißt gelegentlich Surjektion, in bestimmtem Kontext auch Projektion. Ein surjektiver w:Homomorphismus von M nach N heißt auch Homomorphismus „von M auf N“.

supplementärBearbeiten

  • Zwei w:Winkel heißen supplementär oder Ergänzungswinkel, wenn sie sich zu einem Winkel von 180° ergänzen

symmetrischBearbeiten

  • Eine Relation R heißt symmetrisch, wenn aus a R b stets b R a folgt.
  • Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn sie bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst übergeht, wenn also für ihre Koeffizienten gilt aij=aji. Eine symmetrische Matrix stimmt mit ihrer Transponierten überein. Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen gelten im Fall komplexer Koeffizienten nicht für symmetrische, sondern für hermitesche Matrizen.
  • Die w:symmetrische Gruppe Symn oder Sn besteht aus allen w:Permutationen einer Menge mit n Elementen, Gruppenoperation ist die Verkettung der Permutationen.
  • Eine Funktion   heißt symmetrisch, wenn für alle Permutationen   und alle   gilt  .

TBearbeiten

teilbarBearbeiten

  • Ein Element a eines w:Integritätsrings R heißt teilbar durch ein Element b, wenn es ein Element c gibt, sodass die Gleichung a = b · c gilt. b und c heißen dann Teiler von a.

teilgeordnetBearbeiten

w:totalBearbeiten

  • Eine Relation R heißt total oder linear, wenn je zwei Elemente in der Relation zueinander stehen, wenn also für jedes Paar von Elementen a, b gilt: a R b oder b R a. Ein Spezialfall davon ist der folgende Punkt:
  • Eine strenge Halbordnung „<“ heißt total oder linear, wenn für jedes Paar verschiedener Elemente a, b gilt: a< b oder b < a.

w:total beschränktBearbeiten

Äquivalente Bezeichnung: präkompakt
Salopp: Eine Menge heißt präkompakt, wenn sie sich mit endlich vielen epsilon-Kugeln überdecken lässt.
Exakt: Eine Menge M heißt präkompakt, wenn es zu jedem positiven reellen ? eine natürliche Zahl n gibt, sodass es Punkte m1, … mn gibt, sodass die Vereinigung aller Kugeln mit Radius ? um die Punkte mi gerade M enthält.

transitivBearbeiten

  • Eine Relation R heißt transitiv, wenn aus xRy und yRz folgt, dass xRz.
  • In der Gruppentheorie ist eine w:Gruppenoperation transitiv, wenn sie nur eine Bahn hat, also jedes Element durch ein geeignetes Gruppenelement auf jedes andere Element abgebildet wird. Die Operation heißt zweifach transitiv, wenn die Gruppe transitiv auf der Menge aller Paare operiert, sie heißt scharf transitiv, wenn jedes Element durch genau ein Gruppenelement auf ein gegebenes anderes Element abgebildet wird. Entsprechend gibt es die Begriffe dreifach transitiv, zweifach scharf transitiv etc.
  • Eine Menge   ist transitiv, wenn jedes Element eines Elementes von   auch ein Element von   ist.
  • In der Stochastik ist eine w:Markow-Kette transitiv (auch irreduzibel genannt), wenn man von jedem Zustand zu jedem anderen mit einer positiven Wahrscheinlichkeit gelangen kann; siehe w:irreduzible Markow-Kette

transponiertBearbeiten

transzendentBearbeiten

treuBearbeiten

  • Eine Darstellung heißt treu, wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist, wenn also verschiedene Gruppenelemente stets durch verschiedene Transformationen dargestellt werden.
  • Ein Funktor heißt treu, wenn die Einschränkungen auf den Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten injektiv sind.

w:trigonalisierbarBearbeiten

  • Eine Matrix A heißt trigonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer oberen w:Dreiecksmatrix ist, also wenn es eine invertierbare Matrix S gibt, sodass   eine obere w:Dreiecksmatrix ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, was insbesondere über algebraisch abgeschlossenen Körpern, wie den komplexen Zahlen, passiert.

trivialBearbeiten

  • Eine mathematische Aussage heißt trivial, wenn sie sich ohne jeden Zwischenschritt aus einer Definition oder einem Satz ergibt. Missbräuchlich wird dieses Attribut auch auf Aussagen angewandt, die auf einem gegebenen Niveau mit vergleichsweise elementaren Mitteln hergeleitet werden können (trivial ist, was der Prof nicht noch einmal erklären möchte).
  • Mathematische Objekte heißen trivial, wenn sie besonders einfach sind. Beispiel: Die trivialen Teiler einer natürlichen Zahl n sind 1 und n, man kann sie angeben, ohne genaueres über n (beispielsweise die Primfaktorzerlegung) zu kennen.
  • Funktionen und Funktionale heißen trivial, wenn sie auf die Null abbilden; analog sind triviale Räume je nach Kontext entweder leer oder enthalten nur die Null.

UBearbeiten

umkehrbar eindeutigBearbeiten

uneigentlichBearbeiten

Nicht im Sinne des Selbstverständnisses oder elementaren Begriffs, formal weitergehend definiert

  • Geometrie:
    • uneigentlicher Punkt, Fernpunkt, unendlich ferner Punkt: Punkt, dessen Betrag des w:Ortsvektors über alle Maßen groß ist
    • uneigentliche Gerade, Ferngerade: Gerade, deren alle Elemente Fernpunkte sind
    • uneigentliche Ebene, Fernebene: Ebene, deren alle Elemente Fernpunkte sind
    Siehe w:uneigentliches Element (verallgemeinerter Begriff)
  • Differenzialrechnung:
    w:Uneigentliches Integral: Ein w:bestimmtes Integral auf einem w:unbeschränkten Intervall (1. Art) oder einer Singularität der Funktion als Intervallgrenze (2. Art)
      … uneigentliches Integral 1. Art
      … uneigentliches Integral 2. Art (  undefiniert)
    Berechnung erfolgt durch Grenzübergang (Limesbildung). Der Begriff uneigentlich ist unababhängig davon, ob der Wert des Integrals dann reel oder unbeschränkt ( ) ist.

uniformBearbeiten

unimodularBearbeiten

  • Eine quadratische Matrix über dem Integritätsbereich   heißt unimodular, wenn ihre Determinante eine Einheit in   ist (s. Hauptartikel: w:Reguläre Matrix).
  • Eine (nicht notwendigerweise quadratische) Matrix heißt total unimodular, wenn die Determinante jeder quadratischen Teilmatrix  ,   oder   beträgt.
  • Unter unimodulare Gruppe versteht man:
  • Eine unimodulare Transformation ist eine lineare Transformation mit ganzen rationalen Koeffizienten und Determinante ±1.
  • Eine unimodular beschränkte Funktion ist eine auf dem beschränkten Gebiet   definierte holomorphe Funktion  :  .
  • Eine komplexe Zahl   heißt unimodular, wenn  .

unitärBearbeiten

VBearbeiten

verträglichBearbeiten

verträglich heißt: sowohl linksverträglich als auch rechtsverträglich.

  • Sei   eine beliebige Menge,   eine Äquivalenzrelation und   eine zweistellige w:innere Verknüpfung auf  .   heißt mit   linksverträglich (bzw. rechtsverträglich), falls für alle   und alle   auch   (bzw.   in   liegen.   heißt mit   verträglich, falls   mit   sowohl links- als auch rechtsverträglich ist.
  • In analoger Weise kann Verträglichkeit auch für n-stellige Relationen und für Abbildungen definiert werden. Ein w:Distributivgesetz bringt die Verträglichkeit einer Multiplikation mit einer Addition zum Ausdruck.

vollBearbeiten

  • Ein Funktor heißt voll, wenn die Einschränkungen auf die Morphismenmengen zwischen je zwei Objekten surjektiv sind.

vollkommenBearbeiten

  • Eine natürliche Zahl heißt vollkommen (auch perfekt oder ideal), wenn sie die Summe ihrer echten Teiler (das heißt aller Teiler außer sich selbst) ist. Beispiele: 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Siehe w:vollkommene Zahl. Vergleiche auch die Attribute abundant und defizient in diesem Glossar.

vollständigBearbeiten

vorgängerkleinBearbeiten

  • Eine Relation   heißt vorgängerklein (oder mengenartig, auf engl.: left-narrow bzw. set-like), wenn für jedes   die Klasse   eine Menge ist.

WBearbeiten

wohlgeordnetBearbeiten

  • Eine linear geordnete Menge (Klasse)   heißt wohlgeordnet, wenn jede Teilmenge (Teilklasse) von   bezüglich der Relation   ein kleinstes Element besitzt (s. Hauptartikel: w:Wohlordnung).

XBearbeiten

YBearbeiten

ZBearbeiten

zentralBearbeiten

zusammengehörigBearbeiten

Zwei Klassen ohne Maximum, die Unterklassen einer geordneten Klasse sind, heißen zusammengehörig, wenn für jedes Element einer dieser Klassen ein größeres Element aus der anderen Klasse existiert und umgekehrt.

zusammenhängendBearbeiten

zyklischBearbeiten

  • Eine w:zyklische Gruppe ist eine von einem Element erzeugte Gruppe.
  • Eine zyklische Körpererweiterung ist eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe zyklisch ist.
  • Eine w:Hilbertraum-Darstellung heißt zyklisch, wenn es einen Vektor des Darstellungsraums gibt, so dass der davon erzeugte invariante Unterraum dicht liegt (topologische Variante) bzw. mit dem Darstellungsraum übereinstimmt (algebraische Variante).

zyklotomischBearbeiten

Das Wort zyklotomisch wurde aus dem englischen cyclotomic oder französischen cyclotomique übernommen und hat sich in einigen Zusammensetzungen als Synonym zum traditionellen deutschen Wortteil „Kreisteilung-“ etabliert.

  • Ein zyklotomischer Körper ist ein w:Kreisteilungskörper, d. h. eine Erweiterung der rationalen Zahlen, die durch Adjunktion von w:Einheitswurzeln entsteht.
  • Ein cyclotomic polynomial oder polynôme cyclotomique ist im Deutschen ein w:Kreisteilungspolynom. Die Verwendung von „zyklotomisch“ ist in diesem Zusammenhang unüblich.
  • Ist   die w:absolute Galoisgruppe von  , so definiert die Operation auf den Einheitswurzeln den zyklotomischen Charakter  . Die Bezeichnung Kreisteilungscharakter ist weniger gebräuchlich.